概率论习题册答案

第一章 随机事件及其概率

§1.1 样本空间与随机事件

一、

计算下列各题

1.写出下列随机实验样本空间：

(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；

(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；

(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色；

(4) 有A,B,C三只盒子，a,b,c三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况；

(5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解 1（1）{3,4,5,?,18}； （2）{3,4,5,?,10}；

}；其中R,W,B分别表示红色，白色和蓝色； （3）{R,W,B,RW,RB,WB,RWB（4）{Aa,Bb,Cc;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Bb,Ca,Ac,Ba,Cb}其中Aa表示a求放在盒子A中，可类推；

（5）{(x,y,z)|x?0,y?0,z?0,x?y?z?1}其中x,y,z分别表示三段之长。 2. 设A,B,C为三事件，用A,B,C运算关系表示下列事件：

（1）A发生,B和C不发生； （2）A与B都发生, 而C不发生； （3）A,B,C均发生； （4）A,B,C至少一个不发生； （5）A,B,C都不发生； （6）A,B,C最多一个发生； （7）A,B,C中不多于二个发生； （8）A,B,C中至少二个发生。 解 （1）ABC；（2）ABC；（3）ABC；（4）A?B?C；（5）ABC； （6）ABC?ABC?ABC?ABC；（7）ABC；（8）AB?AC?BC

3．下面各式说明什么包含关系？

(1) AB?A ； (2) A?B?A； (3) A?B?C?A 解 （1）A?B； （2）A?B； （3）A?B?C

4. 设??{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A?{2,3,4}, B?{3,4,5}, C?{5,6,7}具体写出下列各事件： (1) AB， (2) A?B， (3) A B， (4) ABC， (5)A(B?C). 解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}；

(4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}。

5．如下图，令Ai表示“第i个开关闭合”, i?1,2,3,4,5,6，试用A1, A2, ?,A6表示下列事件，（1）系统Ⅰ为通路，（2）系统Ⅱ为通路。

系统Ⅰ 系统 Ⅱ

1 5 2 3 1 2 3 4 L1 4 R1 L2 6 R2

解 (1) A1?A2A3?A4 (2) A1A5?A1A2A3A4?A6A3A4?A6A2A5。

§1.2 事件的频率与概率

一．填空题

1．设事件A,B的概率分别为0.5，0.6，且互不相容，则积事件AB的概率P(AB)? 0 ； 2．设随机事件A,B及其和事件A?B的概率分别是0.4、0.3和0.6，若B表示B对立事件，那么积事件AB 的概率P(AB)? 0.3 ；

3. 已知P(A)=0.4, P(B)=0.3,

(1) 当A,B互不相容时, P(A+B)== 0.7; P(AB)= 0 . (2) 当B+A时, P(A+B)== 0.4 ; P(AB)= 0.3 ； 4. 若P(A)??,P(B)??,P(AB)??,P(A?B)?1-g;P(AB)?b-g;

P(A?B)=

1????。

二、选择题

1. 若二事件A和B同时出现的概率P(AB)=0则（C） （A）A和B不相容； （B）AB是不可能事件； （C）AB未必是不可能事件； （D）P(A)=0或P(B)=0. 2. 对于任意二事件A和B有P(A?B)? (C ) (A) P(A)?P(B); （B）P(A)?P(B)?P(AB); （C）P(A)?P(AB); （D）P(A)?P(B)?P(B)?P(AB).

3. 设A , B是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D） (A) A与B不相容; (B)A与B相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A-B)=P(A). 4. 当事件A、B同时发生时，事件C必发生则（B）

(A)P(C)?P(A)?P(B)?1;(B)P(C)?P(A)?P(B)?1;

(C)P(C)?P(AB); (D)P(C)?P(A?B).三、计算下列各题

1. 已知P(A)?P(B)?P(C)?生的概率。

解P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?31?3 ?1?[P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)]?1??????48?8

11,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?，求事件A,B,C全不发4162 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率。

解 设A，B，C分别表示读甲，乙，丙报纸

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?0.2?0.16?0.14?0.08?0.05?0.04?0.02?0.35

3. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？

解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70

即该学生这门课结业的可能性为70%。

4. 向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余二个各为0.1. 只要炸中一个，另两个也要爆炸. 求军火库发生爆炸的概率。

解 设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸这个事件，则

P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.

四、证明题

?P（A）?P（B）?2P（AB）试证P（AB?AB）.

证 P（AB?AB）?P（AB)?P(AB)?P(ABAB)?P(A?B)?P(B?A) ?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?2P(AB) 。

§1.3 古典概型与几何概型

一、填空题

1．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为

1 ； 122．一批(N个)产品中有M个次品、从这批产品中任取n个，其中恰有个m个次品的概

mn?mnCn率是 CM?M/CN ；

3．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 ；

4．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于

6 ”的概率为 0.68 ； 55. 将C、C、E、E、I、N、S七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 1/1260 ；

6.在区间?0,1?中随机取两个数，则这两个数之差的绝对值小于二、选择题

13的概率为。 241. 张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是