中国矿业大学2008～2009学年第 二 学期 《 误差理论与测量平差 》试卷（B）卷
考试时间：100 分钟 考试方式：闭 卷
一、填空题 （共20分，每空 2 分）
1、如下图，其中A、B、C为已知点，观测了5个角，若设L1、L5观
?、X?，按附有限制条件的条件平差法进行测值的平差值为未知参数X12平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为
ADBL4L1L2L3EL5C
2、测量是所称的观测条件包括 、观测者、 3、已知某段距离进行了同精度的往返测量（L1、L2），其中误差
?1??2?2cm，往返测的平均值的中误差为 ，若单位权中误差?0?4cm，往返测的平均值的权为
4、已知某观测值X、Y的协因数阵如下，其极大值方向为 ，若单位权中误差为±2mm，极小值F为 mm。
QXX?2.0?0.5?????0.51.0?? ??二、已知某观测值X、Y的协因数阵如下，求X、Y的相关系数ρ。（10
分）
QXX?0.36?0.15?????0.150.25?? ??三、设有一函数T?5x?253，F?2y?671其中：
?x??1L1??2L2????nLn ??y??1L1??2L2????nLnαi＝A、βi=B（i＝1，2，…，n）是无误差的常数，Li的权为pi=1，pij＝0（i≠j）。（15分） 1）求函数T、F的权； 2）求协因数阵QTy、QTF。
四、如图所示水准网，A、B 、C三点为已知高程点， D、E为未知
点，各观测高差及路线长度如下表所列。（20分）
用间接平差法计算未知点D、E的高程平差值及其中误差；
Bh2h4h1Ch6DEh5
h3A高差观测值/m h1= -1.348 h2= 0.691 h3= 1.265 h4= -0.662 h5= -0.088 h5= 0.763 对应线路长度/km 1 1 1 1 1 1 已知点高程/m HA=23.000 HB=23.564 CB=23.663 五、如下图所示，A，B点为已知高程点，试按条件平差法求证在单
一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。(20分)
Ah1Sh2B
六、如下图所示，为未知P点误差曲线（图中细线）图和误差椭圆图
（图中粗线），A、B为已知点。（15分）
1）试在误差曲线上作出平差后PA边的中误差，并说明； 2）试在误差椭圆上作出平差后PA方位角的中误差，并说明； 3）若点P点位误差的极大值E＝5mm，极小值F＝2mm，且?F?52?,试计算方位角为102o的PB边的中误差。
参考答案及评分标准
一、填空题 （共20分，每空 2 分）
1：2、3、4、1
2：测量仪器、外界环境22.5o（或202.5o）、112.5o（292.5o）3：22cm或2.818cm、2 4：157.5o或337.5o、1.78
二、解：
???xy?x?y??20*Qxy(?0*Qxx)*(?0*Qyy)?QxyQ
xxQyy??0.150.36*0.25??0.5
三、解：（1）L向量的权阵为：
??10?0?p??01?????????0???0?01?? ?则L的协因数阵为：
3分）3分）2分）2分） （
（
（
（
QLL?p?1?10?0???01?????????0??? （2分） ??0?01??T?5x?253?5*(?1L1??2L2????nLn)?253?5?1L1?5?2L2???5?nLn?253?5AL1?5AL2???5ALn?253
??L1??5A?11?1??L??2?????253???Ln??F?2y?671?2*(?1L1??2L2????nLn)?671?2?1L1?2?2L2???2?nLn?671?2BL1?2BL2???2BLn?671 ??L1??2B?11?1??L??2???671?????Ln??依协因数传播定律 则函数T的权倒数为：
1p?QTT?5A?11?1?*QLL*(5A?1T则：pnA2T?125 则函数F的权倒数为：
（2分） ?1?)T?25nA2
（3分）
1
1?QFF?2B?11?1?*QLL*(2B?11?1?)T?4nB2pF则：pF?14nB2
（2）
（3分）
y??1L1??2L2????nLn?BL1?BL2???BLn?L1????L2????B11?1??????L??n?依协因数传播定律
（1分）
QTy?5A?11?1?*QLL*(B?11?1?)T?5nAB（2分）
（2分）
QTF?5A?11?1?*QLL*(2B?11?1?)T?10nAB四、解：1）本题n=6，t=2，r=n-t=4；
??选D、E平差值高程为未知参数X1、X2 （2分） 则平差值方程为：
??X??X?h112??X??Hh22B??X??Hh32??X??H （2分） h41B??X??Hh51A??H?X?h6A1A
则改正数方程式为：
?1?x?2?l1v1?x?2?l2v2?x?2?l3v3?x?1?l4v4?x?1?l5v5?x?1?l6v6??x0取参数近似值 X101?HB?h1?h2?22.907、X2?HB?h2?24.255
（1分）
令C=1，则观测值的权阵：
0??1???1???1? P??1????1???01???0?h1?(X10?X2)??0??l1??1?1?????????0?h2?(X2?HB)??0??l2??01??h?(X0?H)????01??l?10332A?0??????? B? l??h?(BX?d)??0?h4?(X1?HB)???5??10??l4??????10??l?0h?(X?H)1A??5???5??5???10???l??h?(H?X0)?????7??6?C1??6 （4分）
??W?0，并解法方程： 组法方程Nx?4?1???7?TN?BPB????13?? W?BPl???10??
????T??N?1W?x1?31???7???1??? ???10?????3?? （4分）1411???????求D、E平差值：
??X??X0?x?1?22.906mHC11 （1分） 0???HD?X2?X2?x2?24.258m2）求改正数：
??4????3???7???l??? v?Bx?4???6?????6???则单位权中误差为：
vTpv162?0?? ?????6.36mm （2分）
r4则平差后D、E高程的协因数阵为：
QX?X??N?11?31?? ??? （2分）1411???根据协因数与方差的关系，则平差后D、E高程的中误差为：
?D???0Q11????E???0Q22?966mm??3.32mm22 （2分） 922??mm??3.84mm11
五、证明：设水准路线全长为S，h1水准路线长度为T，则h2水准路
线长度为S-T；
设每公里中误差为单位权中误差，则
h1的权为1/T，h2的权为1/(S-T)；则其权阵为：
0?1/T?P???01/(S?T)?? （4分）
??平差值条件方程式为：
??h??0 h12则 A=( 1 1 ) （3分）
N?AP?1AT?S
由平差值协因数阵：QL?L??QLL?QLLATN?1AQLL
则高差平差值的协因数阵为：
T?1QL?Q?QANAQLL?L?LLLL?T(S?T)?1?1??????11S?? （3分）
则平差后P点的高程为：
???h1??HP?HA?h1?HA??10?? （2分） ?h???2?则平差后P点的权倒数（协因数）为
T(S?T)QP?fQLLfT?fQLLATN?1AQLLfT? （3分）
S求最弱点位，即为求最大方差，由方差与协因数之间的关系可知，也就是求最大协因数（权倒数），上式对T求导令其等零，则 S?2T?0 T=S/2 （3分） S则在水准路线中央的点位的方差最大，也就是最弱点位，命题得证。
（2分）
六、解：1）在误差曲线上作出平差后PA边的中误差；
连接PA并与误差曲线交点a，则Pa长度为平差后PA边的中误差
?PA?Pa （3分） ?2）在误差椭圆上作出平差后PA方位角的中误差； 作垂直与PA方向的垂线Pc，作垂直与Pc方向的垂线cb，且与误差椭
?uPA 圆相切，垂足为c点，则Pc长度为平差后PA边的横向误差?则平差后PA方位角的中误差：
??PA???u?PAS????Pc（3分） ??? SPAPA
A
b
a c P
图共4分，每作对一个，得2分 3）因为?F?52? 则：?E?142?
则：?????E?102??142???40? 所以：
??22??????E2cos2??F2sin2??25*cos2(?40?)?4*sin2(?40?) ?16.323方位角为102o的PB边的中误差：?????????4.04mm B （2分） （3分）