由于x,y为整数,故在上述可行域内的整数点有：(0,1),(1,0),(1, 1),(2,1).画出直线l0：2x＋y＝0, 经平移知,在点(2,1)处z取得最大值,∴zmax＝2×2＋1＝5.故选B.]
2x＋y－2≥0，??
8.D [不等式组?x－2y＋4≥0，表示的平面区域如图,结合图象可知|AM|的最小值为点A
??3x－y－3≤0到直线2x＋y－2＝0的距离,即|AM|min＝
|2×（－2）＋0－2|65
＝.] 55
x＋y－1≤0，??
9.D [不等式组?x－y＋1≥0，表示的平面区域如图所示.
??y＋1≥0，
∵函数z＝2ax＋by在点(2,－1)处取得最大值. 2a
∴直线z＝2ax＋by的斜率k＝－≤－1,即2a≥b.
b∵一颗骰子投掷两次分别得到的点数为(a,b),则这 样的有序整数对共有6×6＝36个.其中2a≥b的有
(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).共30个.则函数在点(2,－1)处取305
得最大值的概率为＝,故选D.]
366
311
10.[设z＝y＋x,当y＋x取最大值2时,有 222
x＋y≥1，1x＝1，?????y＋2x＝2，?1
y＋x＝2,作出不等式组?2y－x≤2，对应的可行域,如图,由?解得?3 2
????2y－x＝2，?y＝2，?y≥mx33
1，?,代入直线y＝mx,得m＝.] ∴A??2?2
1
11.[原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.∵x2＋y2表示可行域内任意一
2点P(x,y)与原点(0,0)距离的平方,∴当P在线段AB上且OP⊥AB时,x2＋y2取得最小值, |0－0＋1|?21?
∴(x＋y)min＝??＝.]
2?2?
2
2
1? 12.??3，＋∞? [作出不等式对应的平面区域,当a＝0时,z＝x,即x＝z,此时不成立.由z＝x
?3x＋y－8＝0，?x＝2，?1z?
＋ay得y＝－x＋由?解得?即A(2,2).
aa???x－3y＋4＝0，?y＝2，
1z
要使目标函数z＝x＋ay(a≥0)仅在点(2,2)处取得最大值,则阴影部分区域在直线y＝－x＋的
aa11
下方,即目标函数的斜率k＝－,满足k＞kAC,即－＞－3,
aa
111
，＋∞?,故答案为：?，＋∞?.] ∵a＞0,∴a＞,即a的取值范围为??3??3?3
第四节 基本不等式及其应用
A组三年高考真题(2016～2014年)
1. (2014·上海，5)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
B组两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·四川资阳诊断)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为( ) A.5＋22 B.82 C.5 D.9
2.(2016·辽宁师大附中模拟)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A12
在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为( )
mn A.2 B.4 C.8 D.16
3.(2015·北京海淀二模)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )
A.(-∞，-1) B.(-∞，22-1) C.(-1，22-1) D.(-22-1，22-1)
xy4.(2016·山东泰安模拟)若直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和yab轴上的截距之和的最小值是________.
答案精析
A组三年高考真题(2016～2014年)
1.22[∵x2＋2y2≥2x2·2y2＝22xy＝22，当且仅当x＝2y时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为22.]
B组两年模拟精选(2016～2015年)
b1.D [∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab，∴a＝＞0，解得b＞2.
b－2则a＋2b＝
b2＋2b＝1＋＋2(b－2)＋4≥5＋2b－2b－2
2
·2（b－2）＝9，当且仅当b＝3，ab－2
＝3时取等号，其最小值为9.]
2.C [∵x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，
∴函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A(－2，－1)， ∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，
122m＋n4m＋2nn4mn4m∵m>0，n>0，＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2··＝8，
mnmnmnmn11
当且仅当m＝，n＝时取等号.故选C.]
42
2
3.B [由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋x，
3
22
而3x＋x≥22(当且仅当3x＝x，即x＝log32时，等号成立)，∴k＋1<22，即k<22－1.]
334.3＋22[直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线l在x轴和y轴上的截距12
之和的最小值即求a＋b的最小值.由直线l经过点(1，2)得＋＝1.
ab
?1＋2?＝3＋b＋2a， 于是a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×?ab?ab
b2a
因为＋≥2
ab
b2ab2a当且仅当＝时取等号?.所以a＋b≥3＋22.] ×＝22?ab??ab
第五节 推理与证明
A组三年高考真题(2016～2014年)
1.(2014·北京，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A.2人
B.3人
C.4人
D.5人
2.(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根