江苏省盐城中学2015届高三上学期1月月考

数学试题（2015.01）

【试卷综析】试卷考查的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况.整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查. 试卷说明：本场考试时间120分钟，总分160分．

【题文】一、填空题：（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）

【题文】1.已知集合A???2,?1,0,1?，集合B?x|x2?1，则A?B = ． 【知识点】集合运算. A1

【答案】【解析】{ 0 } 解析：∵集合A???2,?1,0,1?，B?x|x2?1={x|-1

【思路点拨】本题考查交集及其运算，解答本题关键是理解交集的定义，由定义进行运算求出交集．

????3?i（i为虚数单位），则|z|的值为 ． 2?i【知识点】复数运算. L4

【题文】2.已知复数z?【答案】【解析】2 解析：∵复数z=

3?i3?i9?1（i为虚数单位），则z===2 2?i2?i4?1【思路点拨】利用两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，计算求得结果． 【题文】3.从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和为5的概率

是 ．

【知识点】等可能事件的概率.K1 【答案】【解析】

1 解析：根据题意，从5个数中一次随机取两个数， 5其情况有（1、2），（1、3），（1、4），（1、5），（2、3），（2、4），（2、5），（3、4），（3、5），（4、5），共10种情况，

其中这两个数的和为5的有（1、4），（2、3），共2种； 则取出两个数的和为5的概率P=

21=. 1051故答案为．

5【思路点拨】根据题意，列举从5个数中一次随机取两个数的情况，可得其情况数目与取出

1

两个数的和为5的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．

【题文】4.阅读下面的流程图，若输入a?10，b?6，则输出的结果是 ▲ ．

【知识点】程序框图.L1

【答案】【解析】2 解析：当a=10，b=6，x=4，满足进行循环的条件，执行循环体后，a=8，b=5，

当a=8，b=5，x=3，满足进行循环的条件，执行循环体后，a=6，b=4， 当a=6，b=4，x=2，不满足进行循环的条件，故输出的结果为2， 故答案为：2

【思路点拨】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

?【题文】5.在?ABC中，a?33，c?2，B?150，则b= ▲ ．

【知识点】余弦定理.C8

【答案】【解析】7 解析：在△ABC中，由余弦定理可得 b= 33×2cos150°=49，∴b=7， 故答案为：7．

【思路点拨】由余弦定理可得 b=33得 b 的值．

【题文】6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为 ▲ ．

【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积.G1 【答案】【解析】2? 解析：根据题意，圆柱的底面半径r=1，母线长l=2r=2 ∴圆柱的体积为V=Sl=πrl=π×1×2=2π．

2

22

2

?? +2-2×322

3 ?? +2-2×322

3 ×2cos150°=49，∴b=7，由此求

2

故答案为：2π．

【思路点拨】根据题意，求出圆柱的母线长l，再求圆柱的体积V．

【题文】7.在等比数列?an?中，a1?2，a4?16，则a2?a4?????a2n? ▲ ． 【知识点】等比数列的前n项和.B4

44n?1【答案】【解析】 解析：根据a4?a1q3?16，解得q=2,所求和即以a2为首项，

3公比为4的等比数列求和，

【思路点拨】根据等比数列?an?中，a1?2，a4?16，求得数列的首项与公比，即可求和． 【题文】8.函数f(x)???1?a （x?0)，则“f(1)?1”是“函数f(x)为奇函数”x3?1的 ▲ 条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填写） 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2 【答案】【解析】充要 解析：若f（x）=

1+a 是奇函数， x3?1则f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0，

1113x3x?1∴?x+a+x=2a++=0，即2a+=0， 3?13?11?3x3x?11?3x∴2a-1=0，即a=

1． 21+a=1， 2若f(1)?1，即f（1）=解得a=

1．∴“f（1）=1”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件． 2故答案为：充要．

【思路点拨】根据函数奇偶性的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【题文】9.已知x?0,y?0,n?0,nx?y?1,【知识点】基本不等式.E6

【答案】【解析】4 解析：∵x?0,y?0,n?0,nx?y?1,，

14?的最小值为16,则n的值为 ▲ ． xy骣1414y4n∴+=(nx+y)琪+=n+4+2?琪xyxyxy桫号．∴n+4+4n=16，解得n=4． 故答案为：4．

3

n+4+4n，当且仅当y=2nx时取等【思路点拨】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

?【题文】10．在?ABC中，?A?90，AB?1，AC?2，设点P,Q，满足AP??AB,

AQ?(1??)AC,??R.若BQ?CP??2，则?的值是 ▲ ．

【知识点】向量在几何中的应用. G12 【答案】【解析】

2解析：由题意可得AB?AC30，因为

AP??AB,AQ?(1??)AC,??R，

由于BQ?CP轾(1-l)AC-AB?lAB犏犏(AQ-AB)(AP-AC)=轾臌臌22AC

=0-(1-l)AC-lAB+0=-4(1-l)-l?1-2，

解得l=22，故答案为：． 33 0，根据BQ?CP??2，通过向量的转化求得l的值．

2【思路点拨】由题意推出AB?AC【题文】11.设A(1,0),B(0,1)，直线l:y?ax,圆C:?x?a??y2?1.若圆C既与线段AB又与直线l有公共点，则实数a的取值范围是 ▲ ．

【知识点】直线和圆的方程的应用. H4

【答案】【解析】[1?2,1?52] 解析：∵圆C:?x?a??y2?1的圆心C(a,0)在2x轴上，且圆的半径等于1，当圆心在A点左侧时，点A，B所在直线方程为x+y-1=0，

由圆心（a，0）到直线x+y-1=0的距离等于1，得|a-1|=1， 2即|a-1|=2，解得a=1﹣2或a=1+2（舍），

当圆心在A的右侧时，圆交线段AB于A时，a有最大值，此时a=2．

1-∴圆C:?x?a??y2?1与线段AB有公共点的a的范围是轾犏2臌2,2．

要使圆C:?x?a??y?11与直线l：y=ax有公共点，则22|a2|a+12￡1，

即a?a421，∴a4﹣a2﹣1￡0，

2解得：0?a?1?51?51?5，∴?． ?a?222 4

?1?5??． ∴圆C既与线段AB又与直线l有公共点d的实数a的取值范围是?1?2,2?????1?5??． 故答案为：?1?2,2????【思路点拨】根据圆的圆心坐标和半径，首先分析得到使圆C:?x?a??y2?1与线段AB

2有公共点的a的范围，再由圆心到直线y=ax的距离小于等于圆的半径得到实数a的取值范围，取交集后得答案．

?log2?x?1?,x?[0,1)【题文】12．若f?x?是定义在R上的奇函数，当x?0时，f?x???，

x?3?1,x?[1,??)?则函数g?x??f?x??1的所有零点之和为 ▲ ． 2【知识点】函数的零点. B9

【答案】【解析】2?1 解析：∵函数f（x）是奇函数，

ì?-log2(1-x),x?[1,0)∴当x＜0时，f(x)=í，

??1-x-3,x?[?,1)作出函数f?x?在R图象如图：

11=0，即f(x)=， 221由图象可知函数f(x)=有5个根，不妨设为x=a，b，c，d，e．且a＜b＜c＜d＜e，

2由g?x??f?x??则a，b关于x=﹣3对称，d，e关于x=3对称，0＜c＜1，

a+bd+e=-3,=3，∴a+b=﹣6，d+e=6， 2211∵0＜c＜1，∴由f（c）=，得log2(c+1)=，

22则

即c+1=2?122，∴c=2?1，

∴零点之和为a+b+c+d+e=﹣6+6+2?1=2?1．故答案为：2?1．

5

【思路点拨】根据函数的奇偶性求出函数f?x?的表达式，根据函数表达式作出函数的图象，由图象可知函数的对称性，利用数形结合求出函数gx的所有零点即可．

【题文】13.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1,F2在x轴上且焦距为2，A1A2为左右顶点，左准线l与x轴的交点为M， MA2:A1F1?6:1，若点p在直线l上运动，且离心率e?()1，则tan?F1PF2的最大值为 ▲ ． 2

【知识点】椭圆的简单性质．H5

【答案】【解析】

5 解析：由焦距为2，则c=1， 20左准线l与x轴的交点为M， MA2:A1F1?6:1，

a2则6(a-c)=a+，代入c=1，解得，a=2或3，

c由于离心率e?则l：x=﹣9，

设P（﹣9，y），（y＞0），则|MF1|=8，|MF2|=10，

1，则a＞2c=2，则a=3． 21082-22yyy则tan?F1PF2=tan（∠F2PM﹣∠F1PM）===?808080801+21+2y+2y×yyyy当且仅当y=5． 208055即y=45时，取得最大值．故答案为：． y2020【思路点拨】由椭圆的性质可得c=1，运用准线方程和离心率公式和两点距离公式，结合条件，可得a=2，再设P（﹣9，y），（y＞0），运用两角差的正切公式，结合基本不等式即可求得最大值．

6

【题文】14.若函数f?x??lnx?ax存在与直线2x?y?0平行的切线，则实数a的取值范围是 ▲ ．

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11 【答案】【解析】???,2????2???1?e???11?,2?解析：f￠(x)=+a，(x>0)．

xe?∵函数f?x??lnx?ax存在与直线2x-y=0平行的切线， ∴方程

1+a=2在区间x?(0, x)上有解．即a=2-1在区间x?(0, x)上有解．

∴a＜2．

若直线2x-y=0与曲线f?x??lnx?ax相切，设切点为x0,2x0．

()ì1+a=2?1?x0则í，解得x0=e．此时a=2-.

e???2x0=lnx0+ax0综上可知：实数a的取值范围是???,2????2?,2?．

??1?e???1e??故答案为：???,2????2?,2?.

【思路点拨】函数f?x??lnx?ax存在与直线2x-y=0平行的切线，即方程f??x??在区间x?0, ??1?e???1e??1?a=2x()上有解，并且去掉直线2x-y=0与f(x)相切的情况，解出即可.

【题文】二、解答题：（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 【题文】15. （本小题14分）

已知PA?菱形ABCD所在平面，点E、F分别为线段BC、PA的中点． （Ⅰ）求证：BD?PC；

（Ⅱ）求证：BF∥平面PDE．

7

【知识点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．G4 G5 【答案】【解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析. 解析：（Ⅰ）PA?平面ABCD，BD?平面ABCD，

?PA?BD，又ABCD?AC?BD，PA是菱形， 又PA,AC?平面PAC，AC?A，

?BD?平面PAC，又PC?平面PAC，

?BD?PC．

（Ⅱ）取线段PD的中点G，连结EG,FG， 则FG∥AD，且FG?11AD，又BE∥AD，且BE?AD， 22?FG∥BE，FG?BE，?四边形BEGF是平行四边形， ?BF∥EG，

又BF?平面PDE，EG?平面PDE，

?BF∥平面PDE．

【思路点拨】（Ⅰ）由PA?平面ABCD，可得PA^BD，又由ABCD是菱形，可得

AC^BD，进而由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，进而BD?PC；（Ⅱ）取线段PD的中点G，连结EG，FG，由中位线定理可得FG∥AD，且FG?∥AD，且BE?1AD，又由BE21AD，进而四边形BEGF是平行四边形，进而BF∥EG，再由线面平行的2判定定理得到BF∥平面PDE。

【题文】16. （本小题14分）

已知?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a?2，向量m?(?1,1)，

n?(cosBcosC,sinBsinC?（Ⅰ）求A； （Ⅱ）当sinB?cos(2)，且m?n． 27??C)取得最大值时，求B和b． 12【知识点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．C8 F3 C7

8

【答案】【解析】（Ⅰ）A??4,（Ⅱ）B??3，b?3

解析：（Ⅰ）由m?n??cos(B?C)?又A?(0,?)则A?（Ⅱ）sinB?cos(22?cosA??0 22?4

7????C)?sinB?cos(B?)?3sin(B?) 12663??7?)则B?时sinB?cos(?C)最大 又B?(0,4312ba? 由正弦定理得b?3 sinBsinA 所以B??3，b?3

【思路点拨】（Ⅰ）通过向量的垂直，两角和与差的三角函数化简表达式，利用三角形的内角和，转化A的三角函数值，然后求A的大小；（Ⅱ）通过A的大小，推出C与B 的关系，化简sinB?cos(7??C)为B的三角函数的形式，通过B的范围求出不等式取得最大值时，12求角B的大小，利用正弦定理求出b的值， 【题文】17. （本小题14分）

如图①，一条宽为1km的两平行河岸有三个工厂A、B、C，工厂B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，D为垂足．现要在河岸AD上修建一个供电站，并计划铺设地下电缆和水下电缆，从供电站向三个工厂供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别为2万元/km、4万元/km．

（Ⅰ）已知工厂A与B之间原来铺设有旧电缆（原线路不变），经改造后仍可使用，旧电缆的改造费用是0.5万元/km．现决定将供电站建在点D处，并通过改造旧电缆修建供电线路，试求该方案施工总费用；

（Ⅱ）如图②，已知供电站建在河岸AD的点E处，且决定铺设电缆的线路为CE、EA、

EB，若?DCE??(0???工费用y的最小值．

?3)，试用?表示出总施工费用y（万元）的解析式,并求总施

【知识点】在实际问题中建立三角函数模型；根据实际问题选择函数类型．B10 【答案】【解析】（Ⅰ）5+3；（Ⅱ）总费用的最小值为(42?23)万元。

9

解析：（Ⅰ）过D作DE?AB于E，地下电缆的最短线路为DE,AB,CD

该方案总费用为1?4?（Ⅱ）CE?EB?3?2?2?0.5?5?3（万元） 21，ED?tan?，AE?3?tan? cos?113?sin??4??2?(3?tan?)?2?2??23 则y?cos?cos?cos?3?sin?3sin??1 设g(?)? 则g'(?)? 2cos?cos?1? 由g'(?)?0得sin?0?,?0?(0,)

33 列表

g(?)min?g(?0)?22, 则ymin?42?23 此时ED?tan?0?2 42 4 因此施工总费用的最小值为(42?23)万元，其中ED?【思路点拨】（Ⅰ）由已知可得△ABC为等边三角形．因为CD⊥AD，所以水下电缆的最短线路为CD．过D作DE⊥AB于E，可知地下电缆的最短线路为DE、AB．由此能求出该方案的总费用．（Ⅱ）因为∠DCE=?，0???AE?3?tan?,则

g'(?)?1,ED?tan?，

3cos?3?sin?3?sin??23，令g(?)?y=?2?，则

cos?cos?，所以CE?EB??3si?n?1，由此能求出施工总费用的最小值． 2co?s【题文】18. （本小题16分）

x2y2若椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，F1、F2是它的左、右焦点，椭圆C过点(0,1)，

ab且离心率为e?22． 3（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左右顶点为A、B，直线l的方程为x?4，P是椭圆上任一点，直线PA、

PB分别交直线l于G、H两点，求GF1?HF2的值；

（Ⅲ）过点Q(1,0)任意作直线m（与x轴不垂直）与椭圆C交于M、N两点，与y轴交于R点RM??MQ，RN??NQ．证明：???为定值．

10

【知识点】椭圆的应用；平面向量数量积的运算；直线与圆锥曲线的综合问题．H5 H8 F3

65x2?y2?1；【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析

99x2?y2?1 解析：（Ⅰ） 9（Ⅱ）设p(x0,y0)，则G(4,7y0y)，H(4,0) x0?3x0?3GF1?HF2=

65 9（Ⅲ）设M(x1,y1)，N(x2,y2),R(0,t) 由RM??MQ得(x1,y1?t)??(1?x1,?y1)

??x???11??(???1)代入椭圆方程得 所以??y?t1?1??? ??9t?9(1??) ①

同理由RN??NQ得??9t?9(1??) ② 由①-②得?????2222229 4 yMPBF1QF2NRHxGA

11

【思路点拨】（Ⅰ）根据已知条件列出a,b,c的方程组解之即可；（Ⅱ）设p(x0,y0)，则

G(4,7y0y（Ⅲ）设M(x1,y1)，)，H(4,0)，直接利用向量的数量积公式计算即可；

x0?3x0?3??x???11??(???1)代入椭圆方程，利用韦达定理及RM??MQ，N(x2,y2),R(0,t)，?t?y?1?1???9RN??NQ，求出?????，即可得出结论．

4【题文】19. （本小题16分）

2ax?a2?1已知函数f(x)?，其中a?R．

x2?1（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在原点处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)在[0,??)上存在最大值和最小值，求a的取值范围．

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．B11 B12

【答案】【解析】（Ⅰ）2x?y?0；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）a??1或0?a?1 解析：（Ⅰ）2x?y?0 （Ⅱ）f'(x)??2(x?a)(ax?1) 22(x?1)①a?0时f(x)在(??,0)上单调递减，在(0,??)上单调递增

11aa11③a?0时f(x)的单调递增区间(?a,)，单调递减区间(??,?a),(,??)

aa（Ⅲ）①由（2）a?0时不符合题意

②a?0时f(x)的单调递增区间(??,),(?a,??)，单调递减区间(,?a) ②a?0时f(x)在(0,?a)上递减，在(?a,??)上递增，则当

x?(0,??)f(x)min?f(?a)??1

当x??a时，

12

2ax?a2?1??2a2?a2?1?0,x2?1?0 故f(x)?0

则f(0)?0解得a??1

③a?0时f(x)在(0,)上递增，在(,??)上递减 则f(x)max?f()?a?0且x?1a1a1a21时f(x)?0 a则f(0)?0解得0?a?1，综上a??1或0?a?1

【思路点拨】（Ⅰ）当a=1时，先对函数求导，然后求出 f'（0），即取消在原点处的切线斜率，可求得曲线y=f（x）在原点处的切线方程

（Ⅱ）先对函数求导，然后根据导数的符号可判断函数的单调区间

（III）由（Ⅱ）中函数的单调区间，可求出函数的最值取得的条件，然后可求a的范围。 【题文】20. （本小题16分）

已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和．

（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn2??Sn?成立，求数列{an}的通

2项公式；

（Ⅱ）对任意正整数n，从集合{a1,a2,,an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加

,an一起恰好是1

减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1,a2,至Sn全体正整数组成的集合．

（ⅰ）求a1,a2的值；（ⅱ）求数列{an}的通项公式． 【知识点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．D3 D2 【答案】【解析】（Ⅰ）an?1或an?2n?1；（Ⅱ）an?3n?1 解析：（Ⅰ）设无穷等差数列{an}的公差为d，则

Sn?na1?n(n?1)?dd??? d?n?n??a1???222??? 所以?ddddSn2?n2[n2?(a1?)]又(Sn)2?n2[n?(a1?)]2

2222d2ddd2则[n?(a1?)]=[n?(a1?)]

2222 13

?dd2??4?2dd2?所以?a1??(a1?)则an?1或an?2n?1

22?d?d(a??12)?0?（Ⅱ）（i）记An?{1,2,,Sn}，显然a1?S1?1

对于S2?a1?a2?1?a2， 有A2?{1,2,,S2}?{1,a2,1?a2,|1?a2|}?{1,2,3,4}

故1?a2?4，所以a2?3 （ii）由题意可知，集合{a1,a2,,an}按上述规则，共产生Sn个正整数．而集合

,Sn这Sn个正整数外，还有

{a1,a2,a,na,n?1按上述规则产生的}Sn?1个正整数中，除1,2,an?1,an?1?i,|an?1?i|(i?1,2,,Sn)，共2Sn?1个数．

所以，Sn?1?Sn?(2Sn?1)?3Sn?1

11?3(Sn?) 221n?111n1所以Sn?(S1?)?3???3?

22221n11n?11n?1当n?2时，an?Sn?Sn?1??3??(?3?)?3而a1?1也满足an?3n?1

2222又Sn?1?所以，数列{an}的通项公式是an?3n?1

【思路点拨】（Ⅰ）写出等差数列{an}的前n项和，结合对任意正整数n都有Sn3＝(Sn)3成立列式求取首项和公差，从而得到两个无穷等差数列的通项公式；（Ⅱ）（1）由题意利用用集合相等求得a1，a2的值；（2）有题意可知，集合{a1,a2,整数，而集合{a1,a2,,an}按上述规则共产生Sn个正,an}按上述规则共产生Sn+1个正整数中，除1，2，…，Sn这Sn个11?3(Sn?)求得Sn，然后由Sn-Sn-1求通项． 22正整数外，还有an+1，an+1+i，|an+1-i|（i=1，2，…，Sn）共2Sn+1个数．∴Sn?1?Sn?(2Sn?1)?3Sn?1．结合Sn?1?

14