因此共有n!种排列

对每个n－循环置换，均有n种排列，因此

n!n－循环置换的个数为?(n?1)!个

nP70习题

3. 找一个既不满足交换律又不满足结合律的二元运算

解：n维向量空间中向量的叉积运算。 4. 给出一个三元运算的例子

解：求三个正整数的最大公因数。

5. 设A?{a,b,c,d}，A上的代数运算“?”如表所示。代数运算“?”是否满足交换律？结合律？“?”有单位元吗？

解：不满足交换律，因为运算表不对称。d?c?a,c?d?d,d?c?c?d。也不

(b?b)?c?a?c?c满足结合律，b?(b?c)?b?a?b

(b?b)?c?b?(b?c)单位为a o a b c d a a b c d b b a a c c c a b a d d c d b 6.设N?{1,2,3,?}，?m,n?N,m?n?nlog10m。

那么“?”是N上的代数运算吗？为什么？ 解：当m=1时，log10m?0，nlog10m?0,0?N

因此“?”不是N上的代数运算。

7. 设“?”是X上的代数运算，则应该怎样定义“?”的逆运算？回忆一下，逆运算通常比原运算“难算”，这是为什么？例如，积分比微分难，减法比加法难，除法比乘法难，开方比幂方运算难。

解：“?”的逆运算可以这样定义：一个从X到X?X?X???X?Xn的映射 “?”称为X上的n元运算的逆运算

“?”的逆运算的象集所在的集合X?X?X???X的元素的个数是X的元素个数的mn?1倍（设X?m），因而逆运算的个数很多，因此得到其中的一种就较困难，故逆运算较难算。

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第三章 关 系

P86习题

1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系？

解：设X?(a,b,c),R是X上的一个二元关系且R?{(a,a),(a,b)}即可。 2.是否存在一个同时不满足自反性，对称性，反对称性，传递性和反自反性的二元关系？

解：存在。

设X?{a,b,c}，R是X上的二元关系R?{(a,a),(a,c),(a,b),(c,a)}。 3.设R，S是X上的二元关系，下列命题哪些成立：

a)若R与S是自反的，则R?S,R?S分别也是自反的。 b) 若R与S是对称的，则R?S,R?S分别对称的 c) 若R与S是传递的，则R?S也是传递的 d) 若R与S不是自反的，则R?S也不是自反的 e) 若R与S是反自反的，则R?S,R?S也是反自反的 f) 若R是自反的，则Rc也是反自反的。

g) 若R与S是传递的，则R\\S是传递的 答案：真真真假真真假

4.实数集合上的“小于”关系?是否市反自反的？集合X的幂集上的“真包含”关系?是否是反自反的？为什么？

证：实数集合上的“小于”关系?是反自反的；

集合X的幂集上的“真包含”关系?也是反自反的。

5.设R、S是X上的二元关系。证明：

（1）(R?1)?1?R；（2）(R?S)?1?R?1?S?1

（3）(R?S)?1?R?1?S?1；（4）若R?S，则R?1?S?1

证：（1）?(x,y)?(R?1)?1，则(y,x)?R?1，即(x,y)?R，因此(R?1)?1?R。 反之，?(x,y)?R，则(y,x)?R?1，即(x,y)?(R?1)?1，因此R?(R?1)?1。 从而(R?1)?1?R

（2）?(x,y)?(R?S)?1，则(y,x)?R?S，

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即(y,x)?R或(y,x)?S。于是(x,y)?R?1或(x,y)?S?1， 即(x,y)?R?1?S?1，因而(R?S)?1?R?1?S?1。 反之，?(x,y)?R?1?S?1，则(x,y)?R?1或(x,y)?R?1。 于是(y,x)?R或(y,x)?S，即(y,x)?R?S。 从而(x,y)?(R?S)?1，因此，R?1?S?1?(R?S)?1。 故(R?S)?1?R?1?S?1

（3）?(x,y)?(R?S)?1，则(y,x)?R?S。于是(y,x)?R且(y,x)?S， 从而(x,y)?R?1且(x,y)?S?1，即(x,y)?R?1?S?1 因此(R?S)?1?R?1?S?1

反之，设(x,y)?R?1?S?1，则(x,y)?R?1且(x,y)?S?1 于是(y,x)?R且(y,x)?S，即(y,x)?R?S。 从而(x,y)?(R?S)?1，因此R?1?S?1?(R?S)?1 故R?1?S?1?(R?S)?1

（4）?(x,y)?R?1，则(y,x)?R

因为R?S，所以(y,x)?S，于是(x,y)?S?1 因而R?1?S?1

6.设R是X上的二元关系，证明：R?R?1是对称的二元关系。

证1：(R?R?1)?1?R?1?(R?1)?1，故R?R?1是对称的。

证2：则(x,y)?R或(x,y)?R?1，即(y,x)?R?1或(y,x)?R。 ?(x,y)?R?R?1，于是(y,x)?R?R?1，因此R?R?1是对称的。

9.有人说：“若R是X上的二元关系，只要R是对称的和传递的，则R必是自反的。”他的证明如下：若xRy，则由R的对称性便知有yRx。于是由xRy和yRx以及R的传递性即得xRx。所以，R是自反的。他的推论错在什么地方？这个结论是否对呢？

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解：若R??，则R是对称的，传递的，反自反的。

若R??，只有?x?X使得xRx，才能说R是自反的。此人只是说明了X中的部分元素满足了xRx，因而是错误的。

所以这个结论不对。

P92习题

1.“父子“关系的平方是什么关系？

解：“父子“关系的平方是”祖孙“关系

2.设X={1,2,3,4},R={(1,2),(2,2),(3,4)},S={(2,3),(3,1),(4,2)}

试求：R?S,S?R,R2,S2,R?(S?R),(R?S)?R。 解：

R?S?{(1,3),(2,3),(3,2)}S?R?{(2,4),(3,2),(4,2)} R?{(1,2),(2,2)} S2?{(2,1),(4,3)}2

R?(S?R)?R?{((2,4),(3,2),(4,2)} ?{(1,4),(2,4),(3,2)}(R?S)?R={(1,3),(2,3),(3,2)}?R ={(1,4),(2,4),(3,2)}

3.设R与S为X上的任两个集合，下列命题哪些为真？

a）若R,S都是自反的，则R?S也是自反的。 b）若R,S都是对称的，则R?S也是对称的。 c）若R,S都是反自反的，则R?S也是反自反的。 d）若R,S都是反对称的，则R?S也是反对称的。 e）若R,S都是传递的，则R?S也是传递的。 答案：真假假假假

4.设R1是A到B，R2和R3是B到C的二元关系，则一般情况下

R1?(R2\\R3)?(R1?R2)\\(R1?R3)。但有人声称等号成立，他的证明如下：设则?b?X，使得(a,b)?R1且(b,c)?R2\\R3。于是(b,c)?R2且(a,c)?R1?(R2\\R3)，

(b,c)?R3。从而(a,c)?R1?R2且(b,c)?R1?R3，所以(a,c)?(R1?R2)\\(R1?R3)，即R1?(R2\\R3)?(R1?R2)\\(R1?R3)。同理可证相反的包含关系成立，故等式成立，这个证明错在什么地方？

解：由(a,c)?R1,(b,c)?R2且(b,c)?R3，只能得到(a,b)?R1?R2。但(a,c)?R1?R3不一定成立。

例如(a,a)?R1,(a,c)?R3时，(a,c)?(R1?R3)

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