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文章发布时间 : 2025/11/1 0:53:56星期六

《概率论与数理统计》练习题

一、单项选择题

1. A、B为两事件，则A?B=（）

A．A?B B．A∪B C．AB D．A∩B 2.对任意的事件A、B，有（）

A．P(AB)?0，则AB不可能事件 B．P(A?B)?1，则A?B为必然事件 C．P(A?B)?P(A)?P(B) D．P(A?B)?P(A)?P(AB) 3.事件A、B互不相容，则（）

A．P(A?B)?1 B．P(A?B)?1 C．P(AB)?P(A)P(B) D．P(A)?1?P(AB) 4．设A为随机事件，则下列命题中错误．．的是（） A．A与A互为对立事件 B．A与A互不相容 C．A?A??

D．A?A

5.任意抛一个均匀的骰子两次，则这两次出现的点数之和为8的概率为（）

A．

336 B．436 C．5236 D．36 6.已知A、B、C两两独立，P(A)?P(B)?P(C)?112，P(ABC)?5，则P(ABC)等于（A．140 B．120 C．1110 D．4

7.事件A、B互为对立事件等价于（）

（1）A、B互不相容（2）A、B相互独立

（3）A?B?? （4）A、B构成对样本空间的一个剖分 8.A、B为两个事件，则P(A?B)=（）

A．P(A)?P(B) B．P(A)?P(AB) C．P(A)?P(B) D．P(B?A) 9.A1、A2、A3为三个事件，则（）

A．若A1,A2,A3相互独立，则A1,A2,A3两两独立； B．若A1,A2,A3两两独立，则A1,A2,A3相互独立；

）

C．若P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)，则A1,A2,A3相互独立； D．若A1与A2独立，A2与A3独立，则A1与A3独立

B)?（） 10．设A与B相互独立，P(A)?0.2，P(B)?0.4，则P(A　A．0.2 B．0.4

C．0.6 D．0.8

11．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正面朝上的概率为（） A.0.125 B.0.25 C.0.375 D.0.5 12．设A、B为任意两个事件，则有（） A.（A∪B）-B=A B.(A-B)∪B=A C.(A∪B)-B?A D.(A-B)∪B?A 13．设A，B为两个互不相容事件，则下列各式错误的是（）．．A．P（AB）=0

C．P（AB）=P（A）P（B）

B．P（A∪B）=P（A）+P（B） D．P（B-A）=P（B）

114．设事件A，B相互独立，且P（A）=，P（B）>0，则P（A|B）=（）

3A．C．

1 15B．

1 541 D． 15315．设事件A与B互不相容，且P(A)>0，P(B) >0，则有（） A．P(AB)=l

B．P(A)=1-P(B)

C．P(AB)=P(A)P(B) D．P(A∪B)=1

16．设A、B相互独立，且P(A)>0，P(B)>0，则下列等式成立的是（） A．P(AB)=0

B．P(A-B)=P(A)P(B)

C．P(A)+P(B)=1 D．P(A|B)=0

17．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（） A．0.125 B．0.25 C．0.375 D．0.50

18．某射手向一目标射击两次，Ai表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）

A．A1A2 C．A1A2

B．A1A2 D．A1A2

19．某人每次射击命中目标的概率为p(0

A．p2 B．(1-p)2 C．1-2p D．p(1-p)

20．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且A?B，则P(A|B)=（）

A．0 B．0.4 C．0.8 D．1

21．一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（）

A．0.20 B．0.30 C．0.38 D．0.57

22．X的密度为f(x)???2x,x?[0,A]?0,其它，则A=（）

A．14 B．12 C．1 D．2 23．离散型随机变量X的分布列为

X 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2

其分布函数为F(x),则F(3)?( ) A． 0 B．0.3 C．0.8 D．1

．随机变量X的密度函数f(x)???cx424x?[0,1]?0其它则常数c=（） A．

15 B．14 C．4 D．5 25．离散型随机变量X的分布列为

X 0 1 2 P 0.2 0.4 0.4

其分布函数为F(x)，则F(1)? ( ) A．0.4 B．0.2 C．0.6 D．1

26．设随机变量X服从参数为3的指数分布，其分布函数记为F(x)，则F(13)?（）

A．

13e B．e3

C．1?e?1

D．1?1e?13

27．设随机变量X的概率密度为f(x)???ax3,0?x?1,则常数a?（ ?0,其他, ）

A．

14 B．13

C．3

D．4

28．设随机变量X与Y独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别为

14，34，则P?XY??1??（ 3

） A．116 B．

316 C．

14 D．38

29．设三维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(x,??)?（） A．0 B．FX(x) C．FY(y)

D．1

30．设随机变量X和Y相互独立，且X~N(3,4)，Y~N(2,9)，则Z?3X?Y~（） A．N(7,21) B．N(7,27) C．N(7,45)

D．N(11,45)

?x0?x?1;31．设随机变量X的概率密度为f(x)=?,?2?x,1?x?2; 则P{0.2

??0,其它.A．0.5 B．0.6 C．0.66 D．0.7

32．某人射击三次，其命中率为0.7，则三次中至多击中一次的概率为（） A.0.027 B.0.081 C.0.189 D.0.216

33．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y). 其联合概率分布为（）

Y X 0 1 2 -1 0.2 0.1 0.1 0 0 0.3 0 2 0.1 0 0.2

则F（0,1）=( )

A.0.2 B.0.6 C.0.7

D.0.8

34．设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)=??k(x?y),0?x?2,0?y?1;?0,其它.则k=（ A.

14 B.13 C.12 D.23 35．设随机变量X在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度f （x）为（）?A．f(x)??1?,?1?x?2;B．f(x)???3,?1?x?2;?3 ?0,其他.?0,其他.

(x)???1,?1?x?2;?C．f?0,其他.

D． f(x)????13,?1?x?2;

??0,其他.36．设随机变量X ~ B??1??3,3??，则P{X?1}=（）

）

A．C．

1 27B．

8 271926 D． 272737．设二维随机变量（X，Y）的分布律为 Y 1 2 X 1 2 则P{XY=2}=（） A．C．

3 1 103 102 101 103 102 101 101 5B．

13 D． 2538．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 ?4xy,0?x?1,0?y?1; f(x,y)??

0,其他,?则当0?y?1时，（X，Y）关于Y的边缘概率密度为fY （ y ）= （）

1 2x1C．

2yA．

B．2x D．2y

39．设函数f(x)在[a，b]上等于sinx，在此区间外等于零，若f(x)可以作为某连续型随机变量的概率密度，则区间[a，b]应为（）

A．[?

π,0] 2πB．[0,]

2D．[0,C．[0,π]

3π] 2?x?40．设随机变量X的概率密度为f(x)=?2?x?0?0?x?11?x?2，则P(0.2

41．设在三次独立重复试验中，事件A出现的概率都相等，若已知A至少出现一次的概率为19／27，则事件A在一次试验中出现的概率为（）

A．

1 6B．

1 411C． D．

2342．设随机变量X，Y相互独立，其联合分布为

则有（）

12A．??,??

9912C．??,??

3343．设随机变量X的分布律为

21B．??,??

9921D．??,??

33X P 0 1 2 0.3 0.2 0.5 则P{X<1}=（）

A．0 B．0.2 C．0.3 D．0.5

44．下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（） ?100?,x?100,A．?x2

?x?100?0,?10?,x?0,B．?x

??0,x?013?1?，?x?,D．?222

?其他?0,?1,0?x?2,C．? ?0,其他?

45.随机变量X服从二项分布B(10,0.2)，则（） A．EX?DX?2 B．EX?DX?1.6 C．EX?2，DX?1.6 D．EX?1.6，DX?2

46.X可取无穷多个值0,1,2,?，其概率分布为普阿松分布P(3)，则（） A．EX?DX=3 B．EX?DX=

1111 C．EX=3，DX= D．EX=，DX= 3339

47.随机向量(X,Y)有DX?36,DY?25,协方差?XY?12，则D(X?Y)?( A．1

B．37 C．61 D．85

D(X)1?（） 48.设X~B(10, ), 则

E(X)3

)

1A. 3C.1

B.D.

2 310 3 6

?1?e?2xx?0;49．已知随机变量X的分布函数为F(x)=?则X的均值和方差分别为（）

其它.?0A.E(X)=2, D(X)=4 C.E(X)=

B.E(X)=4, D(x)=2 D.E(X)=

11,D(X)= 4211, D(X)= 2450．设随机变量X的E（X）=?,D(X)=?2，用切比雪夫不等式估计P(|X?E(X)|?3?)?（） A.C.

1 91B. 38 D.1 951．设二维随机变量（X，Y）的分布律为 Y 0 X 0 1 则E（XY）=（） A．?C．

1 1 31 31 30 1 9B．0

11 D． 9352．已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量X的方差为（） A．-2 B．0

1C． D．2

253．设?n是n次独立重复试验中事件A出现的次数，P是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的??0，均有limP{|n???nn?p|??}（）

B．=1 D．不存在

A．=0 C．> 0

54．设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为2的指数分布，Y～B(6，A．?C．2

1)，则E(X-Y)=（） 25 21 2D．5 B．

55．设二维随机变量(X，Y)的协方差Cov(X，Y)=（）

A．C．

1，且D(X)=4，D(Y)=9，则X与Y的相关系数?XY为61 2161 6B．

1 36D．1

56.设总体X服从N(?,?2)，X1,X2,?Xn为其样本，则Y?n(X??)服从（）

SA.x2(n?1)B.N(0,1)2C.t(n?1)D.t(n)

157.设总体X服从N(?,?)，X1,X2,?,Xn为其样本，则Y? A.x2(n?1)?2?(Xi?1ni??)2服从（）

B.x2(n)C.t(n?1)D.t(n)

58．设总体X的分布律为P?X?1??p，P?X?0??1?p，其中0?p?1.设X1,X2,?,Xn为来自总体的样本，则样本均值X的标准差为（）

p(1?p) nA．B．

p(1?p) nC．np(1?p) D．np(1?p)

59．设随机变量X~N(0,1),Y~N(0,1)，且X与Y相互独立，则X2?Y2~（） A．N(0,2) C．t(2)

B．?2(2) D．F(1,1)

60.记F1-α(m,n)为自由度m与n的F分布的1-?分位数，则有（）

11A.F?(n,m)? B.F1??(n,m)?

F1??(m,n)F1??(m,n)C.F?(n,m)?1

F?(m,n)D.F?(n,m)?1

F1??(n,m)61．设x1, x2, …, x100为来自总体X ~ N（0，42）的一个样本，以x表示样本均值，则x~（） A．N（0，16） B．N（0，0.16） C．N（0，0.04） D．N（0，1.6） 62．设总体X～N(?,?2)，X1，X2，?，X10为来自总体X的样本，X为样本均值，则X～（） A．N(?，10?2)

B．N(?，?2) D．N(?，?2C．N(?，)

10?210)

63．设X1，X2，?，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则样本方差S2=（） 1A．

n?(Xi?1ni?X)

21B．

n?1?(Xi?1ni?X)2

1C．

?(Xi?1ni?X)

21D．

n?18

?(Xi?1ni?X)2

64．设总体X~N(?,?2),X1,X2,?,Xn为来自总体X的样本，?,?2均未知，则?2的无偏估计是（）

1A．

n?11C．

nn?(Xi?1ini?X)

21B．

n?1?(Xi?1ni??)2

?(Xi?1?X)

21D．

n?1?(Xi?1ni??)2

65．设总体X ~ N（?,?2），其中?未知，x1，x2，x3，x4为来自总体X的一个样本，则以下关于?的

1211111?2?x1?x2?x3，??3?x1?x2，??4?x1中，哪一个是无(x1?x2?x3?x4)，?4755566偏估计？（） ?1?四个估计：??1 B．??2 C．??3 D．??4 A．?66.总体X服从P(?)，其中??0为未知参数,X1,X2,?Xn为样本,则下面说法错误的是( ) A．X是EX的无偏估计量 B．X是DX的无偏估计量 C．X是EX的矩估计量 D．X是?的无偏估计量 67．矩估计必然是（）

(1)无偏估计 (2)总体矩的函数 (3)样本矩的函数 (4)极大似然估计

2?)??，则??是?的（） 68．设??是未知参数?的一个估计量，若E(?A．极大似然估计 B．矩估计 C．无偏估计 D．有偏估计

69．下列说法正确的是（）

（1）如果备择假设是正确的，但做出的决策是拒绝备择假设，则犯了弃真错误（2）如果备择假设是错误的，但做出的决策是接收备择假设，则犯了采伪错误（3）如果零假设是正确的，但做出的决策是接受备择假设，则犯了弃真错误（4）如果零假设是错误的，但做出的决策是接收备择假设，则犯了采伪错误

70．对正态总体的数学期望?进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受H0 ：?=?0，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（）

A．不接受，也不拒绝H0 B．可能接受H0，也可能拒绝H0 C．必拒绝H0 D．必接受H0

二、填空题

1. A、B为两事件，P(A?B)?0.8，P(A)?0.2，P(B)?0.4，则P(B?A)? 。

2.一小组共10人，得到3张电影票，他们以摸彩方式决定谁得到此票，这10人依次摸彩，则第五个人摸到的概率为。

3．有甲、乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为_______。

4．某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为_______。

5．连续抛一枚均匀硬币6次，则正面至少出现一次的概率为___________。

6．设事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.2, 则P(A∪B)= ___________。

7．某人工作一天出废品的概率为0.2，则工作四天中仅有一天出废品的概率为___________。 8．袋中有5个黑球3个白球，从中任取4个球中恰有3个白球的概率为___________。 9．设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P（A）=0.3，P（B）=0.4，则P（AB）=__________。 10．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________。

11．将三个不同的球随机地放入三个不同的盒中，则出现两个空盒的概率为______。

12．袋中有8个玻璃球，其中兰、绿颜色球各4个，现将其任意分成2堆，每堆4个球，则各堆中兰、绿两种球的个数相等的概率为______。

13．已知事件A、B满足：P(AB)=P(AB)，且P(A)=p，则P(B)= ______。

14．同时扔3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为________。

15．设随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.2，P(A∪B)=0.6，则P(B)= ________。 16．设事件A与B相互独立，且P(A∪B)=0.6，P(A)=0.2，则P(B)=________。 17．设P(A)?0.3，P(B|A)=0.6，则P(AB)=________。

18．10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率是________。

19．某工厂一班组共有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，则其中恰有1名女工的概率为________。

20．设离散型随机变量X的分布函数为

x??1,?0,?1F(x)??,?1?x?2,

?3x?2,?1,则P?X?2??_______。

1??21．设随机变量X~U(?1,1)，则P?X???_______。

2??122．设随机变量X~B(4,)，则P?X?0??_______。

323．设随机变量X~N(0,4)，则P?X?0??_______。

24．已知当0?x?1,0?y?1时，二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)?x2y2，记(X,Y)的概率密

11度为f(x,y)，则f(,)?_______.

44?1,0?x?1,0?y?1,25．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??

0,其他,?11??则P?X?,Y???_______。

22??

?0?1??26．已知随机变量X的分布函数为F(x)=?22??3??1x?00?x?1 则P{2

1?x?3x?327．已知随机变量X的概率密度为f(x)=ce-|x|，-∞

28．设二维随机变量(X,Y)的分布律为

Y 0 5 X 0 2 则P{XY=0}=___________。

1 41 61 41 3?e?x?y,x?0,y?0;29．设(X,Y)的概率密度为f(x,y)=?则X的边缘概率密度为fX(x)= ___________。

其它.?0,30．设X与Y为相互独立的随机变量，其中X在(0，1)上服从均匀分布，Y在(0，2)上服从均匀分布，则(X，Y)的概率密度f(x,y)= __________。

2??Ax,0?x?1;31．设随机变量X的概率密度f(x)?? 则常数A=_________。

?其他,?0, -X32．设随机变量X的分布律为 0 1

PC 33．设离散型随机变量X的分布函数为F

20.4 1,则常数C=_____。 C

?0,?0.2,??（x）=?0.3,?0.6,???1,x??1;?1?x?0;0?x?1;则P{X>1}=-1?x?2;x?2,_________。

x?10;?0,?34．设随机变量X的分布函数为F（x）=?10则当x?10时，X的概率密度（fx）=__________。

?1?x,x?10,??1?,?1?x?1,?1?y?1;35．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)??4，则

?0,其他,?P{0?X?1,0?Y?1}=___________。

36．设二维随机变量（X，Y）的分布律为 Y 1 X

2 11

3 1 2 则P{Y=2}=___________.

1 61 121 81 8X?1～______。 21 41 437．设连续型随机变量X～N(1，4)，则38．设随机变量X的概率分布为

F(x)为其分布函数，则F(3)= ______．

39．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P{X≥1)=

5，则P{Y≥1)= _ _。 9?0.5x?)(1?e?0.5y),x?0,y?0?(1?e40．设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)=?，则X的边缘分布函数

?0其它?Fx(x)= ______。

?A(x?y)0?x?2,0?y?141．设二维随机变量(X，Y)的联合密度为：f(x，y)=?，则A=______。

0其它?42．设连续型随机变量X的分布函数为

??0，x?0，?π?F(x)??sinx，0?x?,

2?π?1,x?,?2?π)=________。 643．设随机变量X～U (0，5)，且Y=2X，则当0≤y≤10时，Y的概率密度fY (y)=________。

44．设相互独立的随机变量X，Y均服从参数为1的指数分布，则当x>0，y>0时，(X，Y)的概率密度f (x，y)=________。

其概率密度为f (x)，则f (

?1，0?x?1,0?y?1,45．设二维随机变量(X，Y)的概率密度f (x,y)=?则P{X+Y≤1}=________。

0,其他，??axy，0?x?1,0?y?1,46．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x,y)= ?则常数a=_______。

0,其他，?1?2(x2?y2)e47．设二维随机变量(X，Y)的概率密度f (x,y)=，则(X，Y)关于X的边缘概率密度2π1fX(x)=________。

48.设X,Y的联合分布为

?1?2?x?2?y?2?x?y,x?0,y?0 F(x,y)??0,其它?则P(1?X?2,3?Y?5)?

49.设X服从二项分布B(10,0.3)，则E(2X?1)= 。 50.设X服从二项分布B(n,p)，则D(2X?1)? 。 51. 总体X服从N(2,22)，则EX2? 。

52．设二维随机变量(X,Y)的分布律为

Y X 1 2 则E(XY)?_______。

X -1 1 0 1 1 62 62 61 61 253．设随机变量X的分布律为，则E(X2)=_______。 P 33?1,X?0,?54.设随机变量X在区间[-1，2]上服从均匀分布。随机变量Y??0,X?0,则D(Y)?____ _。

??1,X?0,?55.设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4。而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式有估计PX?Y?6? _。

56.设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计PX?EX?2?_ _。 57．设随机变量X与Y相互独立，且D(X)?0,D(Y)?0，则X与Y的相关系数?XY?_____。 58．设随机变量X~B(100,0.8)，由中心极限定量可知， P?74?X?86??_______.(Φ(1.5)=0.9332)

????1，k=1,2,3,4,5，则D(X)= ___________。 560.若X~N(3,0.16)，则D(X+4)= ___________。 59.设随机变量X具有分布P{X=k}=?0,61.设Xi=??1,100事件A不发生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互独立，令Y=Xi，

事件A发生i?1?则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布，其方差为___________。

1??62．设随机变量X ~ B?18,?，则D（X）=_________。

3???2x,0?x?1;63．设随机变量X的概率密度为f(x)??则E（X）=________.

0,其他,?64．已知E（X）=2，E（Y）=2，E（XY）=4，则X，Y的协方差Cov（X,Y）=____________。

65．设随机变量X ~ B（100，0.2），应用中心极限定理计算P{16?X?24}=__________。（附：Φ（1）=0.8413）

66．设X～N(0，1)，Y=2X-3，则D(Y)=______。 67．设随机变量X与Y相互独立，其分布律分别为

则E(XY)=________。

68．设X，Y为随机变量，已知协方差Cov(X，Y)=3，则Cov(2X，3Y)=________。 69.设随机变量X、Y的概率分布为

Y X 0 1 -1 0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 则X与Y的相关系数?=__ 。

70.设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计PX?EX?2?_ _。 71.设随机变量X和Y的数学期望分别为―2和2，方差分别为1和4。而相关系数为―0.5，则根据切比雪夫不等式有估计PX?Y?6? _ 。

72．设随机变量F~F(n1,n2)，则

2????1~_______。 F73.设总体X~N(?,?)，X1，…，X20为来自总体X的样本，则的?2分布。

?i?120(Xi??)2?2服从参数为___________

?32?x,|x|?1;74．设总体X的概率密度为f(x)??2x1 , x2 , … , xn为来自总体X的一个样本，x为样本均

?0,其他.?值，则E（x）=___________。

75．设X1、X2、X3、X4为来自总体X～N（0，1）的样本，设Y=（X1+X2）2+（X3+X4）2，则当C=______时，CY～?2(2)。

76．设随机变量X～N(?，22),Y～?2(n)，T=

X??2Yn，则T服从自由度为______的t分布。

22X为其样本均值；77．设总体X～N (?1,?1)，X1，X2，?，Xn为来自总体X的样本，设总体Y～N (?2,?2)，

Y1，Y2，?，Yn为来自总体Y的样本，Y为其样本均值，且X与Y相互独立，则D(X?Y)=________。

n178.X1,X2,?,Xn是均匀总体U[0,3?],??0的样本，?是未知数，X??Xi，则?的无偏估计

ni?1是。

?是未知参数?的一个估计量，若E(??)___________，则??是?的无偏估计。 79.设?80．设总体X~N(?,?2)，其中?2未知，现由来自总体X的一个样本x1,x2,?,x9算得样本均值x?10，样本标准差s=3，并查得t0.025(8)=2.3，则?的置信度为95%置信区间是_______。

81．设总体X服从参数为?(??0)的指数分布，其概率密度为

??e??x,x?0, f(x,?)??0,x?0.??=_______。由来自总体X的一个样本x1,x2,?,xn算得样本平均值x?9，则参数?的矩估计?82．设x1 , x2 , … , x25来自总体X的一个样本，X ~ N（?,52），则?的置信度为0.90的置信区间长度为____________。（附：u0.05=1.645）

83．设总体X服从参数为?（?>0）的泊松分布，x1 , x2 , … , xn为X的一个样本，其样本均值x?2，?=__________。则?的矩估计值?84．设总体X为指数分布，其密度函数为p(x ;?)=?e??x，x>0，x1，x2，…，xn是样本，故?的矩法估计?=______。

85．由来自正态总体X～N(?，12)、容量为100的简单随机样本，得样本均值为10，则未知参数?的置信度为0.95的置信区间是______。(u0.025?1.96,u0.05?1.645)

86．假设总体X服从参数为?的泊松分布，X1，X2，?，Xn是来自总体X的简单随机样本，其均值为

?1n2X，样本方差S=(Xi?X)。已知??aX?(2?3a)S2为?的无偏估计，则a=______。

n?1i?1?2

??e?(x??),x??87.设总体X的概率密度为f(x,?)??，而X1,X2,?,Xn是来自X的简单随机样本，

?0,x??则未知参数θ的矩估计为_ ___。

88.总体X服从N(?,2) ，其中?未知。X1,X2,?Xn为其样本，则置信水平为0.9的?的置信区

2间为。

289.总体X服从N(?,?2)，其中?未知，?已知。X1,X2,?Xn为其样本，

(X?Z0.05?n,X?Z0.05?n)作为?的置信区间，其置信水平为。

90.对单个正态总体，总体方差已知时，检验假设H0:???0用检验法；总体方差未知时，检验假设H0:???0用检验法。

三、判断题

1.如果事件A、B独立，则A、B也独立（） 2.如果A?B??，则事件A、B为对立事件（） 3.任意两事件A、B，则(A?B)?B?A（）

4.如果事件A、B互不相容，则A、B也互不相容（） 5.如果A、B为对立事件，则事件A、B为对立事件（） 6.若A1、A2、A3相互独立，则它们中任何两个事件独立（） 7.X,Y为两个随机变量，则E(X?Y)?EX?EY（） 8.X,Y为两个独立随机变量，则D(X?Y)?DX?DY（）

?,??都是未知参数?

四、计算题、证明题

1. 设事件A、B互斥，且P(A)?0.6，P(A?B)?0.8。求P(B)。 2. 设A?B,A?C，P(A)?0.8，P(B?C)?0.6。求P(ABC)。 3. 若P(BA)?P(BA)，证明A,B相互独立。

4. 设A、B是任意两个事件，其中A的概率不等于0和1，证明P(BA)?P(BA)是事件A和B独立的充要条件。

5. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为

1，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相916

等，求P(A)

6. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，计算任取3个球恰好为一红、一白、一黑的概率。 7. 某地共发行3种报纸A、B、C。此地居民中，订购A报的占45%，订购B报的占35%，订购C报的占30%，同时订购A、B报的占30%，同时订购A、C报的占8%，同时订购B、C报的占5%，同时订购A、B、C报的占3%。求以下概率。（1）只订购A；（2）只订购A及B；（3）只订购一种报纸；（4）正好订购两种报纸；（5）至少订购一种报纸；（6）不订购任何报纸。

8．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率；（2）该件次品是由甲车间生产的概率。

9．设A，B是两事件，已知P(A)=0.3，P(B)=0.6，试在下列两种情形下：（1）事件A，B互不相容；（2）事件A，B有包含关系；分别求出P(A | B)。

10．某种灯管按要求使用寿命超过1000小时的概率为0.8，超过1200小时的概率为0.4，现有该种灯管已经使用了1000小时，求该灯管将在200小时内坏掉的概率。

11. 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2，若乙机未被击落，则进行反击，击落甲机的概率为0.3，若甲机未被击落，则再进行反击，击落乙机的概率为0.4，求这几个回合中，（1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率？

12. 三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别是0.5、0.3、0.4。问能将此密码译出的概率是多少？

13. 一批产品共20件，其中5件次品，现从这20件产品中不放回地任意抽取三次，每次只取一件，求下列事件的概率：（1）在第一、二次取到正品的条件下，第三次取到次品；（2）第三次才取到次品；（3）第三次取到次品。

14. 设A?甲市下雨，B?乙市下雨，由以往的气象记录知P(A)?0.3,P(B)?0.4，

????P(AB)?0.28。（1）说明两市下雨有牵连；（2）求P(AB),P(BA),P(A?B)。

15. 某厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%、35%、20%。各车间的次品率依次为4%、2%、5%。现在从待出厂产品中检查出1个次品，试求它是由甲车间生产的概率？

16. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲。假设男人女人各占一半，现随机地抽选一人，求此人恰好是色盲患者的概率多大？

17. 某人决定去甲、乙、丙三国之一旅游，这三国在此季节下雨的概率分别为旅游的概率分别为旅游的概率。

121,,，他去这三国232111,,，求（1）他在旅游遇上下雨天的概率；（2）他在旅游遇上下雨天时正好在乙国4421时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时停机概率0.3，加工零件B3时停机概率0.4，问这台机床的开机率是多少?

19. 若甲盒中装有三个白球，二个黑球；乙盒中装有一个白球，二个黑球。由甲盒中任取一球投入乙盒，再从乙盒中任取一个球。（1）求从乙盒中取得一个白球的概率；（2）若从乙盒中取得一个黑球，问从甲盒中也取得一个黑球的概率。

20. 已知甲、乙两箱装有同样的产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中只装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求（1）乙箱中次品数X的数学期望；（2）从乙箱中任取1件产品是次品的概率。

18. 一台机床有

?0?221. 设连续随机变量X的分布函数为：F(x)??Ax?1?（3）概率密度f(x)。 P(0.3?X?0.7)；

x?00?x?1，求(1)系数A；（2）

x?1?Asinx,x?[0,?]22. 设随机变量X的密度函数为f(x)??，求（1）常数A；（2）分布函数F(x)；

0,其它?（3）P?3????X???。

4??223. 某车间的10部机器各自独立地工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为0.2。（1）求同

时停车数目X的概率分布；（2）假设同时停车的机器超过两部就会影响车间的生产，求车间的生产正常运行的概率。

24. 为保证设备正常运转，必须配备一定数量的维修人员，现有同类设备180台，且各台工作相互独立，任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理，问应配多少名维修人员，才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99。

25. 设X~N(?1,16)求（1）P(X?2.44)；（2）P(X??1.5)；（3）P(X??2.8)；（4）P(X?4)；（5）P(X?1?1)；（6）P(?5?X?2)。

?1000?,x?100026. 某种元件的寿命X（小时）的概率密度为f(x)??x2，求5个元件在使用1500小

??0,x?1000时后，恰有2个元件失效的概率。

27. 袋中装有标上号码1，2，2的三个球，从中任取一个并且不再放回，然后再从袋中任取一球，以X,Y分别记为第一、第二次取到球上的号码数，求（X,Y）的分布律？

?12y2,0?y?x?128. 设X,Y的联合密度为f(x,y)??。求边际密度函数PX(x),P（2）Y(x)；

0,其它?EX,EY；（3）X,Y是否独立？

?X29. 设X~N(0,1)，求下列Y的概率密度函数：（1）Y?X；（2）Y?e

2y?1?2?30．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??2e,0?x?1,y?0，（1）分别求(X,Y)关

? .?0,于X,Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)；（2）问X与Y是否相互独立，并说明理由。

?1?1??,x?1,31．设随机变量X的概率密度为fX(x)??x2，（1）求X的分布FX(x)；（2）求P??X?3?；

?2???0,x?1.（3）令Y=2X，求Y的密度fY(y)。

32．某地抽样调查结果表明，某次统考中，考生的数学成绩（百分制）X服从正态分布N（72，?2），且96分以上的考生占考生总数的2.3%. 试求考生的数学成绩在60~84分之间的概率。（已知?0(1)?0.8413,?0(2)?0.977）

-(x?y)?,x?0,y?0;?e33．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)??，（1）分别求（X，Y）关

?其他.?0,于X和Y的边缘概率密度；（2）问：X与Y是否相互独立，为什么？

34．设有10件产品，其中8件正品，2件次品，每次从这批产品中任取1件，取出的产品不放回，设X为直至取得正品为止所需抽取的次数，求X的分布律。

35．某气象站天气预报的准确率为0.8，且各次预报之间相互独立.试求：（1）5次预报全部准确的概率p1；（2）5次预报中至少有1次准确的概率p2 。

36．某地区年降雨量X（单位：mm）服从正态分布N（1000，1002），设各年降雨量相互独立，求从今年起连续10年内有9年降雨量不超过1250mm，而有一年降雨量超过1250mm的概率。（取小数四位，Φ(2.5)=0.9938，Φ(1.96)=0.9750）。

137．设二维随机变量(X，Y)只能取下列数组中的值：(0，0)，（-1，1），（-1，），（2，0），且取这些

3值的概率依次为

1115，，，。（1）写出(X，Y)的分布律；（2）分别求(X，Y)关于X，Y的边缘分布律. 63121238.设离散型随机变量的分布列为

X -1 0 1 2 p 0.1 0.2 0.3 0.4 求（1）X的分布函数F(x)；（2）P(?0.5?X?1.8)（3）DY。

?ax?39. 设随机变量X的密度函数为f(x)??bx?c?0?a,b,c。

0?x?232?x?4，EX?2，P(1?X?3)?，求

4其它?1?40. 设随机变量X~U[?1,2]，随机变量Y??0??1?X?0X?0，求Y的分布律及DY。 X?0x?0,?0,?x41．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??（1）X的概率密度f(x)；（2）0?x?8, 求：

8?x?8.?1,D(X)??E(X),D(X)；（3）P?X?E(X)??。

8??

42．已知随机变量X，Y的相关系数为?XY，若U=aX+b, V=cY+d, 其中ac>0. 试求U，V的相关系数?UV。

43．设离散型随机变量X的分布律如下，且已知E（X）=0.3，试求：（1）p1,p2; （2）D（-3X+2）。

X01

44．设（X，Y）服从在区域D上的均匀分布，其中D为x轴、y轴及x+y=1所围2 成，求X与Y的协方差Cov(X,Y)。

45．假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大？

?ax?b,46．设随机变量X的概率密度为f(x)???0,0?x?1,其他，P1 ，且E(X)=

7.求：(1)常数a,b；(2)D(X)。 1247．设测量距离时产生的随机误差X～N(0,102)(单位：m)，现作三次独立测量，记Y为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知Φ(1.96)=0.975.

(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p；(2)问Y服从何种分布，并写出其分布律； (3)求E(Y)。

?b?a?48. 若随机变量X在所取的一切可能值中具有最小值a和最大值b，证明DX???。

?2?49. 设X~B(10,0.2)，Y~N(1,22)，（1）已知X,Y相互独立，求E(2X?3XY?4X2)；（2）已知?XY?0.3，求D(X?Y)。

50.设X服从普阿松分布，已知P?X?1??P?X?2?，求EX,DX。 51. 某射手有3发子弹，射击一次命中的概率为

22，如果命中了就停止射击，否则一直独立地射到子3弹用尽。求（1）耗用子弹数X的分布列；（2）EX,DX。

52. 设X~N(3,22)，试求常数C，使得P(X?C)?P(X?C)。

2253. 设随机变量X~N(?,?)(??0)，且二次方程y?4y?X?0无实根的概率为

1，求? 254. 某机器一天内发生故障的概率为0.2，一旦发生故障则全天停工，一周五个工作日内，如不发生故障可获利10万元，如只发生一次故障则可获利5万元，如果发生2次故障则不获利也不亏损，如发生3次或3次以上故障则亏损2万元。问一周内期望获利数为多少。

55. 某市的人口统计资料表明，该市一位40岁的健康者，在5年之内活着或自杀死亡的概率为0.998，在5年之内非自杀死亡的概率为0.002。保险公司开办5年人寿保险，参加者需交保险费100元，若5年之内非自杀死亡，则公司赔偿b元（b?100）。b应如何定才能使公司期望获益？

56. 设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量X（单位：吨），X~U[2000,4000]，每销售一吨商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出，则每吨商品需贮存费1万元。问应组织多少货源，才能使国家收益最大？

x?1?cos,0?x??57. 设随机变量X的密度为f(x)??2，对X独立地重复观察4次，用Y表示观察2?0,其它?值大于

?2的次数，求EY。 358. 一种新药治疗某疑难病症，100个病人服此药，若其中多于75人治愈，就认为此药有显著疗效，接受这种新药。（1）若实际上此药的治愈率为0.7，问接受这种新药的概率是多少？（2）若要以0.9以上的概率保证治愈人数多于75人，问此药对该病症的治愈率应为多少？

59. 设随机变量X和Y的联合分布为 Y X 0 1

求Cov(X2,Y2)。

60. 设随机变量X和Y的相关系数为0.5，EX?EY?0,EX2?EY2?2，求E(X?Y)2 61. 设总体X的均值?与方差?均为未知参数，X1,X2为样本。证明估计。

62. 设总体X服从区间[??,?]上的均匀分布，其中??0为未知参数，又X1,X2,?,Xn为样本，证

2?1 0 1 0.07 0.08 0.18 0.32 0.15 0.20 1(X1?X2)2为 ?2的无偏23n222?明???Xi是?的无偏估计。 ni?1x?1????，63．设总体X服从指数分布，即密度函数p(x,?)???e,x?0，其中??0，求?的矩法估计???0,x?0并说明它是否是?的无偏估计。

64. 总体X~U[0,?]，求?的矩估计和极大似然估计。 65. 总体X~U[?,2?]，求?的矩估计和极大似然估计。

??e??x,x?066. 设总体X的概率密度为f(x;?)??，X1,X2,?,Xn为样本，求参数?的矩估计和

?0,x?0极大似然估计。

1??1??,x?167.设总体X的分布函数为F(x;?)??，其中??1为未知参数，X1,X2,?,Xn为样本，x?x?1?0,求?的矩估计和极大似然估计。

??e??xx?068．设总体X服从指数分布，其概率密度为f(x,?)=?，其中??0为未知参数，x1, x2,…,xn

0x?0?为样本，求?的极大似然估计。

?1?x?e?,x?0,69．设总体X的概率密度为f(x,?)???其中??0，X1，X2，?，Xn为来自总体X的样本.

?0,x?0,?（1）求E(X);（2）求未知参数?的矩估计?。

70. 某药品每片中有效成分含量X（单位：mg）服从正态分布N(?,0.3)。现从该药品中任意抽取8片进行检验，测得其有效成分含量为

26.2,24.1,26.3,25.7,27.0,25.1,26.8,25.6

分别计算该药品有效成分含量均值?的置信度为0.9及0.95的置信区间。（x?25.85） 71. 已知某市新生婴儿体重X（单位：kg）服从正态分布N(?,?2)。其中?,?2未知，试用该市新生婴儿体重的如下样本

3.5,2.9,3.1,4.2,2.8,3.2 求出该市新生婴儿平均体重?的置信度为0.95的置信区间。

72. 某公司欲估计自己生产的电池寿命，现从其产品中随机抽取50只电池做试验，得X?2.266（单位：100小时），S?1.935，求该公司生产的电池平均寿命的置信系数为95%的置信区间。

73. 自动包装机包装某食品，每袋净重X~N(?,?)。现随机抽取10袋，测得每袋净重xi（克），（i?1,2?，10），计算得

2^?xi?110i2，若?未知，求?的置信度为95%的置信?5020，?xi2?252042010i?1区间，求?的置信度为95%的置信区间。

74. 欲比较甲、乙两种棉花品种的优劣，现假设用它们纺出的棉纱强度分别服从N(?1,2.182)和

N(?2,1.762)，试验者从这两种棉花中分别抽取X1,X2,?,X200和Y1,Y2,?,Y100，其均值为X?5.32，

Y?5.76，求?1??2的置信区间。（1???0.95）

75. 某公司利用两条生产线生产灌装矿泉水，现从生产线上随机抽取样本X1,X2,?,X12和

2Y?499.7，Y1,Y2,?,Y17，它们是每瓶矿泉水的体积（毫升），其均值为X?501.1，样本方差为S1?2.4，2S2?4.7，假设这两条生产线灌装的矿泉水的体积分别服从N(?1,?2)和N(?2,?2)，求?1??2的置信

区间（1???0.95）。

76. 某罐头规定每听的标准重量为500克，由一条生产线生产，在正常情况下罐头重量（克）X~N(500,22)，管理规定每隔一定时间要抽测5听罐头的重量，用以检查生产线的工作是否正常，如果某次抽样中，测得5听罐头的重量为501、507、498、502、504（克），问此时生产线的工作是否正常？（??0.05）

77. 某电子元件的耐用时数服从均值为1000小时的正态分布，现随机抽取10件新工艺条件下生产的产品作耐用性能测试，测得其平均耐用时数为：1077小时，修正样本标准差S?51.97小时，能否认为新工艺条件下生产的电子元件之耐用性能(平均耐用时数)明显不同于老产品?

（??0.05,t0.025(9)?2.262,t0.025(10)?2.228,z0.025?1.96）

78 已知丰收牌柴油机，使用柴油每升的运转时间X服从正态分布，现测得试装配好的6台的运转时间各为28、27、31、29、30、27（分钟），按设计要求，平均每升运转应在30分钟以上，根据测试结果，在显著性水平??0.05下，能否说明这种柴油机符合要求？

79.抽取某班28名学生的英语考试成绩，得平均分数为X=80分，样本方差S=8。若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分。在α=0.05下，检验H0:??85对H1:??85。

80. 某剂型药物正常的生产过程中，含碳量X~N(1.408,0.0482)，现从产品中任取5件，测量其含碳量（%）为1.32、1.55、1.36、1.40、1.44。问这批药物含碳量的总体方差是否正常？（??0.10）

81.某车间生产铜丝的折断力已知服从正态分布，生产一直比较稳定，今从产品中随机抽取9根检查折断力，测得数据如下（单位：kg）289、268、285、284、286、285、286、298、292，问是否可相信车间

22的铜丝折断力的方差为20？（α=0.05，X0.025(8)=2.18，X0.975(8)=17.5)

282. 某精密仪表要求其中导线的电阻标准差不得超过0.005欧，今在一批导线中随机抽取9根，测量后，得S?0.07欧，设电阻测量值X服从正态分布，问在??0.05下，能否认为这批导线满足要求？

83. 设甲、乙两煤矿所产的煤中含煤粉率分别为X~N(?1,7.5)Y~N(?2,2.6)，现从两矿中取样，测试结果如下：甲矿(%)24.3，20.8，23.7，21.3，17.4；乙矿(%)18.2，16.9，20.2，16.7。在显著性水平??0.05下，两矿的含煤粉率是否有显著性差别？

84. 比较A、B两种小麦品种的蛋白质含量。随机抽取A种小麦10个样品，测得X?14.3，S12?1.62；

2随机抽取B种小麦5个样品，测得Y?11.7，S2?0.14。假定这两种小麦蛋白质含量都服从正态分布，

且具有相同方差，在??0.01下，检验两种小麦品种的蛋白质含量有无差异？

85. 由于存在声音反射的原因，人们在讲英语时在辅音识别上会遇到麻烦，有人随机选取了10个以英语为母语的人（记为A组）和10个以英语为外语的人（记为B组）进行试验，测得它们正确比例（%）。A组：X?87，S1?10.44，B组：Y?77.3,S2?16.23。假定每个人在讲英语时辅音识别正确比例服从正态分布，检验（1）两组的方差是否有显著差异；（2）两组的反应是否有显著差异。（??0.05)

86. 甲、乙两厂生产同一种电阻，现从甲乙两厂的产品中分别随机抽取12个和10个样品，测得它们的电阻值后，计算出样本方差分别为S1?1.40，S2?4.38。假设电阻值服从正态分布，在显著性水平

22??0.10下，我们是否可以两厂生产的电阻阻值的方差：（1）H0:?12??2；（2）H0:?12??2。

2222 23

87．设某厂生产的食盐的袋装重量服从正态分布N(?,?2)（单位：g），已知?2?9.在生产过程中随机抽取16袋食盐，测得平均袋装重量x?496.问在显著性水平??0.05下，是否可以认为该厂生产的袋装食盐的平均袋重为500g？（u0.025?1.96）

88．某城市每天因交通事故伤亡的人数服从泊松分布，根据长期统计资料，每天伤亡人数均值为3人. 近一年来，采用交通管理措施，据300天的统计，每天平均伤亡人数为2.7人. 问能否认为每天平均伤亡人数显著减少？（u0.025=1.96 u0.05=1.645）

289．已知某厂生产的一种元件，其寿命服从均值?0=120，方差?0?9的正态分布.现采用一种新工艺

生产该种元件，并随机取16个元件，测得样本均值x=123，从生产情况看，寿命波动无变化.试判断采用新工艺生产的元件平均寿命较以往有无显著变化。（??0.05）（附：u0.025=1.96）

90．某公司对产品价格进行市场调查，如果顾客估价的调查结果与公司定价有较大差异，则需要调整产品定价。假定顾客对产品估价为X元，根据以往长期统计资料表明顾客对产品估价X～N（35，102），所以公司定价为35元。今年随机抽取400个顾客进行统计调查，平均估价为31元。在α=0.01下检验估价是否显著减小，是否需要调整产品价格？（u0.01=2.32，u0.005=2.58）

参考答案与解题提示

x?0,?0,?x41．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??（1）X的概率密度f(x)；（2）0?x?8, 求：

8?x?8.?1,D(X)??E(X),D(X)；（3）P?X?E(X)??。

8???1?答案：（1）f(x)??8??00?x?8 ；（2）E(X)?4,D(X)?161；（3） 36?1?提示：（1）f(x)?F?(x)??8??00?x?8 ；（2）X~U[0,8]，E(X)?4,D(X)?16； 3D(X)?2?11??3dx? （3）P?X?E(X)?。 ??P?X?4)????108?3?86??342．已知随机变量X，Y的相关系数为?XY，若U=aX+b, V=cY+d, 其中ac>0. 试求U，V的相关系数?UV。

14答案：?UV??XY

2提示：EU?E(aX?d)?aEX?d，EV?cEY?d，DU?D(aX?d)?aDX

DV?c2DV

COV(U,V)?acCOV(X,Y)，?UV?COV(U,V)DUDV?acCOV(X,Y)acDXDY?COV(X,Y)DXDY

43．设离散型随机变量X的分布律如下，且已知E（X）=0.3，试求：（1）p1,p2; （2）D（-3X+2）。

X01

答案：（1）p1?0.7,（2）p2?0.3；

P1 2 1.89

提示：（1）EX?p2?0.3,p1?p2?1；（2）D(?3X?2)?9DX

44．设（X，Y）服从在区域D上的均匀分布，其中D为x轴、y轴及x+y=1所围成，求X与Y的协方差Cov(X,Y)。

答案：

11 36?1(x,y)?D?提示：D的面积为0.5，（X，Y）的密度为f(x,y)??0.5

? (x,y)?D ?01?x?f(x,y)dy,0?x?1?2(1?x)x?[0,1]?， f(x)???0?? x?[0,1] ?0??0,x?[0,1]?2(1?y)y?[0,1] f(y)??0 y?[0,1] ?Cov(X,Y)?EXY?EXEY，EXY?51,EX?EY? 12345．假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每

售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大？

答案：250

?1x?[200,400]?提示：f(x)??200，设组织货源t盒，Y为收益，则

? x?[200,400]?0t,X?tX?t??t, Y?g(X)????X?3(t?X), X?t4X?.3t, X?t??EY??g(x)f(x)dx?2004001(?2t2?1000t?80000)，求EY的最大值点即可。 200 25

?ax?b,46．设随机变量X的概率密度为f(x)???0,0?x?1,其他，，且E(X)=

7.求：(1)常数a,b；(2)D(X)。 12答案：（1）a?1,提示：（1）

1（2）b?0.5；

11 144117117a?b?1 xf(x)dx?,a?b?， ?0?021232121522（2）EX??xf(x)dx?

012 f(x)dx?1,47．设测量距离时产生的随机误差X～N(0,102)(单位：m)，现作三次独立测量，记Y为三次测量中误

差绝对值大于19.6的次数，已知Φ(1.96)=0.975.

(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p；(2)问Y服从何种分布，并写出其分布律； (3)求E(Y)。

答案：(1) 0.05；（2）Y~B(3,0.05)；（3）0.15 提示： p?P(X?19.6)?1?P(X?19.6)?1?[?(19.619.6)??(?)] 1010?2?2?(1.96)

?b?a?48.若随机变量X在所取的一切可能值中具有最小值a和最大值b，证明DX???。

?2?答案：提示：

49. 设X~B(10,0.2)，Y~N(1,22)，（1）已知X,Y相互独立，求E(2X?3XY?4X2)；（2）已知?XY?0.3，求D(X?Y)。

答案：（1）20.4；（2）4.84 提示：EX?2,2DX?1.6,EY?1,DY?4，DX?EX2?(EX)2

（1）E(2X?3XY?4X2)?2EX?3EXEY?4EX2 （2）D(X?Y)?DX?DY?2COV(X,Y)，?XY?COV(X,Y)DXDY

50.设X服从普阿松分布，已知P?X?1??P?X?2?，求EX,DX。答案：EX?DX?2 提示：P?X?k???kk!e??

2，如果命中了就停止射击，否则一直独立地射到子351. 某射手有3发子弹，射击一次命中的概率为

弹用尽。求（1）耗用子弹数X的分布列；（2）EX,DX。

答案：（1）

（2）EX?1 2 3 221 9391338，DX? 981提示：设Ai表示第i次命中。

52. 设X~N(3,22)，试求常数C，使得P(X?C)?P(X?C)。答案：3

提示：P(X??)?P(X??)?0.5

53. 设随机变量X~N(?,?2)(??0)，且二次方程y2?4y?X?0无实根的概率为答案：4

提示：y2?4y?X?0无实根：X?4，P(X?4 )?0.5

54. 某机器一天内发生故障的概率为0.2，一旦发生故障则全天停工，一周五个工作日内，如不发生

故障可获利10万元，如只发生一次故障则可获利5万元，如果发生2次故障则不获利也不亏损，如发生3次或3次以上故障则亏损2万元。问一周内期望获利数为多少。

答案：5.21

提示：记X为获利数，Y为故障数，则Y~B(5,0.2)

X P 1，求? 2?2 0 5 10 0.05792 0.2048 0.4096 0.32768 55. 某市的人口统计资料表明，该市一位40岁的健康者，在5年之内活着或自杀死亡的概率为0.998，在5年之内非自杀死亡的概率为0.002。保险公司开办5年人寿保险，参加者需交保险费100元，若5年之内非自杀死亡，则公司赔偿b元（b?100）。b应如何定才能使公司期望获益？

答案：100

提示： X 100?b 100 P 0.002 0.998

EX= (100-b)×0.002 + 100×0.998>0

答案：3500

提示：设组织货源t吨，Y为国家收益，Y?g(X)??X?t?3t,

?4X?t, X?t 27

EY??40002000g(x)f(x)dx?1(?2t2?14000t?8000000)，求EY的最大值点即可。 2000x?1?cos,0?x??57. 设随机变量X的密度为f(x)??2，对X独立地重复观察4次，用Y表示观察2?0,其它?值大于

?2的次数，求EY。 3答案：5

提示：Y~B(4,p),p?P(X??3)???1xcosdx?0.5，EY2?DY?(EY)2

232?58. 一种新药治疗某疑难病症，100个病人服此药，若其中多于75人治愈，就认为此药有显著疗效，接受这种新药。（1）若实际上此药的治愈率为0.7，问接受这种新药的概率是多少？（2）若要以0.9以上

的概率保证治愈人数多于75人，问此药对该病症的治愈率应为多少？

提示：（1）P{X?75}?100k?76?C100k1000.7k?0.3100?k；

（2）P{X?75}?k?76?Ck100pk?(1?p)100?k?0.9

59. 设随机变量X和Y的联合分布为 Y X 0 1

求Cov(X,Y)。

答案：?0.02

提示：求出X、Y和XY的分布，COV(X,Y)?EXY?EXEY

60. 设随机变量X和Y的相关系数为0.5，EX?EY?0,EX?EY?2，求E(X?Y) 答案：6

2（EX）提示：DX?EX?2?1 0 1 0.07 0.08 0.18 0.32 0.15 0.20 22222222222 ，?XY?COV(X,Y)DXDY，COV(X,Y)?EXY?EXEY

E(X?Y)2?EX2?EY2?2EXY

概率论与数理统计试题

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、

多选或未选均无分。 1．设A、B为两事件，已知P(B)=12，P(A?B)=，若事件A，B相互独立，则P(A)= 23( ) A．

119 B．

6 C．13 D．12

2．对于事件A，B，下列命题正确的是( ) A．如果A，B互不相容，则A,B也互不相容 B．如果A?B，则A?B C．如果A?B，则A?B

D．如果A，B对立，则A,B也对立

3．每次试验成功率为p(0

X -1 0 1 2 4

P 1/10 1/5 1/10 1/5 2/5 则下列概率计算结果正确的是( ) A．P(X=3)=0 B．P(X=0)=0 C．P(X>-1)=l D．P(X<4)=l

5．已知连续型随机变量X服从区间[a，b]上的均匀分布，则概率P??2a?b??X?3???( A．0 B．

13 C．

23 D．1 6．设(X，Y )的概率分布如下表所示，当X与Y相互独立时，(p，q)=( )

Y X -1 1 0 115 P 1 q 15 2 135 10 A．(

115,115) B．(

15,15)

)

C．(

12,) 1015 D．(

21,) 1510?k(x?y),0?x?2,0?y?1,7．设(X,Y )的联合概率密度为f(x,y)??则k=( )

0,其他,?1A．

3C．1

1 2D．3

8．已知随机变量X～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

9．设随机变量X服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤( ) A.C.

1 91 21B. 3D.1

10.设X1，X2，X3，为总体X的样本，T?A.C.

11X1?X2?kX3，已知T是E(x)的无偏估计，则k=( ) 261 64 91B. 3D.

1 2

二、填空题(本大题共15小题,每小题2分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。填错、不填均无分。 11.设P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则P(AB)=________.

12.袋中有5个黑球，3个白球，从中任取的4个球中恰有3个白球的概率为________. 13.设随机事件A，B相互独立，P(AB)=

1，P(AB)=P(AB)，则P(A)=________. 25114.某地一年内发生旱灾的概率为，则在今后连续四年内至少有一年发生旱灾的概率为__________.

315.在时间[0，T]内通过某交通路口的汽车数X服从泊松分布，且已知P(X=4)=3P(X=3)，则在时间[0，T]内至少有一辆汽车通过的概率为_________.

16.设随机变量X～N(10，?2)，已知P(10

1 830

??(1?e?3x)(1?e?4y),x?0,y?0,18.设随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(x，y)=?则

?0,其他,?(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=________.

19.设随机变量X，Y的期望和方差分别为E(X)=0.5，E(Y)=-0.5，D(X)=D(Y)=0.75，E(XY)=0，则X，Y的相关系数?XY?________.

20.设X1,X2,?,Xn是独立同分布随机变量序列，具有相同的数学期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，则当n充分大的时候，随机变量Zn?1X?ni?1ni的概率分布近似服从________(标明参数).

2X?321.设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(3，4)的样本，则(i)～________.(标明参数)

2i?1?n22.来自正态总体X～N(?,42)，容量为16的简单随机样本，样本均值为53，则未知参数?的置信度为0.95的置信区

间是________.(u0.025=1.96，u0.05=1.645)

23.设总体X的分布为：p1=P(X=1)??2,p2?P(X?2)?2?(1??),p3?P(X?3)?(1??)2, 其中0

24.设某个假设检验的拒绝域为W，当原假设H0成立时，样本(x1，x2，…，xn)落入W的概率是0.1，则犯第一类错误的概率为________.

?x,且x?1,y?6,则???________. ??3??25.已知一元线性回归方程为y11

三、计算题(本大题共2小题,每小题8分，共16分)

26.100张彩票中有7张有奖,现有甲先乙后各买了一张彩票,试用计算说明甲、乙两人中奖中概率是否相同. ?1?x,?1?x?0?27.设随机变量X的概率密度为f(x)??1?x,0?x?1,试求E(X)及 D(X).

?0,其他,?

四、综合题(本大题共2小题,每小题12分，共24分)

28.设袋中有依次标着-2,-1,1,2,3,3数字的6个球,现从中任取一球,记随机变量X为取得的球标有的数字,求: (1)X的分布函数;(2)Y=X2的概率分布.

29.设随机变量X,Y相互独立,X～N(0,1),Y～N(0,4),U=X+Y,V=X-Y, 求(1)E(XY);(2)D(U),D(V);(3)Cov(U,V).

五、应用题(本大题共1小题,10分)

30.按照质量要求，某果汁中的维生素含量应该超过50(单位：毫克)，现随机抽取9件同型号的产品进行测量，得到结果如下：

45.1，47.6，52.2，46.9，49.4，50.3，44.6，47.5，48.4

根据长期经验和质量要求，该产品维生素含量服从正态分布N(?，1.52)，在?=0.01下检验该产品维生素含量是否显著低于质量要求?(u0.01=2.32，u0.05=2.58)

概率论与数理统计试题

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设A与B是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（） A．P(A)=1-P(B) B．P(A-B)=P(B) C．P(AB)=P(A)P(B)

D．P(A-B)=P(A)

2．设A，B为两个随机事件，且B?A,P(B)?0，则P(A|B)=（） A．1 B．P(A) C．P(B)

D．P(AB)

3．下列函数中可作为随机变量分布函数的是（） ??1,x?0;A．F?1,0?x?1;1(x)???0,其他.1

B．F(x)??2?x,0?x?1;

??1,x?1.??0,0?0;C．F?0,x?0;3(x)??x,0?x?1;

D．F(x)???4?x,0?x?1;

?1,x?1.??2,x?1. X -1 0 1 2

P 0.1 0.2 0.4 0.3 4．设离散型随机变量X的分布律为，则P{-1

D．0.7

5．设二维随机变量(X，Y)的分布律为

Y X 0 1 0 0.1 0.1 1 a b 且X与Y相互独立，则下列结论正确的是（） A．a=0.2，b=0.6

B．a=-0.1，b=0.9

）C．a=0.4，b=0.4 D．a=0.6，b=0.2

?1?,0?x?2,0?y?2;6．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f (x，y)=?4

?其他,?0,则P{0

1A．

4C．

B．

1 23 4D．1

7．设随机变量X服从参数为A．

1的指数分布，则E (X)=（） 2B．

1 41 2C．2 D．4

8．设随机变量X与Y相互独立，且X～N (0，9)，Y～N (0，1)，令Z=X-2Y，则D (Z)=（） A．5 C．11

B．7 D．13

9．设(X，Y)为二维随机变量，且D (X)>0，D (Y)>0，则下列等式成立的是（） A．E(XY)?E(X)?E(Y) C．D(X?Y)?D(X)?D(Y)

B．Cov(X,Y)??XY?D(X)?D(Y) D．Cov(2X,2Y)?2Cov(X,Y)

10．设总体X服从正态分布N(?,?2)，其中?2未知．x1，x2，…，xn为来自该总体的样本，x为样本均值，s为样本标准差，欲检验假设H0：?=?0，H1：?≠?0，则检验统计量为（） A．nx??0? B．nx??0 sC．n?1(x??0) D．n(x??0)

二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．设A，B为两个随机事件，若A发生必然导致B发生，且P (A)=0.6，则P (AB) =______． 12．设随机事件A与B相互独立，且P (A)=0.7，P (A-B)=0.3，则P (B) = ______．

13．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 14．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______．

?1,0?x?1;15．设连续型随机变量X的概率密度为f(x)??则当0?x?1时，X的分布函数F(x)= ______．

0,其他,?16．设随机变量X～N(1，32)，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：?(1)=0.8413) 17．设二维随机变量(X，Y)的分布律为

Y 1 2 3 X 0 1 则P{X<1,Y?2}=______．

18．设随机变量X的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y的期望E (Y )=4，方差D (Y)=9，又E (XY )=10，则X，Y的相关系数?= ______．

0.20 0.30 0.10 0.15 0.15 0.10 119．设随机变量X服从二项分布B(3,)，则E (X2)= ______．

320．设随机变量X～B (100，0.5)，应用中心极限定理可算得P{40

121．设总体X～N(1，4)，x1，x2，…，x10为来自该总体的样本，x?10?xi?12i10i，则D(x)= ______.·

22．设总体X～N (0，1)，x1，x2，…，x5为来自该总体的样本，则的?2分布．

?xi?15服从自由度为______

23．设总体X服从均匀分布U(?,2?)，x1，x2，…，xn是来自该总体的样本，则?的矩估计??=______． 24．设样本x1，x2，…，xn来自总体N(?，25)，假设检验问题为H0：?=?0，H1：?≠?0，则检验统计量为______．‘

25．对假设检验问题H0：H1：若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． ?=?0，?≠?0，三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

26．设变量y与x的观测数据(xi，yi)(i=1，2，…，10)大体上散布在某条直线的附近，经计算得出1x?10?1xi?25,y?10i?110?yi?110i?350,?xyi?110ii?88700,?xi?1102i?8250.

试用最小二乘法建立y对x的线性回归方程．

27．设一批产品中有95％的合格品，且在合格品中一等品的占有率为60％．求：(1)从该批产品中任取1件，其为一等品的概率；

(2)在取出的1件产品不是一等品的条件下，其为不合格品的概率．

四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)

?A,?2?x?2;28．设随机变量X的概率密度为f(x)??

0,其他.?试求：(1)常数A；(2)E(X)，D(X)；(3)P{|X|?1}．

29．设某型号电视机的使用寿命X服从参数为1的指数分布(单位：万小时)．求：(1)该型号电视机的使用寿命超过t(t>0)的概率；

(2)该型号电视机的平均使用寿命．

五、应用题(10分)

30．设某批建筑材料的抗弯强度X～N(?，0.04)，现从中抽取容量为16的样本，测得样本均值x=43，求

?的置信度为0.95的置信区间．(附：u0.025=1.96)

概率论与数理统计试题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.若A与B互为对立事件，则下式成立的是（） A.P（A?B）=? C.P（A）=1-P（B）

B.P（AB）=P（A）P（B） D.P（AB）=?

2.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有一次出现正面的概率为（） 11A. B.

483C. 8D.

1 21233.设A，B为两事件，已知P（A）=，P（A|B）=，P(B|A)?，则P（B）=（）

353A. C.

1 53 5B. D.

2 54 54.设随机变量X的概率分布为（） X P 则k= A.0.1 C.0.3

B.0.2 D.0.4 0 0.2 1 0.3 2 k 3 0.1 5.设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x),F(x)是X的分布函数，则对任意的实数a，有（）

A.F(-a)=1-f(x)dx

0?a1aB.F(-a)=?f(x)dx

20?C.F(-a)=F(a)

6.设二维随机变量（X，Y）的分布律为

Y X 0 1 2 则P{XY=0}=（）

1A.

12C.

0 D.F(-a)=2F(a)-1

1 2 1 121 121 61 61 121 121 62 31 60 1 6B. D.

1 37.设随机变量X，Y相互独立，且X~N（2，1），Y~N（1，1），则（）

11A.P{X-Y≤1}= B. P{X-Y≤0}=

22C. P{X+Y≤1}=

1 2D. P{X+Y≤0}=

1 28.设随机变量X具有分布P{X=k}=A.2 C.4

1,k=1，2，3，4，5，则E（X）=（） 5B.3 D.5

219.设x1，x2，?，x5是来自正态总体N（?,?）的样本，其样本均值和样本方差分别为x?51s?42?xi?15i和

?(xi?15i?x)2，则

5(x??)服从（） sA.t(4) C.?2(4)

22B.t(5) D. ?2(5)

21210.设总体X~N（?,?），?未知，x1，x2，?，xn为样本，s?(xi?x)2，检验假设H0∶?2=?0n?1i?1?n时采用的统计量是（）

A.t?x??s/n~t(n?1) B. t?x??s/n~t(n)

(n?1)s22C. ??~?(n?1) 2?02(n?1)s22D. ??~?(n) 2?02二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设P（A）=0.4,P（B）=0.3,P（A?B）=0.4，则P（AB）=___________. 12.设A，B相互独立且都不发生的概率为等，则P（A）=___________.

13.设随机变量X~B（1，0.8）（二项分布），则X的分布函数为___________.

1，又A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相9?24x2,0?x?c,14.设随机变量X的概率密度为f(x)=?则常数c=___________.

0,其他,?15.若随机变量X服从均值为2，方差为?2的正态分布，且P{2≤X≤4}=0.3, 则P{X≤0}=___________. 16.设随机变量X，Y相互独立，且P{X≤1}=

11，P{Y≤1}=，则P{X≤1,Y≤1}=___________. 23?2e?2x?y,0?x?y?1,17.设随机变量X和Y的联合密度为f(x,y)= ?0则P{X>1,Y>1}=

0,其他,?___________.

?6x,x?0,y?0,18.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)= ?则Y的边缘概率密度为___________.

0,其他,?19.设随机变量X服从正态分布N（2，4），Y服从均匀分布U（3，5），则E（2X-3Y）= __________. 20.设?n为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意的

??0,limP{|n???n?p|??}=___________. n21.设随机变量X~N（0，1），Y~（0，22）相互独立，设Z=X2+

Y，则当C=___________时，Z~?2(2). C22.设总体X服从区间（0，?）上的均匀分布，x1，x2，?，xn是来自总体X的样本，x为样本均值，??0?= ___________. 为未知参数，则?的矩估计?23.在假设检验中，在原假设H0不成立的情况下，样本值未落入拒绝域W，从而接受H0，称这种错误为第___________类错误.

222224.设两个正态总体X~N（?1,?1）,Y~N(?2,?22),其中?1??2??未知，检验H0：?1??2，H1：?1??2，

2分别从X，Y两个总体中取出9个和16个样本，其中，计算得x=572.3, y?569.1,样本方差s1?149.25，

s22?141.2，则t检验中统计量t=___________（要求计算出具体数值）. ???25.已知一元线性回归方程为y??0?5x,且x=2, y=6，则?0=___________.

三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

26.飞机在雨天晚点的概率为0.8，在晴天晚点的概率为0.2，天气预报称明天有雨的概率为0.4，试求明天飞机晚点的概率.

27．已知D(X)=9, D(Y)=4,相关系数?XY?0.4，求D（X+2Y），D（2X-3Y）.

四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 28. 设某种晶体管的寿命X（以小时计）的概率密度为 ?100?,x?100, f(x)=?x2

?x?100.?0,（1）若一个晶体管在使用150小时后仍完好，那么该晶体管使用时间不到200小时的概率是多少？（2）若一个电子仪器中装有3个独立工作的这种晶体管，在使用150小时内恰有一个晶体管损坏的概率是多少？

29.某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾额数X服从泊松分布，则X~P（?），若已知P（X=1）=P

1（X=2），且该柜台销售情况Y（千元），满足Y=X2+2.

2试求：（1）参数?的值；

（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率；（3）该柜台每小时的平均销售情况E（Y）.

五、应用题（本大题共1小题，10分）

30.某生产车间随机抽取9件同型号的产品进行直径测量，得到结果如下： 21.54, 21.63, 21.62, 21.96, 21.42, 21.57, 21.63, 21.55, 21.48

根据长期经验，该产品的直径服从正态分布N（?，0.92），试求出该产品的直径?的置信度为0.95的置信区间.(?0.025=1.96, ?0.05=1.645)(精确到小数点后三位)

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