江苏南师附中2019高三高考重点卷(十)(最后一卷)-数学 下载本文

2018届高三模拟考试试卷(十)(南师附中)

数学参考答案及评分标准 32122π

1.(0,1)2.173.34.-25.-26.57.3≤z≤28.充分不必要9.3 5?3?5π

?10.211.612.??4,1?13.414.4 π?π?

??15.解:(1)由题意,A=1,sin?3+φ?=1,又0<φ<π,因此φ=6,

?π?

?因此f(x)=sin??x+6?.(6分) π?11π?π???π??????(2)由题意,sin?α+6?=3<2,又α∈?0,2?,因此α+6∈??0,6?,

π?22?

?因此cos??α+6?=3,(10分)

π??π?π?ππ?π??????????因此f(-α)=sin?-α+6?=sin??3-?α+6??=sin3cos?α+6?-cos3

π???sin?α+6??

3221126-1

=2×3-2×3=6.(14分)

16.证明:(1)AC与BD交于O点,连结EO.

正方形ABCD中,2BO=AB,又因为AB=2EF, ∴BO=EF,又因为EF∥BD,∴EFBO是平行四边形 ∴BF∥EO,又∵BF平面ACE,EO平面ACE, ∴BF∥平面ACE.(7分)

(2)正方形ABCD中,AC⊥BD,又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直, BD平面ABCD,平面ABCD∩平面ACE=AC,∴BD⊥平面ACE,∵EO平面ACE ∴BD⊥EO,∵EO∥BF,∴BF⊥BD.(14分)

π

17.解:(1)由CD∥OA,∠AOB=3,∠AOC=θ,得∠OCD=θ,

2ππ

∠ODC=3,∠COD=3-θ. 在△OCD中,由正弦定理,

2?π??π?

???得CD=3sin?3-θ?,θ∈??0,3?(6分) (2)设渔的长度为f(θ)、由(1)可知, 2?π?

?f(θ)=θ+1+3sin?3-θ??.(8分)

因此f′(θ)=1-3cos??3-θ

2π??π??π?

?,因为θ∈?0,3?,因此3-θ∈?0,3?, ?????

令f′(θ)=0,得cos??3-θ3πππ?

?=2,因此3-θ=6,因此θ=6. ?

θ f′(θ) f(θ) ?π??0,6? ??+ π6 0 极大值 ?ππ??6,3? ??- ?π+6+23??. 因此f(θ)∈?6?2,??π+6+23?

?.(14分) 故所需渔长度的取值范围是?6?2,?

18.解:(1)由题意,可设抛物线方程为y=2px(p>0)、由a-b=4-3=1,得c=1.

2

∴抛物线的焦点为(1,0),∴p=2.∴抛物线D的方程为y=4x.(4分) (2)设A(x1,y1),B(x2,y2)、

??y=x-4,

2

2①直线l的方程为:y=x-4,联立?整理得x-12x+16=0. ?y=4x,?M(6-25,2-25),N(6+25,2+25),∴MN=(x1-x2)-(y1-y2)=410.(9分)

2

2

2

2

2

?x1+4y1??②设存在直线m:x=a满足题意,那么圆心M??2,2?,过M作直线x=a的垂线,

垂足为E,设直线m与圆M的一个交点为G.可得|EG|2=|MG|2-|ME|2,(11分)

x1+4?2(x1-4)2+y21?

?即|EG|2=|MA|2-|ME|2=-?4?2-a?

1(x1-4)2-(x1+4)2

=4y2+a(x1+4)-a2 1+4

=x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2.(14分)

当a=3时,|EG|2=3,如今直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值23. 因此存在直线m:x=3满足题意、(16分)

19.解:(1)当m=-1时,f(x)=-x2-x+lnx,

1(2x-1)(x+1)

因此f′(x)=-2x-1+x=-, x

11

因此当0<x<2,f′(x)>0,当x>2,f′(x)<0,

13?1?

??因此当x=2时,f(x)max=f?2?=-4-ln2.(3分) 12mx2-x+1

2

(2)f′(x)=2mx-1+x=,即2mx-x+1<0在(0,+∞)上有解、 x①m≤0显然成立;

11

②m>0时,由于对称轴x=4m>0,故Δ=1-8m>0m<8,

1

综上,m<8.(8分)

(3)因为f(1)=m-1,f′(1)=2m,

因此切线方程为y-m+1=2m(x-1),即y=2mx-m-1,

2

从而方程mx-x+lnx=2mx-m-1在(0,+∞)上只有一解、 令g(x)=mx2-x+lnx-2mx+m+1,那么

12mx2-(2m+1)x+1(2mx-1)(x-1)

g′(x)=2mx-1-2m+x==,(10分) xx

1

因此1°m=2,g′(x)≥0,

因此y=g(x)在x∈(0,+∞)单调递增,且g(1)=0,

因此mx-x+lnx=2mx-m-1只有一解、(12分)

1?1??1????2°0<m<2,x∈(0,1),g′(x)>0;x∈?1,2m?,g′(x)<0;x∈?2m,+∞??,g′

(x)>0

?1??由g(1)=0及函数单调性可知g??2m?<0,

1??1???1??????因为g(x)=mx?x-?2+m??+m+lnx+1,取x=2+m,那么g??2+m?>0.

2

?1?

?方程mx2-x+lnx=2mx-m-1必有一解从而不符题意(14分) ,+∞因此在??2m?1?1??1????3°m>2,x∈?0,2m?,g′(x)>0;x∈?2m,1??,g′(x)<0;x∈(1,+∞),g′(x)

>0

1??2?同理在?0,2m??方程mx-x+lnx=2mx-m-1必有一解,不符题意,

1

综上所述m=2.(16分)

n

20.(1)解:∵bn+1-bn=5-2,∴n≥3,bn+1-bn<0,故数列{bn}单调递减;(3分) 当n=1,2时,bn+1-bn>0,即b1<b2<b3,

那么数列{bn}中的最大项是b3=7,因此M≥7.(4分)

17

(2)证明:∵{cn}是各项正数的等比数列,Sn是其前n项和,c3=4,S3=4,

c3c37

设其公比为q>0,∴q2+q+c3=4.(6分)

11

2

整理,得6q-q-1=0,解得q=2,q=-3(舍去)、

11n-1

∴c1=1,cn=2,Sn=2-2n=Sn+2,S<2.(8分)

Sn+Sn+2111

nn+2

对任意的n∈N,有2=2-2-2<2-2n=Sn+2,且Sn<2, 故{Sn}是Ω数列、(10分)

(3)证明:假设存在正整数k使得dk>dk+1成立,有数列{dn}的各项均为正整数,

dk+dk+2

可得dk≥dk+1+1,即dk+1≤dk-1.因为2≤dk+1, 因此dk+2≤2dk+1-dk≤2(dk-1)-dk=dk-2.

由dk+2≤2dk+1-dk及dk>dk+1得dk+2<2dk+1-dk+1=dk+1,故dk+2≤dk+1-1.

dk+1+dk+3

因为≤dk+2,因此dk+3≤2dk+2-dk+1≤2(dk+1-1)-dk+1=dk+1-2≤dk-3, 2

由此类推,可得dk+m≤dk-m(m∈N)、(14分)

又存在M,使dk≤M,∴m>M,使dk+m<0,这与数列{dn}的各项均为正数矛盾,因此假设不成立,即对任意n∈N,都有dk≤dk+1成立、(16分)

2018届高三模拟考试试卷(十)(南师附中)

数学附加题参考答案及评分标准

21.A.选修41:几何证明选讲

证明:连结OF、OP、OB. ∵AE∥CD,∴∠PFB=∠AEB.

∵PA,PB是切线,∴∠POB=∠AEB.

∵∠PFB=∠POB,∴O,F,B,P四点共圆、(5分)

又∵∠OBP=90°,∴∠OFP=90°,由垂径定理可知CF=DF.(10分) B.选修42:矩阵与变换

?a 3?? 1?? 1??????解:(1)由题意,?c 1??-1?=-1×??-1?,

??a=2,?a-3??-1?

????∴??c=2. ?c-1?=? 1?,∴?

?λ-2 -3?

?特征方程??-2 λ-1?=(λ-2)(λ-1)-6=0,解得λ=-1,4.

?3??属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=??2?.(5分)

?-1?? 1??3?

?????(2)m=??-4?=2?-1?-?2?. ? 1?4?3?? 1?4?3?? 2?4?3??-766?44?4????????????∴Am=2A?-1??-A?2?=2(-1)?-1?-4?2?=?-2?-4?2?=?-514?.(10分)

C.选修44:坐标系与参数方程

解:(1)圆O1:ρ=4cosθ+4sinθ

222ρ=4ρcosθ+4ρsinθx+y=4x+4y.(5分)

π??

?(2)A?22,-4??A(2,-2)、

AO1=(2-2)2+(-2-2)2=4>22=R,点在圆外、(10分) D.选修45:不等式选讲

xyx(y+b)-y(x+a)bx-ay

证明:∵x+a-y+b=(x+a)(y+b)=(x+a)(y+b), 又b>a>0,x>y>0,∴(x+a)(y+b)>0,bx>ay,即bx-ay>0,

xyxy

∴x+a-y+b>0,即x+a>y+b.(10分)

2

C2n-77

22.解:(1)设总人数为n个,那么P(X>0)=1-P(X=0)=1-C2=10. n∵2n-7≥2,∴n≥4.5. ∵2<n<7,n∈Nn=5,6,逐个代入,得n=5.(5分)

73

(2)P(X=0)=1-P(X>0)=1-10=10,

C212

P(X=2)=C2=10, 5

1363

P(X=1)=1-10-10=10=5,

3134

E(X)=0×10+2×10+1×5=5.(10分)

44

23.(1)解:g(x)中含x2项的系数为C44+2C5+3C6=1+10+45=56.(3分)

n-1

(2)证明:由题意,pn=2.(5分)

①当n=1时,p1(a1+1)=a1+1,成立;

②假设当n=k时,pk(a1a2…ak+1)≥(1+a1)(1+a2)…(1+ak)成立, 当n=k+1时,

(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k-1(a1a2…ak+1)(1+ak+1) k-1

=2(a1a2…akak+1+a1a2…ak+ak+1+1)、()

∵ak>1,a1a2…ak(ak+1-1)≥ak+1-1,即a1a2…akak+1+1≥a1a2…ak+ak+1, 代入()式得(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k(a1a2…akak+1+1)成立、

综合①②可知,pn(a1a2…an+1)≥(1+a1)(1+a2)…(1+an)对任意n∈N成立、(10分)