2018届高三模拟考试试卷(十)(南师附中)
数学参考答案及评分标准 32122π
1.(0，1)2.173.34.－25.－26.57.3≤z≤28.充分不必要9.3 5?3?5π
?10.211.612.??4，1?13.414.4 π?π?
??15.解：(1)由题意，A＝1，sin?3＋φ?＝1，又0＜φ＜π，因此φ＝6，
?π?
?因此f(x)＝sin??x＋6?.(6分) π?11π?π???π??????(2)由题意，sin?α＋6?＝3＜2，又α∈?0，2?，因此α＋6∈??0，6?，
π?22?
?因此cos??α＋6?＝3，(10分)
π??π?π?ππ?π??????????因此f(－α)＝sin?－α＋6?＝sin??3－?α＋6??＝sin3cos?α＋6?－cos3
π???sin?α＋6??
3221126－1
＝2×3－2×3＝6.(14分)
16.证明：(1)AC与BD交于O点，连结EO.
正方形ABCD中，2BO＝AB，又因为AB＝2EF， ∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴EFBO是平行四边形 ∴BF∥EO，又∵BF平面ACE，EO平面ACE， ∴BF∥平面ACE.(7分)
(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直， BD平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO平面ACE ∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.(14分)
π
17.解：(1)由CD∥OA，∠AOB＝3，∠AOC＝θ，得∠OCD＝θ，
2ππ
∠ODC＝3，∠COD＝3－θ. 在△OCD中，由正弦定理，
2?π??π?
???得CD＝3sin?3－θ?，θ∈??0，3?(6分) (2)设渔的长度为f(θ)、由(1)可知， 2?π?
?f(θ)＝θ＋1＋3sin?3－θ??.(8分)
?π
因此f′(θ)＝1－3cos??3－θ
2π??π??π?
?，因为θ∈?0，3?，因此3－θ∈?0，3?， ?????
?π
令f′(θ)＝0，得cos??3－θ3πππ?
?＝2，因此3－θ＝6，因此θ＝6. ?
θ f′(θ) f(θ) ?π??0，6? ??＋ π6 0 极大值 ?ππ??6，3? ??－ ?π＋6＋23??. 因此f(θ)∈?6?2，??π＋6＋23?
?.(14分) 故所需渔长度的取值范围是?6?2，?
18.解：(1)由题意，可设抛物线方程为y＝2px(p＞0)、由a－b＝4－3＝1，得c＝1.
2
∴抛物线的焦点为(1，0)，∴p＝2.∴抛物线D的方程为y＝4x.(4分) (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)、
??y＝x－4，
2
2①直线l的方程为：y＝x－4，联立?整理得x－12x＋16＝0. ?y＝4x，?M(6－25，2－25)，N(6＋25，2＋25)，∴MN＝（x1－x2）－（y1－y2）＝410.(9分)
2
2
2
2
2
?x1＋4y1??②设存在直线m：x＝a满足题意，那么圆心M??2，2?，过M作直线x＝a的垂线，
垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G.可得|EG|2＝|MG|2－|ME|2，(11分)
x1＋4?2（x1－4）2＋y21?
?即|EG|2＝|MA|2－|ME|2＝－?4?2－a?
1（x1－4）2－（x1＋4）2
＝4y2＋a(x1＋4)－a2 1＋4
＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2.(14分)
当a＝3时，|EG|2＝3，如今直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值23. 因此存在直线m：x＝3满足题意、(16分)
19.解：(1)当m＝－1时，f(x)＝－x2－x＋lnx，
1（2x－1）（x＋1）
因此f′(x)＝－2x－1＋x＝－， x
11
因此当0＜x＜2，f′(x)＞0，当x＞2，f′(x)＜0，
13?1?
??因此当x＝2时，f(x)max＝f?2?＝－4－ln2.(3分) 12mx2－x＋1
2
(2)f′(x)＝2mx－1＋x＝，即2mx－x＋1＜0在(0，＋∞)上有解、 x①m≤0显然成立；
11
②m＞0时，由于对称轴x＝4m＞0，故Δ＝1－8m＞0m＜8，
1
综上，m＜8.(8分)
(3)因为f(1)＝m－1，f′(1)＝2m，
因此切线方程为y－m＋1＝2m(x－1)，即y＝2mx－m－1，
2
从而方程mx－x＋lnx＝2mx－m－1在(0，＋∞)上只有一解、 令g(x)＝mx2－x＋lnx－2mx＋m＋1，那么
12mx2－（2m＋1）x＋1（2mx－1）（x－1）
g′(x)＝2mx－1－2m＋x＝＝，(10分) xx
1
因此1°m＝2，g′(x)≥0，
因此y＝g(x)在x∈(0，＋∞)单调递增，且g(1)＝0，
因此mx－x＋lnx＝2mx－m－1只有一解、(12分)
1?1??1????2°0＜m＜2，x∈(0，1)，g′(x)＞0；x∈?1，2m?，g′(x)＜0；x∈?2m，＋∞??，g′
(x)＞0
?1??由g(1)＝0及函数单调性可知g??2m?＜0，
1??1???1??????因为g(x)＝mx?x－?2＋m??＋m＋lnx＋1，取x＝2＋m，那么g??2＋m?＞0.
2
?1?
?方程mx2－x＋lnx＝2mx－m－1必有一解从而不符题意(14分) ，＋∞因此在??2m?1?1??1????3°m＞2，x∈?0，2m?，g′(x)＞0；x∈?2m，1??，g′(x)＜0；x∈(1，＋∞)，g′(x)
＞0
1??2?同理在?0，2m??方程mx－x＋lnx＝2mx－m－1必有一解，不符题意，
1
综上所述m＝2.(16分)
n
20.(1)解：∵bn＋1－bn＝5－2，∴n≥3，bn＋1－bn＜0，故数列{bn}单调递减；(3分) 当n＝1，2时，bn＋1－bn＞0，即b1＜b2＜b3，
那么数列{bn}中的最大项是b3＝7，因此M≥7.(4分)
17
(2)证明：∵{cn}是各项正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3＝4，S3＝4，
c3c37
设其公比为q＞0，∴q2＋q＋c3＝4.(6分)
11
2
整理，得6q－q－1＝0，解得q＝2，q＝－3(舍去)、
11n－1
∴c1＝1，cn＝2，Sn＝2－2n＝Sn＋2，S＜2.(8分)
Sn＋Sn＋2111
nn＋2
对任意的n∈N，有2＝2－2－2＜2－2n＝Sn＋2，且Sn＜2， 故{Sn}是Ω数列、(10分)
(3)证明：假设存在正整数k使得dk＞dk＋1成立，有数列{dn}的各项均为正整数，
dk＋dk＋2
可得dk≥dk＋1＋1，即dk＋1≤dk－1.因为2≤dk＋1， 因此dk＋2≤2dk＋1－dk≤2(dk－1)－dk＝dk－2.
由dk＋2≤2dk＋1－dk及dk＞dk＋1得dk＋2＜2dk＋1－dk＋1＝dk＋1，故dk＋2≤dk＋1－1.
dk＋1＋dk＋3
因为≤dk＋2，因此dk＋3≤2dk＋2－dk＋1≤2(dk＋1－1)－dk＋1＝dk＋1－2≤dk－3， 2
由此类推，可得dk＋m≤dk－m(m∈N)、(14分)
又存在M，使dk≤M，∴m＞M，使dk＋m＜0，这与数列{dn}的各项均为正数矛盾，因此假设不成立，即对任意n∈N，都有dk≤dk＋1成立、(16分)
2018届高三模拟考试试卷(十)(南师附中)
数学附加题参考答案及评分标准
21.A.选修41：几何证明选讲
证明：连结OF、OP、OB. ∵AE∥CD，∴∠PFB＝∠AEB.
∵PA，PB是切线，∴∠POB＝∠AEB.
∵∠PFB＝∠POB，∴O，F，B，P四点共圆、(5分)
又∵∠OBP＝90°，∴∠OFP＝90°，由垂径定理可知CF＝DF.(10分) B.选修42：矩阵与变换
?a 3?? 1?? 1??????解：(1)由题意，?c 1??－1?＝－1×??－1?，
??a＝2，?a－3??－1?
????∴??c＝2. ?c－1?＝? 1?，∴?
?λ－2 －3?
?特征方程??－2 λ－1?＝(λ－2)(λ－1)－6＝0，解得λ＝－1，4.
?3??属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝??2?.(5分)
?－1?? 1??3?
?????(2)m＝??－4?＝2?－1?－?2?. ? 1?4?3?? 1?4?3?? 2?4?3??－766?44?4????????????∴Am＝2A?－1??－A?2?＝2(－1)?－1?－4?2?＝?－2?－4?2?＝?－514?.(10分)
C.选修44：坐标系与参数方程
解：(1)圆O1：ρ＝4cosθ＋4sinθ
222ρ＝4ρcosθ＋4ρsinθx＋y＝4x＋4y.(5分)
π??
?(2)A?22，－4??A(2，－2)、
AO1＝（2－2）2＋（－2－2）2＝4＞22＝R，点在圆外、(10分) D.选修45：不等式选讲
xyx（y＋b）－y（x＋a）bx－ay
证明：∵x＋a－y＋b＝（x＋a）（y＋b）＝（x＋a）（y＋b）， 又b＞a＞0，x＞y＞0，∴(x＋a)(y＋b)＞0，bx＞ay，即bx－ay＞0，
xyxy
∴x＋a－y＋b＞0，即x＋a＞y＋b.(10分)
2
C2n－77
22.解：(1)设总人数为n个，那么P(X＞0)＝1－P(X＝0)＝1－C2＝10. n∵2n－7≥2，∴n≥4.5. ∵2＜n＜7，n∈Nn＝5，6，逐个代入，得n＝5.(5分)
73
(2)P(X＝0)＝1－P(X＞0)＝1－10＝10，
C212
P(X＝2)＝C2＝10， 5
1363
P(X＝1)＝1－10－10＝10＝5，
3134
E(X)＝0×10＋2×10＋1×5＝5.(10分)
44
23.(1)解：g(x)中含x2项的系数为C44＋2C5＋3C6＝1＋10＋45＝56.(3分)
n－1
(2)证明：由题意，pn＝2.(5分)
①当n＝1时，p1(a1＋1)＝a1＋1，成立；
②假设当n＝k时，pk(a1a2…ak＋1)≥(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)成立， 当n＝k＋1时，
(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)(1＋ak＋1)≤2k－1(a1a2…ak＋1)(1＋ak＋1) k－1
＝2(a1a2…akak＋1＋a1a2…ak＋ak＋1＋1)、()
∵ak＞1，a1a2…ak(ak＋1－1)≥ak＋1－1，即a1a2…akak＋1＋1≥a1a2…ak＋ak＋1， 代入()式得(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)(1＋ak＋1)≤2k(a1a2…akak＋1＋1)成立、
综合①②可知，pn(a1a2…an＋1)≥(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)对任意n∈N成立、(10分)