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e2①若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)没有零点；

4e2②若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)只有一个零点；

4e2③若h(2)?0，即a?，由于h(0)?1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，

4由（1）知，当x?0时，ex?x2，所以

16a316a316a31h(4a)?1?4a?1?2a2?1??1??0． 4e(e)(2a)a故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,??)有两个零点．

e2综上，f(x)在(0,??)只有一个零点时，a?．

422．．解：

x2y2（1）曲线C地直角坐标方程为??1．

416当cos??0时，l地直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l地直角坐标方程为x?1．

（2）将l地参数方程代入C地直角坐标方程，整理得关于t地方程

(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0．①

因为曲线C截直线l所得线段地中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则

t1?t2?0．

又由①得t1?t2??4(2cos??sin?)，故2cos??sin??0，于是直线l地斜率

1?3cos2?k?tan???2．

23．解：

?2x?4,x??1,?（1）当a?1时，f(x)??2,?1?x?2,

??2x?6,x?2.?9 / 12

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可得f(x)?0地解集为{x|?2?x?3}． （2）f(x)?1等价于|x?a|?|x?2|?4．

而|x?a|?|x?2|?|a?2|，且当x?2时等号成立．故f(x)?1等价于|a?2|?4． 由|a?2|?4可得a??6或a?2，所以a地取值范围是(??,?6][2,??)．

21（12分）

已知函数f(x)?ex?ax2．

（1）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a． 解：

（1）f?(x)?ex?2x，f??(x)?ex?2．

当x?ln2时，f??(x)?0，当x?ln2时，f??(x)?0，所以f?(x)在(??,ln2)单调递减，在(ln2,??)单调递增，故f?(x)?f?(ln2)?2?2ln2?0，f(x)在(??,??)单调递增．

因为x?0，所以f(x)?f(0)?1．

ex（2）当x?0时，设g(x)?2?a，则f(x)?x2g(x)，f(x)在(0,??)只有一个零点

x等价于g(x)在(0,??)只有一个零点．

ex(x?2)g?(x)?，当0?x?2时，当x?2时，所以g(x)在(0,2)g?(x)?0，g?(x)?0，

x3e2?a． 单调递减，在(2,??)单调递增，故g(x)?g(2)?4e2若a?，则g(x)?0，g(x)在(0,??)没有零点．

4e2若a?，则g(x)?0，g(x)在(0,??)有唯一零点x?2．

4ex1e2x2e?x?1，g(x)?2?a?2?1?a，若a?，因为g(2)?0，由（1）知当x?0时，

4xx10 / 12

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故存在x1?(0,1)?(0,2)，使g(x1)?0． a?1e4ae4ag(4a)??a??a 2216a16aex?x2，

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