江苏省南通市崇川区启秀中学2018-2019年九年级（上）期中数学试卷 含解析

【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；

（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB＝90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH＝CD＝4，∠CHF＝90°，利用垂径定理得到BH＝FH＝4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴OC∥AD， ∵ED切⊙O于点C， ∴OC⊥DE， ∴AD⊥ED；

（2）解：OC交BF于H，如图， ∵AB为直径， ∴∠AFB＝90°， 易得四边形CDFH为矩形， ∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90°， ∴OH⊥BF， ∴BH＝FH＝4， ∴BF＝8， 在Rt△ABF中，AB＝

＝

＝2

，

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∴⊙O的半径为．

25．（12分）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB＝∠ADB．

（1）求证：EA是⊙O的切线；

（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似．

【分析】（1）连接CD，由AC是⊙O的直径，可得出∠ADC＝90°，由角的关系可得出∠

EAC＝90°，即得出EA是⊙O的切线；

（2）连接BC，由AC是⊙O的直径，可得出∠ABC＝90°，由在RT△EAF中，B是EF的中点，可得出∠BAC＝∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA． 【解答】（1）证明：如图1，连接CD，

∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADB+∠EDC＝90°，

∵∠BAC＝∠EDC，∠EAB＝∠ADB，

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∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝90°， ∴EA是⊙O的切线．

（2）证明：如图2，连接BC，

∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠CBA＝∠ABC＝90° ∵B是EF的中点， ∴在RT△EAF中，AB＝BF， ∴∠BAC＝∠AFE， ∴△EAF∽△CBA．

26．（13分）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂直为D，圆E是△ACD的内切圆，切点分别为M，N，F，连接AE，BE； （1）求∠AEB的度数；

（2）若AD＝DB，CD＝3，求扇形CAB的弧长和圆E的半径．

【分析】（1）连接EC．首先证明∠AEC＝135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题； （2）连接BC、EF、EM、EN、DE，证明△ABC是等边三角形，得出∠BAC＝60°，由直角三角形的性质得出AD＝

CD＝，得出AB＝AC＝2，由弧长公式求出扇形CAB的弧

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长，由切线的性质和三角形面积即可求出圆E的半径为【解答】解：（1）连接EC．如图1所示： ∵E是△ADC的内心，∠ADC＝90°， ∴∠ACE＝∠ACD，∠EAC＝∠CAD，

∴∠AEC＝180°﹣（∠ACD+∠CAD）＝135°，

．

在△AEC和△AEB中，∴△EAC≌△EAB（SAS）， ∴∠AEB＝∠AEC＝135°；

，

（2）连接BC、EF、EM、EN、DE，如图2所示： ∵CD⊥AB，AD＝DB， ∴AC＝BC， ∵AC＝AB， ∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∴AD＝

CD＝， ，

＝

，

∴AB＝AC＝2

∴扇形CAB的弧长为

∵圆E是△ACD的内切圆，切点分别为M，N，F， ∴EF⊥AD，EN⊥CD，EM⊥AC，EM＝EF＝EN， ∵CD⊥AB，

∴△ACD的面积＝△ACE的面积+△ADE的面积+△CDE的面积， 即×

×3＝×2

，

．

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×EM+×

×EF+×3×EN，

解得：EF＝即圆E的半径为