的增量等于电场力对正离子所做的功，即， mv2/2-0=eU,∴v=(2eU/m)1/2

正离子在半径为R的弯管中受到洛仑兹力的作用而发生偏转，若能进入漂移管道，根据牛顿二定律必须满足：qvB=mv2/R,也就是，

eB=mv/R，将v=(2eU/m)1/2代入，并将方程两边平方，得：

e2B2=2meU/R2，∴m=eB2R2/2U.

y 4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂

质量为500g的圆柱体，圆柱体又套 30o l v1 在可沿水平方向移动的框架内，框架 30o 槽沿铅直方向，框架质量为200g.自 o 悬线静止于铅直位置开始，框架在水 F x 平力F=20.0N作用下移至图中位置， v2 求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦。

解：设绳长l，圆柱质量m1，框架质量m2，建立图示坐标o-xy；据题意，圆柱在o点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位置时，设圆柱的速度为v1，方向与线l垂直，框架的速度为v2,方向水平向右，由圆柱与框架的套接关系，可知v2=v1x，v1y=v1xtg30o

圆柱体m1与框架m2构成一质点系，此质点系在从竖直位置运动到图示位置的过程中，只有重力W1=m1g和拉力F做功：其中，

AW1= - m1gl(1-cos30o)= - 0.13J, AF = F l sin30o= 2J,由质点系动能定理，有

111AW1?AF?12m1v1?2m2v2?2m1(v1x?v1y)?2m2v1x

2224?1W1?AF)/(3m1?m2) 2v1x[m1(1?tg30?)?m2]?v1x?2(A22222代入数据,v1x2=4.3, v1y2=(v1xtg30o)2=1.44∴v1=(v1x2+v1y2)1/2=2.4m/s.

4.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和弹簧2的劲度系数各为k1,k2，它们自由伸展的长度相差l，坐标原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0≤x≤l和x<0时弹性势能的表达式。

解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性势能为零；弹簧2的势能表达式显然为：

l Ep2?1kx2,x?0；弹簧1的势能： 22 k1 xx 2xEp1??k1?(l?x)dx?k1?(l?x)d(l?x)?12k1(l?x)|000k2 o x 21E?E?kx?k1lx pp112当0≤x≤l时，

2221?1k[(l?x)?l]?kx?k1lx,(x?l)1122

21E?E?E?(k?k)x?k1lx p1p2122当x<0时，p4.5.1 滑雪运动员自A自由下落，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度vc

刚好在水平方向，已知A、B两点的垂直距离为25m.坡道在B点的切线方向与水平面成30o角，不计摩擦，求：⑴运动员离开B处的速率vB；⑵B、C的垂直高度差h及沟宽d；⑶运动员到达平台时的速率vc.

解：运动员在整 A vc 个运动过程中,只有重 力做功,故机械能守恒， H=25m vB h 取B点为势能零点。 30o ∵mgH = mvB2/2 d ∴vB?2gH?2?9.8?25?22.1m/s 运动员由B到C作斜抛运动，据题意，C点即为最高点。由斜抛运动规律可知，vc = vB

cos30o = 19.1m/s

∵mvB2/2 = m vc2/2+mgh ∴h = (vB2-vc2)/2g = 6.3m；由竖直方向的速度公式可求跨越时间：∵0 = vBsin30o-gt ∴t = vB /2g =1.13s，由水平方向的位移公式可求得跨越距离 d = vB cos30ot = 21.6m.

4.5.2装置如图所示，球的质量为5kg，杆AB长1m，AC长0.1m，A点距o点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。

解：取小球在水平位置时，势能为零，小球运动到竖直位置时

o 22l?0.5?0.1?0.51，在小球从水平0的速度为v，弹簧原长：

位置运动到竖直位置的过程中，只有保守内力做功，因而机械能守恒：

B C A 0?1mv2?mgAB?1k(OA?AC?l0)2，可求得： 22

v?2gAB?k(OA?AC?l0)2/m

4.5.3 物体Q与一劲度系数为24N/m的橡皮筋连接，并在一水平(光滑)圆环轨道上运动，物体Q在A处的速度为1.0m/s，已知圆环的半径为0.24m,物体Q的质量为5kg,由橡皮筋固定端至B为0.16m,恰等于橡皮筋的自由长度.求:⑴物体Q的最大速度; ⑵物体Q能否达到D点，并求出在此点的速度.

解: 物体Q在整个运动过程中，只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒.总能量E=

12?2?9.8?1?800(0.5?0.1?0.51)2/5?4.28m/s

代入数据，求得E=3.63J Q A ⑴在B点, 弹簧的势能全部转 化为动能，所以, 在该点速度最大.

mVB2/2 = E, vB = (2E/m)1/2 = 1.2m/s B D ⑵在D点的弹性势能，

Ep=k(2R)2/2=2kR2=2×24×0.242=2.76 C 2

∵Ep

4.6.1 卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当α粒子和氢原子相碰时，可使之迅速运动起来.按正碰考虑很容易证明,氢原子速度可达α粒子碰撞前速度的1.6倍,即占入射α粒子能量的64%.试证明此结论(碰撞是完全弹性的,且α粒子质量接近氢原子质量的四倍).

证明: 设氢原子质量为m,碰前速度为零,碰后速度vH',α粒子质量为4m,碰前速度为vα,碰后速度为vα'.根据完全弹性碰撞基本公式：

222mvA?12k[R?(R?l0)?l0]

2?4mv??4mv?'?mvH'4v??4v?'?vH'(1)??v??vH'?v?' 即 ， v??vH'?v?'(2)

⑴＋⑵×4，得 8 vα= 5vH', ∴ vH'= 8 vα/5 = 1.6 vα

EHE??mvH'2/24mv?2/2?(1.6v?)24v?2?0.64

4.6.2 m为静止车厢的质量，质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率v滑行并与

m碰撞挂钩.挂钩后前进了距离s然后静止。求轨道作用于车的阻力。 v

解：整个过程可分为两个阶段： 第一阶段，机车与车厢发生完全非 m M 弹性碰撞而获得共同速度v’，由于

轨道阻力远小于冲力，可认为质点 v’

系动量守恒，Mv=(M+m)v’,v’=Mv/(M+m) f

第二阶段，机车与车厢挂钩后，在摩擦阻力的作用下向前移动了s，速度由v’变为零，由动能定理，有 – fs = 0 - (M+m) v’2 /2,

将v’代入，可求得

4.6.3 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度.静止时,两球恰能接触且悬线平行.碰撞的恢复系数为e.若球A自高度h1释放，求该球弹回后能达到的高度。又问若二球发生完全弹性碰撞，会发生什么现象，试描述之。

解：设两球质量均为m，球 A由h1高处运动到水平位置获得 的速度vA，可由能量守恒方程求

h1 f?M2v22s(M?m)x A B 出：mgh1=mvA2/2∴vA=2gh1

设A,B两球碰后速度分别为

vA'和vB'，根据非完全弹性碰撞的基本公式，有

vA?vA'?vB'?mvA?mvA'?mvB'?v'?v'?evA?BA 即， evA?vB'?vA'

??vA'?vA(1?e)/2?(1?e)2gh1/2?(1)??v'?vA(1?e)/2?(1?e)2gh1/2?(2)

可求得，?B设A球弹回后的最大高度为h，根据能量守恒,mvA'2=mgh

12若为完全弹性碰撞，则e=1,由（1）,（2）可知：vA'=0, vB'=vA ,即，碰后A球静止，B球以A球原来的速度向右运动；B球达到h1高度返回后，又把能量、动量、速度全部传给A球，周而复始，这种传递永远进行下去。

4.6.4质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg，用1m长的绳子悬挂着的摆，子弹穿过摆后仍然有100m/s的速度，问摆沿铅直方向升起若干？

解：用v0,v分别表示子弹穿过摆前后的速度，V表示子弹穿过摆后摆的速度，设摆升起的最大高度为h

由

l m M v 0 V

v 动

量

守

恒

：

vA'21h??(1?e)2h12g4

mv0?mv?MV，可得

V?mM(v0?v)?0.002(500?100)?0.8

21由能量守恒：2MV?Mgh

4.6.5一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，今有一质量为200g的铅快在高30cm处从静止开始落进框架，求此框架向下移动的最大距离，弹簧质量不计，空气阻力不计。

解：框架静止时，弹簧伸长Δl=0.1m，由平衡条件mg=kΔl,求得：k=mg/Δl=0.2×9.8/0.1=19.6N/m

m h

h?V2/2g?0.82/(2?9.8)?0.033m

m

1铅块落下h=30cm后的速度v0，可由能量守恒方程求出：mgh?2mv0

2设铅快与框架碰后的共同速度为v，由动量守恒： 设框架下落的最大距离为x，由机械能守恒：

12221(m?m)v2?12k?l?2k(?l?x)?2mgx，进行整理并代入数据，可得x的一元二次方

v0?2gh?2?9.8?0.3?2.42m/s

mv0?2mv,v?12v0?2.42/2?1.21m/s

2x?0.2x?0.03?0,x?0.3m 程：

4.6.6 质量为m1=0.790kg和m2=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上，最初弹簧自由伸张。质量为0.01kg的子弹以速率v0=100m/s沿水平方向射于m1内，问弹簧最多压缩了多少？

解：整个过程可分为两个阶段 v0 处理。第一阶段：子弹射入m1内，

m2 m1 发生完全非弹性碰撞，动量守恒， m0 设子弹质量为m0，子弹与m1获得的共同速度为v,则有

m0v0 = (m1+m0) v ∴v = v0m0 / (m1+m0) （1） 第二阶段：子弹与m1以共同速度v开始压缩弹簧至m1与m2有相同的速度V,压缩结束；在此过程中，由m0,m1,m2组成的质点系，其动量、能量均守恒，设弹簧最大压缩量为l.由动量守恒，有：

(m1?m0)v?(m1?m2?m0)Vm1?m0m0v0v?m1?m2?m0m1?m2?m0222111(m?m)v?(m?m?m)V?kl1012022由能量守恒:2?V?将⑴、⑵代入⑶中，可求得：

(2)

(3)

l?m0v0

4.6.7 一10g的子弹沿水平方向以速率110m/s击中并嵌入质量为100g的小鸟体内，小鸟原来站在离地面4.9m高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。

解：设鸟被子弹击中后与子弹共有的速度为v，由动量守

m2

m1 恒：

v m1v0?(m1?m2)v v0 S h 111(?)?0.25mkm1?m0m1?m2?m0

v?m1v0m1?m2?0.01?1100.01?0.1?10m/s

21h?gt2由平抛运动公式,可求得子弹落地时间：

t?2h/g?2?4.9/9.8?1s，所以，水平距离S=vt=10×1=10m

4.6.8在一铅直面内有一光滑轨道，左边是一个上升的曲线，右边是足够长的水平直线，两者平滑连接，现有A、B两个质点，B在水平轨道上静止，A在曲线部分高h处由静止滑下，与B发生完全弹性碰撞。碰后A仍可返回上升到曲线轨道某处，并再度滑下，已知A、B两质点的质量分别为m1和m2，球A、B至少发生两次碰撞的条件。

解：设碰前mA的速度 A 为v0,碰后mA、mB的速度分

v0 B h 别为vA、vB，方向如图示。

由能量守恒，有

vA vB