v0:{e,a,a2}?{e,a,a2},v:{e,a,a}?{e,a,a},22

故A(Z3)?{v0,v}与Z2同构。显然A(Z3)不是内自同构群。

例18 三阶对称群S3有以下的内自同构映射：

?0(g?)?g?,?1(g?)?(12)g?(12),?2(g?)?(13)g?(13),?3(g?)?(23)g?(23)?4(g?)?(123)g?(132),?5(g?)?(132)g?(123)

因此S3群的内自同构群为I(S3)?{?0,?1,?2,?3,?4,?5}

内自同构群I(S3)的子群{?0,?1},{?0,?2},{?0,?3},{?0,?4,?5}，也都是S3的内自同构群。

总之，同构的群作为抽象的数学群来说，是相同的。群的同态映射，是保持群结构的一种映射，是常用的重要概念。

1.5变换群

前面所讨论的都只涉及到抽象群。而将群论用于物理对称性的研究时，常常借助变换群来研究被变换对象和变换群之间的关系。因此变换群提供了把群论用到几何和物理问题中的重要途径。

变换与变换群又称为置换与置换群。对置换群的讨论应包括被变换对象和变换群两部分。设被变换对象X由元素x,y,z,?组成，它是一个非空的集合，X?{x,y,z,?}。X上的置换f是将X映入自身的一一满映射，f:X?X,即对任意x?X，有f(x)?y?X，而且f有逆f?1,f?1(y)?x。

定义1.15 定义X上两个置换f和g得乘积fg为先实行置换g，再实行置换f。即对任

意x?X，有fg(x)?f(g(x))，X的全体置换在次乘法下构成一个群，称为X上的完全对称群，记为SX?{f,g,?恒等置换e是SX的单位元素，置换f与其逆置f}。的互逆元素。

被置换对象X的元素个数可以是无限的，如X是三维实欧式空间R中所有的点，或是希耳伯特空间的所有态矢量等等。X的元素个数也可以是有限的，如平面正三角形的3个顶点，或正四面体的4个顶点等等。当X有无限多个元素时，SX是无限群。当X有n个元素时，X的完全对称群SX就是n个元素的置换群Sn。Sn共有n!个元素。

3?1换为SX

X的完全对称群SX的任何一个子群，是X的一个对称群。又称为X上的变换群。

同一个数学抽象群，可以对应不同的变换群。如二阶循环群Z2?{a,a2?e}，可以对应转动群的子群，{Ck(0),Ck(?)},也可以对应空间反演群{E,I}。群{Ck(0),Ck(?)}和群

{E,I}是Z2的两个不同的实现。虽然这两个群是同构的，具有完全相同的乘法表，但他们

作用于被变换对象R中的向量时，引起的后果并不相同。这说明两个同构的群，应用到物理问题上，若是不同的实现，必须注意它们的区别。

3定理1.7 (凯莱定理) 群G同构于G的完全对称群SG的一个子群。特别地，当G是n阶

有限群时，G同构于Sn的一个子群。

证明 设G?{f,g,h,?}。将G本身看作被变换对象X?{f,g,h,?}，则任意G的元素

g，把h?H按群G的乘法映入X，即g(h)?(gh)?X。

由重排定理知道，g是把X映入X的一一满映射，故G是将X?G映入自身的一个变换群。因此G是G上完全对称群SG的一个子群。

下面将讨论关于变换群的轨道等重要概念。

设G?{f,g,h,?}是X?{x,y,z,?}的一个变换群，如果X中两个元素x和y，有

g?G，使gx?y，则称元素x是G等价于元素y，或称为x点与y点等价。记为x~y。

因此等价是指被变换对象X中两个元素x和y，可以通过变换群G的作用，从x变到y。

?1显然等价具有对称性，若x~y，必有y~x，因gx?y，必有gy?x。等价也具

有传递性，若x~y，y~z,必有x~z，因gx?y，fy?z，必有fgx?z。

由X中全部与x等价的点组成的轨道称为含x的G轨道，即为{gxg?G}。即从点x出发，用G中元素g作用于x，当g取遍G的所有元素时，gx给出X的一个子集，这个子集就是含x的G轨道。含x的G轨道，就是x点经群G作用后，可以变到的所有的点。有时也简称为轨道，不过要注意是过那一点的轨道。

X的G不变子集Y，是指X的子集Y，在变换群G的作用下，不会变到Y外面去，即对任意g?G,y?Y，有g(y)?Y。显然，X中每一个G轨道是G不变的；几个轨道的和集也是G不变的。当集合Y是G不变时，G也是Y的对称群。

设G是X的变换群，那么对于X的任意子集Y，Y?X，总可以找到G的一个子群

H，使任意子集Y是H不变的，即H?{g?Gg(Y)?Y}。

Y不变的子群H总是存在的，因为Y对由单位变换{e}构成的显然子群总是不变的。

例19 设X是xy二维平面，G是绕z轴转动的二维转动群。

?x?G?{Ck(?)0???2?},X?{r?xi?yj},平面X上任意一点r可写为r???y??

???????r经Ck(?)作用变到r，r?Ck(?)r?(??'??'?'?xcos??ysin?)

xsin??ycos??r与r等价，r~r,以原点O为圆心，过r点的圆周上的全部点，是含r的G轨道。

一般说来，过不同的点的G轨道是不相同的。如含r0的G轨道，是以原点O为圆心，过r0点的圆。对绕z轴转动的平面转动群，G轨道如图1.6所示，是一个个同心圆。 从图1.6可以看出，X中G不变的子集有，原点O和以原点为圆心的同心圆的任意和集，即X中几个G轨道的和集是G不变的。因此，G既是原点O的对称群，又是任意以原点为圆心的同心圆及其和集的对称群。

?'?例20 平面正方形对称群D4。设X为xy平面，G是绕原点O的转动群。中心在O的正方

形ABCD是的X子集，ABCD?X用求正三角形对称群D3的同样办法，我们可以求出下面8个转动使不变：

e:恒等转动，r:绕z轴转?2角，

r2:绕z轴转?角，r3:绕z轴转3?2角，

a:绕对角线1转?角，b:绕对角线2转?角 u:绕x轴转?角，v:绕y轴转?角，

见图1.7。这8个保持正方形ABCD不变的元素，构成G的一个子群，称为D4群。即

D4?{e,r,r2,r3,a,b,u,v}

正方形ABCD是D4不变的。过A点的D4轨道包括A,B,C,D4个点，故正方形ABCD只有一个D4轨道。对正方形ABCD的不同子集Y可以找到D4的不同子群H，使Y是H不变的。如

Y?{A}或Y?{C} H?{e,b}

Y?{B}或Y?{D} H?{e,a} Y?{A,C}或Y?{B,D} H?{e,a,b,r2} Y?{A,B}或Y?{C,D} H?{e,u} Y?{A,D}或Y?{B,D} H?{e,v}等等。

定义1.16 设G是X上变换群，x是X内一点，G的子群Gx保持x不变，

Gx?{h?Ghx?x}

Gx称为G对x的迷向子群。

在正四方形对称群D4中，A,C和B,D点的迷向子群分别为

GA?Gc?{e,b} GB?GD?{e,a}

定理1.8 设Gx是G对x的迷向子群，则Gx的每一个左陪集，把点x映为X中一个特定

的点y。也就是说，含x的G轨道上的点，和G的左陪集间有一一对应关系。

x证明 设y是含x的G轨道上的点，即有g?G，使gx?y。则Gx左陪集gGx也将x映

为y。因为G?{h??Gh?x?x}

xx gG?{gh?h??G}

x得gh?x?gx?y。反之，若有f?G，f把x映为y，fx?y，则由fx?y?gx，得

x?g?1fx,g?1f?Gx,f?gGx。

xx即只有左陪集gG中的元素，才可能把x映为y。因此，含x的G轨道上的点和G的左

陪集间有一一对应关系。定理证毕。

系 设G是n阶有限群，Gx左陪集的个数，就是含x的G轨道中点的个数。设Gx的阶为

n(Gx)，则含x的G轨道中共有nn(Gx)个点。

例21 设A,B,C是平面正三角形?ABC的三个顶点，D3是X?{A,B,C}的对称群。A点

AAA的迷向子群G?{e,a}，即A在G作用下不变。左陪集bG?{b,f}把A映为C，

。 cGA?{c,f}把映A为B。含A的D3轨道上共有62?3个点。见图1.1（a）