群的基本知识 下载本文

H4?{e,d,f}?f0,aH4?{a,b,c}?f1

故商群D3H4是二阶循环群Z2。

1.4群的同构与同态

定义1.10 若从群G到群F上,存在一个一一对应的满映射?,而且?保持群的基本运算规律(乘法)不变;即群G中两个元素乘积的映射,等于两元素映射的乘积,则称群G和群F同构,记为G?F。映射?称为同构映射。

同构映射可由图1.2表示: 其中?:G?F gi?fi gj?fj gigj?fifj

同构映射?,把G的单位元素g0映为F的单位元素f0,因对任意fi?G,?:gi?fi。 设?:g0?f0',则有?:g0gi?gig0?gi?f0'fi?fif0'?fi

故f0'?f0,f0'必为F的单位元素f0。同构映射?,还把G的互逆元素gi,gi?1映为的互逆元素fj,fj。

由于同构映射?是一一满映射,故逆映射?恒存在,?把F映为G,而且?保持群的乘法规律不变,即

?1?1?1?1??1:F?G

fi?gi

fj?gj fifj?gigj

所以当群G和群F同构,必有群F与群G同构,F?G。

两个同构的群,不仅群的元素间有一一对应关系,而且他们所满足的乘法规律间也有一一对应关系。因此从数学角度看,两个同构的群具有完全相同的群结构。作为抽象的群来说,两个同构的群本质上没有任何区别。

例13 空间反演群{E,I}和二阶循环群Z2?{a,a2?e}同构。 例14 三阶对称群S3和正三角形对称群D3同构。

例15 群G的两个互为共轭的子群H和K是同构的。因为存在g?G,使h??H与

k??K有一一对应关系,h??gk?g?1,k??g?1h?g

以上各个同构的群,有完全相同的乘法表。因此作为抽象的数学群来说,它们是一样的。当然,对同一抽象群,当它用于不同的物理或几何问题时,它将代表不同的物理或几何意义。这和初等数学中2+3=5可以代表不同对象相加是同样的。

定义1.11 设存在一个从群G到群F上的满映射?,?保持群的基本规律(乘法)不变;即G中两个元素乘积的映射,等于两个元素映射的乘积,则称群G与群F同态,记为G~F。映射?称为从G到F上的同态映射。 图1.3表示从G到F上的同态映射?: 其中?:G?F

gi?fi

gj?fj gigj?fifj

也有定义从群G到群F中的同态映射?,这时?保持群的乘法规律不变,但并不是满映射。以后如不特别说明,我们说同态,是指从群G到群F上的同态。

一般说,同态映射?并不是一一对应的。即对群F中的一个元素fi,G中可能不止一个元素gi,gi',?,与之对应。因此群G与群F同态,并不一定有群F与群G同态。 同构是一种特殊的同态,即当同态映射?是一一映射时,同态就是同构。因此若群G与群F同构,则G必与F同态。反之,若群G与群F同态,G与F不一定同构。

任何群G与只有单位元素的群Z1?{e}同态。这种同态是显然的,一般不考虑这种同态。

定义1.12 设群G与群F同态,G中与F的单位元素f0对应的元素集合H?{h?},称

为同态核。

定理1.6(同态核定理)设群G与群F同态,则有 (1) 同态核H是G的不变子群;

(2) 商群GH与F同构。 同态核定理可以用图1.4表示。

证明 先证明同态核H是G的子群。

对任意h?,h??H,有?:h??f0,h??f0,h?h??f0

故h?h??H。因此同态核中二元素h?h??f0,的乘积仍在H中。而且由于同态映射把单位元素映为单位元素,故H含有G的单位元素g0,因设?:g0?f0,则对任意gi?G,

'

有?:gi?fi,

g0gi?gig0?gi?f0'fi?fif0'?fi,

f0'?f0

?1?1于是,如果h??H,必有h??H。否则,设h??H, ?1?:h??f0'?f0

?1而又有?:h?h??g0?f0'f0?f0

?1这不可能,因此若h?属于H,必有h?属于H。这就证明了H是G的子群。

再证同态核H是G的不变子群。

对h??H,与h?同类的元素为gih?gi?1,g?是群G的任意元素。同态映射?有以下作用。

?:gi?fi,gi?1?fi?1,gih?g?1i?fif0fi?f0?1

故所有与h?同类的元素gih?gi?1?H。H是G的不变子群。

最后证明商群GH与F

同构。包括H的陪集串,

因为同态映射?保持H?{h?},g1H?{g1h?},?,giH?{gih?},?是商群GH的元素。

群的乘法规律不变,故只要证明陪集串的元素与F的元素有一一对应,就证明了GH与F同构。

首先,H的一个陪集giH?{gih?}对应F的一个元素,设?:gi?fi,则

?:gih??fi,对任意h??H。其次H的不同陪集giH,gjH,对应F中的不同元素,

因为giH和gjH不同,由陪集定理可知,它们没有公共元素。设?:gi?fi,gj?fj,假设fi?fj,则

?1?:giha?fif0?fi,gi?1gjh??fi?1fjf0?f0

得到gigjh??H,giH和gjH重合。这与假设矛盾,故fi?fj

因此H的陪集与F的元素有一一对应关系,商群GH与F同构。定理证毕。

从图1.4可以看到,如群G与群F同态,同态映射为?。G中对应F单位元素f0的

元素集合{h?}是G的一个不变子群H。H陪集串中的每一个陪集giH,唯一地对应F中的一个元素fi。F中的一个元素fi也唯一地对应H的一个陪集giH。已知各个陪集中元素数目相同,故G中与F的每一个元素对应的元素数目是相同的。

同态核定理,说明同态映射保持群的乘法规律不变,它是关于同态性质的重要定理。在处理各种群的问题中,我们会经常用到它。

例16 D3群与二阶循环群Z2同态。同态核是不变子群H?{e,d,f},陪集是

aH?{a,b,c}。图1.5表示这个同态映射。

定义1.13 群G到自身的同构映射v,称为G的自同构映射v:G?G。

即对任意g??G。有v(g?)?g??G,而且保持群的乘法规律不变,

v(g?g?)?v(g?)v(g?)。故自同构映射v总是把群G的单位元素g0映为g0,把互逆元素

?1?1映为互逆元素g?和g?。 g?和g?定义1.14 定义两个自同构v1和v2的乘积v1v2,为先实行自同构映射v2,再实行自同构

映射v1。 恒等映射v0对应单位元素。每个自同构映射v有逆v存在。于是群G的所有自同构映射v构成一个群,称为群G的自同构群,记为A(G)或Aut(G)。A(G)的子群也称为G的一个自同构群。

如果群G的自同构映射?,是由u?G引起,即对任意g??G,有?(g?)?ug?u?1 则称?是G的内自同构映射。

与定义自同构的乘法一样,可以定义内自同构的乘法。于是群G的所有内自同构?构成一个群,称为群G的内自同构群,记为I(G)或In(G)。内自同构群I(G)是自同构群

?1A(G)的一个子群,而且是A(G)的不变子群。因为对任意??I(G),与?同类的元素为

v?v?1,其中v?A(G),设v?1(g?)?g?,则

v?v?1(g?)?v?(g?)?vug?u?1?v(u)v(g?)v(u?1)?v(u)g?v(u?1)vg?v?I(G)其中v?v(u)?G,故I(G)是A(G)的不变子群。

?1

例17 三阶循环群Z3?{e,a,a2}的自同构群A(Z3)有两个元素,