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河南省中原名校2012—2013学年度高三下期第二次联考

数学（理）试题

命题学校：开封高中 责任老师：黄涛 （考试时间：1 2 0分钟试卷分数：1 5 0分）

注意事项

1．答题前将密封线内的项目及座号填写清楚．

2．请把第I卷中每小题你认为正确选项的代号填涂在答卷中选择题答案栏内．

第I卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的） 1．已知复数z?cos

A．-1

2?3?isin2?3（i为虚数单位），则z3的虚部为

C．i

D．l

B．0

2．已知集合A?{x|x?2n,n?N*},B?{x|x?2n,n?N*}，则下列不正确的是

A．A?B

B．A?B?A

C．B?(eZA)?? D．A?B?B

3．若实数a?

A．x=0

?e1x1dx．则函数f(x)?asinx?cosx的图像的一条对称轴方程为

B．x??3?4 C．??4 D．x??5?4

4．甲乙丙3位同学选修课程，从4门课程中选。甲选修2门，乙丙各选修3门，则不同的

选修方案共有

A．36种

B．48种

C．96种

D．1 92种

?????????5．已知不共线向量a,b,a?2,b?3,a.(b?a)?1,则b?a

A．3

2B．22 2C．7 1,n?N2n*D．23 ，则f(n),g(n),?(n)的大

6．若f(n)?小关系

n?1?n,g(n)?n?n?1,?(n)?A．f(n)?g(n)??(n) C．g(n)??(n)?f(n)

B．f(n)??(n)?g(n) D．g(n)?f(n)??(n)

7．从一个正方体中截去部分几何体，得到的几何体三视图如下，则此几何体的体积是（ ）

A．64

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。

B．C．D．

12231883476

8．执行如图所示的程序框图，若输出a= 341，判断框内应填写（ ） A．k<4? C．k<6?

B．k<5?

D．k<7?

?x?0?9．若A为不等式组?y?0所示的平面区域，则当a从-2连续变

?y?x?2?化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域面积为（ ） A．2

C．

34

2

B．1 D．

74

10．已知过抛物线y=2px（p>0）的焦点F的直线x－my+m=0与

抛物线交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为22，则m6+ m4的值为（ ） A．1

B． 2

C．2

D．4

????????11．平行四边形ABCD中，AB·BD=0，沿BD折成直二面角A一BD－C，且4AB2 +2BD2

=1，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为（ ） A．

?2 B．

?4 C．

?48 D．

224?

12．已知R上的函数y=f（x），其周期为2，且x∈（-1,1]时f（x）=1+x2，函数g（x）

?1?sin?x(x?0)?=?，则函数h（x）=f（x）－g（x）在区间[-5,5]上的零点的个数为（ ） 11?,(x?0)?x? A．11 B．10 C．9 D．8

第Ⅱ卷

本卷分为必做题和选做题两部分，13—21题为必做题，22、23、24为选考题。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．(x?414)的展开式中常数项的值是 （数字作答）；

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。

14．已知f(x)?x3?2f'(32)x?x,f的(x图)像在点(22,f())处的切线斜率33是 ；

15．△ABC中，sin2A?sin2B?2sin2C，则∠C最大值为_ ；

16．下列若干命题中，正确命题的序号是 。

①“a=3”是直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a一l）y一a+7 =0平行的充分不必要条件；

②△ABC中，若acosA=bcos B，则该三角形形状为等腰三角形； ③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线；

④对于命题P:?x?R使得x2?x?1?0，则?p:?x?R,均有x2?x?1?0． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、或演算步骤）

17．（12分）已知等差数列{an}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1?3?a3,a2?5?a4,数列{bn}满足bn?1an.an?1前{bn}项和为Sn．

（1）求数列{an}的通项公式an；

*（2）若S2为Sl，Sm(m?N)的等比中项，求正整数m的值．

18．（12分）为了保养汽车，维护汽车性能，汽车保养一般都在购车的4S店进行，某地大

众汽车4S店售后服务部设有一个服务窗口专门接待保养预约。假设车主预约保养登记

所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往车主预约登记所需的时间统计结果如下：

登记所需时间（分）

频率

1 0．1

2 0．4

3 0．3

4 0．1

5 0．1

从第—个车主开始预约登记时计时（用频率估计概率）， （l）估计第三个车主恰好等待4分钟开始登记的概率：

（2）X表示至第2分钟末已登记完的车主人数，求X的分布列及数学期望．

19．（12分）如图所示，四面体ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2． （1）求证：AD⊥BC；

（2）求二面角B—AC—D的余弦值．

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。

20．（12分）若椭圆

xa22?yb22右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为2． ?1(a?b?0)的左、

?（1）过点C（-1,0）且以向量a?(1,k)(k?0)为方向向量的直线l交椭圆于不同两点A、

????????B，若AC?2CB，则当△OAB的面积最大时，求椭圆的方程。

?????????（2）设M，N为椭圆上的两个动点，OM?ON，过原点O作直线MN的垂线OD，

垂足为D，求点D的轨迹方程．

21．（12分）已知函数f（x）=1n（2ax+1）+

x33－x－2ax（a∈R）．

2

（1）若y=f（x）在[4，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围； （2）当a=?12时，方程f（1－x）=

(1?x)33?bx有实根，求实数b的最大值．，

【选考题】

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，△ABC内接于⊙O，AB =AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD

相交于点E．

23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

?2t?x?2??2（t 为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且?2?y?3?t??2（1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AB =6，BC =4，求AE．

以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为??23sin?。

（1）求圆C的直角坐标方程；

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