2018年数学全国1卷 已知函数f(x)?1?x?alnx． x（1）讨论f(x)的单调性；
f?x1??f?x2?（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：?a?2．
x1?x21ax2?ax?1解:（1）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??2?1???.
xxx2（i）若a?2，则f?(x当且仅当a?2，x?1时f?(x)?0，所以f(x)在(0,??))?0，单调递减.
a?a2?4a?a2?4（ii）若a?2，令f?(x)?0得，x?或x?.
22a?a2?4a?a2?4当x?(0,)U(,??)时，f?(x)?0；
22当
a?a2?4a?a2?4x?(,)22时，
f?(x?).所以f(x)在
a?a2?4a?a2?4a?a2?4a?a2?4(0,),(,??)单调递减，在(,)单调递
2222增.
（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a?2.
2由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x?ax?1?0，所以x1x2?1，不妨设x1?x2，则
x2?1.由于
f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2lnx1?lnx2?2lnx21， ???1?a??2?a??2?a1x1?x2x1x2x1?x2x1?x2?x2x2所以
f(x1)?f(x2)1?a?2等价于?x2?2lnx2?0.
x1?x2x21?x?2lnx，由（1）知，g(x)在(0,??)单调递减，又g(1)?0，从x设函数g(x)?而当x?(1,??)时，g(x)?0.
所以
f(x1)?f(x2)1?x2?2lnx2?0，即?a?2. x2x1?x22017年数学全国1卷
2xxae+(a2) e已知函数（﹣﹣x. fx)?（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
2xxxx?（1）f(x)的定义域为(??,??)，f(x)?2ae?(a?2)e?1?(ae?1)(2e?1)，
?（ⅰ）若a?0，则f(x)?0，所以f(x)在(??,??)单调递减. ?（ⅱ）若a?0，则由f(x)?0得x??lna.
??当x?(??,?lna)时，f(x)?0；当x?(?lna,??)时，f(x)?0，所以f(x)在(??,?lna)单调递减，在(?lna,??)单调递增.
（2）（ⅰ）若a?0，由（1）知，f(x)至多有一个零点.
（ⅱ）若a?0，由（1）知，当x??lna时，f(x)取得最小值，最小值为
f(?lna)?1?1?lnaa.
①当a?1时，由于f(?lna)?0，故f(x)只有一个零点；
②当a?(1,??)时，由于
1?1?lna?0a，即f(?lna)?0，故f(x)没有零点；
③当a?(0,1)时，
1?1?lna?0a，即f(?lna)?0.
?4?2?2f(?2)?ae?(a?2)e?2??2e?2?0，故f(x)在(??,?lna)有一个零点. 又
3n0?ln(?1)n0nf(n)?e(aea0设正整数0满足，则
n0?a?2)?n0?en0?n0?2n0?n0?0.
3ln(?1)??lnaa由于，因此f(x)在(?lna,??)有一个零点.
综上，a的取值范围为(0,1)
2016年数学全国1卷
已知函数f(x)?(x?2)e?a(x?1)有两个零点. （I）求a的取值范围；
（II）设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1?x2?2. 【答案】(I)(0,??)；（II）见解析 【解析】
试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；(II)借助(I)的结论来证明，由单调性可知x1?x2?2等价于f(x1)?f(2?x2)，即
2?xx2?xx设g(x)??xe?(x?2)e，则g'(x)?(x?1)(e?e)．则当x?1f(2?x2)?0．
x2时，g'(x)?0，而g(1)?0，故当x?1时，g(x)?0．从而g(x2)?f(2?x2)?0，故x1?x2?2．
试题解析：（Ⅰ）f'(x)?(x?1)e?2a(x?1)?(x?1)(e?2a)．
x（i）设a?0，则f(x)?(x?2)e，f(x)只有一个零点．
xx时f(x)?0，所以f(x)不存在两个零点．
若a??e，则ln(?2a)?1，故当x?(1,ln(?2a))时，f'(x)?0；当x?(ln(?2a),??)2时，f'(x)?0．因此f(x)在(1,ln(?2a))单调递减，在(ln(?2a),??)单调递增．又当x?1时，f(x)?0，所以f(x)不存在两个零点． 综上，a的取值范围为(0,??)．
（Ⅱ）不妨设x1?x2，由（Ⅰ）知x1?(??,1),x2?(1,??)，2?x2?(??,1)，f(x)在(??,1)单调递减，所以x1?x2?2等价于f(x1)?f(2?x2)，即f(2?x2)?0． 由于f(2?x2)??x2e2?x2?a(x2?1)2，而f(x2)?(x2?2)ex2?a(x2?1)2?0，所以
f(2?x2)??x2e2?x2?(x2?2)ex2．
设g(x)??xe2?x?(x?2)ex，则g'(x)?(x?1)(e2?x?ex)．
所以当x?1时，g'(x)?0，而g(1)?0，故当x?1时，g(x)?0． 从而g(x2)?f(2?x2)?0，故x1?x2?2． 2013年数学全国1卷 设函数
＝
，
＝
，若曲线
和曲线
都过点
P(0，2)，且在点P处有相同的切线（Ⅰ）求，，，（Ⅱ）当≥－2时，21．【解析】（Ⅰ）由已知得而
=
，
=的值； ≤
，求的取值范围。
，
，∴=4，=2，=2，，
， （
，
，
），
=2；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设函数
=有题设可得令
=0得，
≥0，即=
，
=
==
=－2，