机械运动与机械波

Ⅰ.基础巩固

一、机械振动

1、机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做的往复运动．

振动的特点:①存在某一中心位置;②往复运动,这是判断物体运动是否是机械振动的条件. 产生振动的条件:①振动物体受到回复力作用;②阻尼足够小; 2、回复力：振动物体所受到的总是指向平衡位置的合外力．

①回复力时刻指向平衡位置;②回复力是按效果命名的, 可由任意性质的力提供．可以是几个力的合力也可以是一个力的分力; ③合外力：指振动方向上的合外力，而不一定是物体受到的合外力．④在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一定为零．如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零，而物体所受的合外力不为零．

3、平衡位置：是振动物体受回复力等于零的位置；也是振动停止后，振动物体所在位置；平衡位置通常在振动轨迹的中点。“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态） 二、简谐振动及其描述物理量 1、振动描述的物理量

（1）位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段． ①是矢量，其最大值等于振幅；

②始点是平衡位置，所以跟回复力方向永远相反； ③位移随时间的变化图线就是振动图象． （2）振幅：离开平衡位置的最大距离．

①是标量； ②表示振动的强弱； （3）周期和频率：完成一次全变化所用的时间为周期T，每秒钟完成全变化的次数为频率f．

①二者都表示振动的快慢； ②二者互为倒数；T=1/f；

③当T和f由振动系统本身的性质决定时（非受迫振动），则叫固有频率与固有周期是定值，固有周期和固有频率与物体所处的状态无关．

2、简谐振动：物体所受的回复力跟位移大小成正比时，物体的振动是简偕振动．

①受力特征：回复力F=—KX。

②运动特征：加速度a=一kx／m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置。简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。 说明：①判断一个振动是否为简谐运动的依据是看该振动中是否满足上述受力特征或运动特征。

②简谐运动中涉及的位移、速率、加速度的参考点，都是平衡位置. 三．弹簧振子：

1、一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子．一般来讲，弹簧振子的回复力是弹力（水平的弹簧振子）或弹力和重力的合力（竖直的弹簧振子）提供的．弹簧振子与质点一样，是一个理想的物理模型．

2、弹簧振子振动周期：T=2?m/k，只由振子质量和弹簧的劲度决定，与振幅无关，

也与弹簧振动情况（如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在地球上或在月球上或在绕地球运转的人造卫星上）无关。

3、可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是T?2?m。这

k个结论可以直接使用。

4、在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

【例2】如图所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M≥m）的D、B两物体．箱子放在水平地面上，平衡后剪断D、B间的连线，此后D将做简谐运动．当D运动到最高点时，木箱对地压力为（ ） A、Mg； B．（M－m）g； C、（M＋m）g ； D、（M＋2m）g

【解析】当剪断D、B间的连线后，物体D与弹簧一起可当作弹簧振子，它们将作简谐运动，其平衡位置就是当弹力与D的重力相平衡时的位置．初始运动时D的速度为零，故剪断D、B连线瞬间D相对以后的平衡位置的距离就是它的振幅，弹簧在没有剪断D、B连线时的伸长量为x1＝2 mg／k，在振动过程中的平衡位置时的伸长量为x2＝mg／k，故振子振动过程中的振幅为 A＝x2－x1= mg／k

D物在运动过程中，能上升到的最大高度是离其平衡位移为A的高度，由于D振动过程中的平衡位置在弹簧自由长度以下mg／k处，刚好弹簧的自由长度处就是物D运动的最高点，说明了当D运动到最高点时，D对弹簧无作用力，故木箱对地的压力为木箱的重力Mg． 四、振动过程中各物理量的变化情况 振动体位置 平衡位置O 位移X 方向 0 回复力F 大小 0 最大 0→最大 最大→0 指向O 指向O 指向O 加速度a 方向 指向O 大小 0 0→最大 最大 最大→0 速度v 方向 大小 最大 0 最大→0 0→最大 大小 方向 势能 最小 最大 最小→最大 最大→最小 动能 最大 最小 最大→最小 最小→最大 最大位移处A 指向A 最大 平衡位置O→0→最指向A 最大位移处A 大 最大位移处A最大指向A →平衡位置O →0 指向O O→A 指向O A→O 说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化（正弦或余弦函数），变化周期为T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为 T／2。

①凡离开平衡位置的过程，v、Ek均减小，x、F、a、EP均增大；凡向平衡位置移动时，v、Ek均增大, x、F、a、EP均减小.

②振子运动至平衡位置时，x、F、a为零，EP最小，v、Ek最大；当在最大位移时，x、F、a、EP最大，v、Ek最为零；

③在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同．

【例3】如图所示，一弹簧振子在振动过程中，经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0．2s，从b再回到a的最短时间为0．4s，则该振子的振动频率为（ ）。 （A）1Hz；（B） （C）2Hz；（D） 2．5Hz

解析：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置（O点）一定是对称的，振子由b经O到a所用的时间也是0．2s，由于“从b再回到a的最短时间是0．4s，”说明振子运动到b后是第一次回到a点，且Ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b→c→b历时0．2s，同理，振子从a→d→a，

也历时0．2s，故该振子的周期T＝0．8s，根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1．25Hz。 综上所述，本题应选择（B）。 五、简谐运动图象

1.物理意义：表示振动物体（或质点）的位移随时间变化的规律．

2.坐标系：以横轴表示时间，纵轴表示位移，用平滑曲线连接各时刻对应的位移末端即得 3.特点：简谐运动的图象是正弦（或余弦）曲线．

4.应用：①可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x； ②判定各时刻的回复力、速度、加速度方向；

③判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能、等物理量的变化情况 注意：①振动图象不是质点的运动轨迹．

②计时点一旦确定，形状不变，仅随时间向后延伸。

③简谐运动图像的具体形状跟计时起点及正方向的规定有关。 六、单摆

1、单摆：在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略，球的直径比线长短得多，这样的装置叫做单摆．这是一种理想化的模型，一般情况下细线（杆）下接一个小球的装置都可作为单摆．

0

2、单摆振动可看做简谐运动的条件是：在同一竖直面内摆动,摆角θ＜10．

3、单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。

4、单摆的周期：当 l、g一定，则周期为定值 T=2πlg，与小球是否运动无关．与摆球质量m、振幅A都无关。其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值。要区分摆长和摆线长。

5、小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。 6、秒摆：周期为2s的单摆．其摆长约为lm. 【例4】如图为一单摆及其振动图象，回答：

（1）单摆的振幅为 ，频率为 ，摆长为 ，一周期内位移x（F回、a、Ep）最大的时刻为 ．

解析：由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3crn．横坐标可直接读取完成一个全振动即一个完整的正弦曲线所占据的时间．轴长度就是周期 T=2s，进而算出频率f=1/T=，算出

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摆长l=gT/4π=1m·

从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0．5 s末和1．5s末．

【例5】若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的 点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是 。势能增加且速度为正的时间范围是 ．

解析：图象中O点位移为零，O到A的过程位移为正．且增大．A处最大，历时1/4周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应G．A到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C对应E、G、E、F点．

摆动中EF间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F向E的运动过程，在图象中为C到D的过程，时间范围是1．5—2．0s间

摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，而速度为正，显然是从 E向G的过程．在图象中为从O到A，时间范围是0—0．5 s间． 七、振动的能量

1、对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和．

2、振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大．若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，做等幅振动． 3、阻尼振动与无阻尼振动

（1)振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动．

（2)振幅不变的振动为等幅振动，也叫做无阻尼振动．

注意：等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻力作用．

4.受迫振动

（1)振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动．

（2)受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关． 5.共振

（1)当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，物体的振幅最大的现象叫做共振． (2）条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率． （3)共振曲线．如图所示．

【例6】行驶着的火车车轮，每接触到两根钢轨相接处的缝隙时，就受到一次撞击使车厢在支着它的弹簧上面振动起来．已知车厢的固有同期是0．58s，每根钢轨的长是12．6 m，当车厢上、下振动得最厉害时，火车的车速等于 m／s．

解析：该题应用共振的条件来求解．火车行驶时，每当通过铁轨的接缝处就会受到一次冲击力，该力即为策动力．当策动周期T策和弹簧与车厢的国有周期相等时，即发生共振，

即 T策＝T固＝ 0．58 s ………① T策=t=L/v……② 将①代入②解得v=L/0．58=21．7 m／s 答案：21．7m／s

八、机械波

1、定义：机械振动在介质中传播就形成机械波．

2、产生条件:(1)有作机械振动的物体作为波源．(2)有能传播机械振动的介质．

3、分类:①横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直．凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷

②纵波：质点的振动方向与波的传播方向在一直线上．质点分布密的叫密部，疏的部分叫疏部，液体和气体不能传播横波。 4.机械波的传播过程

(1)机械波传播的是振动形式和能量．质点只在各自的平衡位置附近做振动，并不随波迁移．后一质点的振动总是落后于带动它的前一质点的振动。

(2）介质中各质点的振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同． (3)由波源向远处的各质点都依次重复波源的振动． 【描述机械波的物理量】

1．波长λ：两个相邻的，在振动过程中相对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长．在横波中，两个相邻的波峰或相邻的波谷之间的距离．在纵波中两相邻的的密部（或疏部）中央间的距离，振动在一个周期内在介质中传播的距离等于波长

2．周期与频率．波的频率由振源决定，在任何介质中传播波的频率不变。波从一种介质进入另一种介质时，唯一不变的是频率（或周期），波速与波长都发生变化．

3．波速：单位时间内波向外传播的距离。v=s/t=λ/T=λf，波速的大小由介质决定。 【说明】