2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷Ⅰ）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?lnx1?，所以 x?1x
lnxk1(k?1)(x2?1)f(x)?(?)?(2lnx?)。
x?1x1?x2x(k?1)(x2?1)?2x(k?1)(x2?1)(x?0)，则h'(x)?考虑函数h(x)?2lnx?。
x2xk(x2?1)?(x?1)2(i)设k?0，由h'(x)?知，当x?1时，h'(x)?0，h(x)递减。而h(1)?0故当x?(0,1)时， x2h(x)?0，可得
1h(x)?0； 1?x21 h（x）>0 1?x2lnxklnxk从而当x>0,且x?1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
x?1xx?1x当x?（1，+?）时，h（x）<0，可得
（ii）设0 2221112 '?1当x?（1，）时，（k-1）（x+1）+2x>0,故h (x）>0,而h（1）=0，故当x?（1，）1?k1?k1?k. 1h（x）<0,与题设矛盾。 21?x22时，h（x）>0，可得 (k?1)(x?1)?2x?0?h（x）（iii）设k?1.此时x?1?2x，>0,'而h（1）=0，故当x?（1， 1 h（x）<0,与题设矛盾。 1?x2 综合得，k的取值范围为（-?，0] +?）时，h（x）>0，可得 点评;求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解。若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了。即以参数为分类标准，看是否符合题意。求的答案。此题用的便是后者。 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D，E边AB，AC上的点，且不与?ABC的顶点重合。已知AE的长n,AD，AB的长是关于x的方程x?14x?mn?0的两个根。 （Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆； （Ⅱ）若?A?90?，且m?4,n?6，求C，B，D，E所在圆的半径。 解析：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD?AB?mn?AE?AC 即 2分别为?ABC的为m，AC的长为 ADAE?.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB ACAB- 21 - 2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷Ⅰ） 所以C,B,D,E四点共圆。 （Ⅱ）m=4, n=6时，方程x-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12. 取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所DH. 由于∠A=90，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= 故C,B,D,E四点所在圆的半径为52 (23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为 0 2 故 AD=2，AB=12. 线，两垂线相交于H点，在圆的圆心为H，半径为 1(12-2)=5. 2?x?2cos?（?为参数） ??y?2?2sin?uuuvuuuvOP?2OMM是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2 (Ⅰ)求C2的方程 (Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线??于极点的交点为B，求AB. 解析; （I）设P(x,y),则由条件知M( ?3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异 xy,).由于M点在C1上，所以 22?x??2cos?,???x?4cos???2? 即 ???? y?y?4?4sin????2?2sin?????2?从而C2的参数方程为 ?x?4cos?（?为参数） ??y?4?4sin?（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为??4sin?，曲线C2的极坐标方程为??8sin?。 射线??射线???3与C1的交点A的极径为?1?4sin与C2的交点B的极径为?2?8sin?3， 。 ?3?3所以|AB|?|?2??1|?23. - 22 - 2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷Ⅰ） (24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?x?a?3x,其中a?0。 （Ⅰ）当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集； （Ⅱ）若不等式f(x)?0的解集为?x|x??1? ，求a的值。 解析：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?3x?2可化为|x?1|?2。 由此可得 x?3或x??1。 故不等式f(x)?3x?2的解集为{x|x?3或x??1}。 ( Ⅱ) 由f(x)?0 得 x?a?3x?0 此不等式化为不等式组??x?a?x?a?3x?0 或??x?a?a?x?3x?0 ??x?a?x?a即 ??a???x?4 或??x??a2 因为a?0，所以不等式组的解集为?x|x??a2? 由题设可得?a2= ?1，故a?2 - 23 -