2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷Ⅰ）
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试卷参考答案
一、选择题
（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题
（13）-6 （14）
x2y216?8?1 （15）83 （16）27 三、解答题 （17）解：
（Ⅰ）设数列{a2a32n}的公比为q，由a23?9a26得a3?9a4所以q?19。 由条件可知a>0,故q?13。 由2a3a11?2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?3。 故数列{an}的通项式为an=
13n。 （Ⅱ ）bn?log3a1?log3a2?...?log3an
??(1?2?...?n)??n(n?1)
2故
1b??211n?1)??2(n?n?1) nn(1b?1?...?1??2((1?1)?(12?13)?...?(1n?12nn?1))??n?1 1b2bn2所以数列{12b}的前n项和为?nn?1 n(18)解：
（Ⅰ）因为?DAB?60?,AB?2AD, 由余弦定理得BD?3AD 从而BD2
+AD2
= AB2
，故BD?AD
又PD?底面ABCD，可得BD?PD 所以BD?平面PAD. 故 PA?BD
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（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则
A?1,0,0?,B0，3,0,C?1,3,0,P?0,0,1?。
uuuvuuvuuuvAB?(?1,3,0),PB?(0,3,?1),BC?(?1,0,0)
设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则{uuurn?AB?0,uuurn?PB?0,????
即 ?x?3y?03y?z?0
因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC的法向量为m，则 {uuurm?PB?0,uuurm?BC?0,
可取m=（0，-1，?3） cosm,n??427 ??727故二面角A-PB-C的余弦值为 ?（19）解
27 7（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为率的估计值为0.3。
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为率的估计值为0.42
22?8=0.3，所以用A配方生产的产品的优质品10032?10?0.42，所以用B配方生产的产品的优质品100（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间?90,94?,?94,102?,?102,110?的频率分别为0.04，,054,0.42，因此
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X的分布列为
X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20）解：
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
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所以uuuMAr=（-x,-1-y）, uuuMBr=(0,-3-y), uuABur=(x,-2).
再由题意可知（uuuMAr+uuuMBr）? uuABur=0, 即（-x,-4-2y）? (x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=14x2-2. (Ⅱ)设P(x1'110,y0)为曲线C：y=4x2-2上一点，因为y=2x,所以l的斜率为2x0
因此直线l的方程为y?y120?2x0(x?x0)，即x0x?2y?2y0?x0?0。
则O点到l的距离d|2y2?0?x0|2.又x0?14x20?2，所以 0?4y1d?2x20?4124x2?(x0?4?)?2,
0?42x20?4当x20=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2. （21）解：
?(x?1x?lnx)（Ⅰ）f'(x)?(x?1)2?bx2 ?f(1)?1,
由于直线x?2y?3?0的斜率为?1?2，且过点(1,1)，故???f'(1)??12,即
? ?b?1,?a1
解得a?1，b?1。
??2?b??2,（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?lnxx?1?1x，所以
f(x)?(lnxk1(k?1)(x2?1)x?1?x)?1?x2(2lnx?x)。 考虑函数h(x)?2lnx?(k?1)(x2?1)x(x?0)，则 h'(x)?(k?1)(x2?1)?2xx2。
(i)设k?0，由h'(x)?k(x2?1)?(x?1)2x2知，当x?1时，h'(x)?0。而h(1)?0，故
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1h(x)?0； 21?x1当x?（1，+?）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 21?xlnxklnxk从而当x>0,且x?1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
x?1xx?1x12 '（ii）设0
1?k11h（1）=0，故当x?（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。 21?k1?x当x?(0,1)时，h(x)?0，可得
（iii）设k?1.此时h（x）>0,而h（1）=0，故当x?（1，+?）时，h（x）>0，可得设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-?，0] （22）解：
（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC, 即
'1 h（x）<0,与题21?xADAE.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ?ACAB因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E四点共圆。
（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.
故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=90，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= 故C,B,D,E四点所在圆的半径为52 （23）解：
（I）设P(x,y),则由条件知M(
0
2
1(12-2)=5. 2XY,).由于M点在C1上，所以 22?x??2cos?,???x?4cos???2??? 即 ?? yy?4?4sin?????2?2sin????2?
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