生活的色彩就是学习
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（周期性）
课后集训
基础达标
1.y=cos(-2x)的最小正周期为（ ） A.π B.
?2 C.2π D.?4 解析：T=2?|?|?2?2=π. 答案：A
2.函数y=sin(-
x?2+4)的最小正周期是（ ） A.π B.2π C.4π D.?2 解析：T=
2?|?|?2?|?1=4π. 2|答案：C
3.下列函数中，最小正周期为π的函数是( )
A.y=sin
x2 B.y=cosxx2 C.y=cosx D.y=cos2 解析：A中T=2?1=4π;
2B中T=2?1=4π;
2C中T=2π. 答案：D
4.下列两个函数：①y=|cosx|;②y=sin|x|周期性是（ ） A.只有①是周期函数 B.只有②是周期函数 C.①和②都是周期函数 D.①和②都不是周期函数 解析：由两函数图象可判断. 答案：A 5.函数y=cos(
k4x+?3)(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是（ A.10 B.11 C.12 D.13 解析：∵y=cos(k4x+
?3)(k＞0)的最小正周期为T=2?8?8?k?k，∴k≤2,∴k≥4π, 4∴k的最小值为13.故选D. 答案：D
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6.函数y=2cos(
?-ωx)的最小正周期是4π,则ω=______________. 3解析：T=
2?=4π, |?|11,∴ω=±. 221答案：±
2∴|ω|=
综合运用
7.(2004天津)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π，且当x∈［0,
?5］时，f(x)=sinx,则f(π)的值为（ ）
32A.-
1133 B. C.- D.
2222解析：由题意可得 f(?)=f(π+=f(-
5322?)=f(?) 33???+π)=f(-)=f() 333?3=. 32=sin
答案：D
8.y=sin3x+cos2x的最小正周期为_____________. 解析：∵y1=sin3x的最小正周期为T1=的最小公倍为
2?2??，y2=cos2x的最小正周期为T2=π，而与33336?即2π. 3∴y=sin3x+cos2x的最小正周期为2π. 答案：2π
?3?cosx?9.若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为,且满足f(x)=?2??sinxf(???20?x?x,?x?0,则
15?)=________________. 4153?3?33?2?)=f(-×3+)=f(?)=sin=.
424442解析：∵f(-
答案：
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拓展探究
10.求函数y=|sinx|+|cosx|的周期.
??)|=|cosx|,|cos(x+)|=|sinx|, 22??∴y=|cos(x+)|+|sin(x+)|=|sinx|+|cosx|.
22??∴是函数y=|sinx|+|cosx|的周期.下面是证明是函数y的最小正周期. 22?设存在T(0＜T＜)，使y=|sin(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|对一切实数x都成立.
2?令x=代入上式得
2解：∵|sin(x+
|sinx|+|cosx|=1+0=1,
|sin(x+T)|+|cos(x+T)|=|cosT|+|sinT|=cosT+sinT＞1, 此时|sin(x+T)|+|cosx(x+T)|≠sinT+cosT,矛盾, ∴
?是函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期. 2备选习题
1?x?)|的最小正周期为_____________. 241?2?解析：y=3cos(-x?)的周期T==4π.加绝对值周期减半.
124|?|211.y=|3cos(-答案：2π
12.若函数f(x)=2cos(ωx+__________.
?)的最小正周期为T，且T∈(1,3),则正整数ω的最大值是32?，T∈(1,3), ?2?2?∴1＜＜3,即＜ω＜2π.
?3解析：∵T=
∴ω的最大整数为6. 答案：6
13.求下列各函数的周期： (1)y=cos2x;
1x; 2x?(3)y=2sin(-).
262?解：(1)T==π.
22?(2)T==4π.
12(2)y=sin
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(3)T=
2?=4π. 12214.已知函数f(x)=log1|sinx|.(1)求f(x)定义域与值域；（2）判断f(x)周期性.若是周期函数，求周期.
解：(1)|sinx|＞0?sinx≠0,∴x≠kπ,k∈Z, ∴定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}. ∵0＜|sinx|≤1, ∴log1|sinx|≥0,
2∴函数的值域为{y|y≥0}.
(2)∵|sinx|在定义域｛x|x≠kπ,k∈Z｝内是周期函数，且最小正周期是π, ∴函数y=log1|sinx|是周期函数，且最小正周期是π.
215.设f(x)为定义在（-∞,+∞）上的周期函数，且周期为2，当x∈［2,3］时，f(x)=x.当x∈［0,1］时，求f(x)的解析式.
解：设x∈［0,1］,则x+2∈［2,3］,∴f(x+2)=x+2. ∵f(x)是周期为2的函数, ∴f(x+2)=f(x), ∴f(x)=x+2.
16.已知定义在（-∞,+∞）上的函数f(x)的周期为π，若在［0，π］上f(x)=-sinx,求函数f(x)在区间［-22.8π,-22.4π］上的解析式.
解：设x∈［-22.8π,-22.4π］,则x+23π∈［0.2π,0.6π］. ∵x∈［0,π)时，f(x)=-sinx,
∴f(x+23π)=-sin(x+23π)=-sin(x+π)=sinx. ∵f(x)是周期为π的函数， ∴f(x+23π)=f(x),
∴f(x)=sinx,即当x∈［-22.8π,-22.4π］时，f(x)的解析式为f(x)=sinx.
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