(P→Q) →(P→(P∧Q)) ?┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q)) ?┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q)) ?T

所以(P→Q)?P→(P∧Q) b)(P→Q)→Q?P∨Q

设P∨Q为F，则P为F，且Q为F， 故P→Q为T，(P→Q)→Q为F， 所以(P→Q)→Q?P∨Q。

c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))?R→Q 设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F 所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F

所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F 即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))?R→Q成立。

3） 解：

a) P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。

b) a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。 c) a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。 d) a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。 4） 解：

a) 如果天下雨，我不去。 设P：天下雨。Q：我不去。P→Q

逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。 逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨 b) 仅当你走我将留下。

设S：你走了。R：我将留下。R→S

逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。 逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。 c) 如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。 设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H

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（（页眉 逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。 逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助 （5） 试证明P?Q，Q逻辑蕴含P。 证明：解法1：

本题要求证明(P?Q) ∧Q?P,

设(P?Q) ∧Q为T，则(P?Q)为T，Q为T，故由?的定义，必有P为T。 所以(P?Q) ∧Q?P 解法2：

由体题可知，即证((P?Q)∧Q)→P是永真式。

((P?Q)∧Q)→P

? (((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P ? (┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P ? (((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P ? ((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P ? ((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P ?┐Q∨┐P∨P ?┐Q∨T ?T （6） 解：

P：我学习 Q：我数学不及格 如果我学习，那么我数学不会不及格： P→┐Q如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习: ┐R→P 但我数学不及格: 因此我热衷于玩扑克。 即本题符号化为：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q?R 证：

证法1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R ? ┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q) ∨R ? (P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R

? ((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))

：我热衷于玩扑克。 Q 10 / 28

R

R ? ┐Q∨P∨R∨┐P ? T

所以，论证有效。

证法2：设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q为T， 则因Q为T，(P→┐Q) 为T，可得P为F， 由(┐R→P)为T，得到R为T。 故本题论证有效。 7） 解：

P：6是偶数 Q：7被2除尽 R：5是素数 如果6是偶数，则7被2除不尽 P→┐Q 或5不是素数，或7被2除尽 ┐R∨Q 5是素数 R 所以6是奇数 ┐P 即本题符号化为：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R ?┐P 证：

证法1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P ? ┐((┐P∨┐Q) ∧(┐R∨Q) ∧R) ∨┐P ? ((P∧Q) ∨(R∧┐Q) ∨┐R) ∨┐P

? ((┐P∨P) ∧(┐P∨Q)) ∨((┐R∨R) ∧(┐R∨┐Q)) ? (┐P∨Q) ∨(┐R∨┐Q) ?T

所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。 证法2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R为T， 则有R为T，且┐R∨Q 为T，故Q为T， 再由P→┐Q为T，得到┐P为T。 8） 证明：

a) P?(┐P→Q)

设P为T，则┐P为F，故┐P→Q为T b) ┐A∧B∧C?C

假定┐A∧B∧C为T，则C为T。

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（（11 页眉 c) C?A∨B∨┐B

因为A∨B∨┐B为永真，所以C?A∨B∨┐B成立。 d) ┐(A∧B) ?┐A∨┐B 设┐(A∧B)为T，则A∧B为F。

若A为T，B为F，则┐A为F，┐B为T，故┐A∨┐B为T。 若A为F，B为T，则┐A为T，┐B为F，故┐A∨┐B为T。 若A为F，B为F，则┐A为T，┐B为T，故┐A∨┐B为T。 命题得证。

e) ┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A?B∨C 设┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A为T， 则D∨E为T，(D∨E)→┐A为T，所以┐A为T 又┐A→(B∨C)为T，所以B∨C为T。命题得证。 f) (A∧B)→C，┐D，┐C∨D?┐A∨┐B

设(A∧B)→C，┐D，┐C∨D为T，则┐D为T，┐C∨D为T，所以C为F 又(A∧B)→C为T，所以A∧B为F，所以┐A∨┐B为T。命题得证。 （9）解：

a) 如果他有勇气，他将得胜。

P：他有勇气 Q：他将得胜

原命题：P→Q 逆反式：┐Q→┐P 表示：如果他失败了，说明他没勇气。 b) 仅当他不累他将得胜。

P：他不累 Q：他得胜

原命题：Q→P 逆反式：┐P→┐Q 表示：如果他累，他将失败。 习题 1-6 (1)解：

a) b)

(P∧Q)∧┐P?(P∧┐P)∧Q?┐(T∨Q) (P→(Q∨┐R)) ∧┐P∧Q ? (┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q

?(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q) ?(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q)

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