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∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA。
AC225CEAC?又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE?。 ?CB6ACCB2511∴BE= BC﹣EC =6﹣=。
6611综上所述，当BE=1或时，重叠部分能构成等腰三角形。
6（3）解：设BE=x，则CE=6－x
CMCECM6?x16，即：，∴CM??x2+x。 ??BEABx555161216∴AM?5?CM?x2?x+5=?x?3?+。
555516∴当x=3时，AM最短为。
51又∵当BE=x=3=BC时，点E为BC的中点，∴AE⊥BC。
2∵△ABE∽△ECM，∴
∴AE=AB2?BE2?52?32?4。
?16?12此时，EF⊥AC，∴EM=AE2?AM2?42????。
5?5?21161296。 ???2552596∴当线段AM最短时，重叠部分的面积为。
25∴S?AEM=?AM?EM?12. （2012四川绵阳14分）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax+
2
121x +c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），6M（0，-1）。已知AM=BC。 （1）求二次函数的解析式；
（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。
①若直线l⊥BD，如图1所示，试求
11?的值； BPBQ②若l为满足条件的任意直线。如图2所示，①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。
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【答案】解：（1）∵二次函数y=ax+
2
1x +c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1）， 611???9a????3??c?0 ?a?∴ ? ，解得?66。
???c??1?c??1121x?x?1。 661111（2）证明：在y?x2?x?1中，令y=0，得x2?x?1?0，解得x1=－
6666∴二次函数的解析式为：y?3，x2=2。
∴C（2，0），∴BC=5。
令x=0，得y=-1，∴M（0，－1），OM=1。 又AM=BC，∴OA=AM－OM=4。∴A（0，4）。 设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，
则yD?x2?x?1=OA=4，解得x1=5，x2=－6（位于第二象限，
舍去）。
∴D点坐标为（5，4）。∴AD=BC=5。
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，即在抛物线F上存在
点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。
设直线BD解析式为：y=kx+b，∵B（－3，0），D（5，4），
16161?k????3k?b?0 ?2。
∴ ?，解得：??5k?b?4?b?3?2?学大教育济南分公司质控
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∴直线BD解析式为：y?13 x?。 22（3）在Rt△AOB中，AB?OA2?OB2?5，
又AD=BC=5，∴?ABCD是菱形。 ①若直线l⊥BD，如图1所示，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD。∴AC∥直线l。
∴
BABCBN1???。 BPBQBD2∵BA=BC=5，∴BP=BQ=10。 ∴
11111????。 BPBQ10105②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依
然成立，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB，∴△PAD∽△DCQ。∴∴AP?CQ=AD?CD=5×5=25。 ∴
APAD?。 CDCQ1111115?CQ?5?AP?????? BPBQ AB?APBC?CQ ?5AP?5CQ?5?CQ??5??AP?10?AP?CQ10?AP?CQ10?AP?CQ1???25+5?AP?CQ?+AP?CQ25+5?AP?CQ?+2550+5?AP?CQ?513. （2012四川凉山12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x＋bx＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？
（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2
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【答案】解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（－4，0），B（0，4）。
∵抛物线y=－x＋bx＋c经过A、B两点，
2
?16?4b?c?0 b??3 ? ? ∴?，解得 ?。
c?4c?4??∴抛物线解析式为y=－x－3x＋4。
令y=0，得－x－3x＋4=0，解得x1=－4，x2=1， ∴C（1，0）。 （2）如图1，设D（t，0）。
∵OA=OB，∴∠BAO=45°。
∴E（t，t＋4），P（t，－t－3t＋4）。
PE=yP－yE=－t－3t＋4－t－4=－t－4t=－（t+2）+4。 ∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（－2，6）。 （3）存在。如图2，过N点作NH⊥x轴于点H。
设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°。 ∴NH=AH=4－m，∴yQ=4－m。 又M为OA中点，∴MH=2－m。 当△MON为等腰三角形时：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点， ∴m=1，∴yQ=4－m=3。 由－xQ－3xQ＋4=3，解得xQ?2
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