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9?x=?y?3x?3???35。 448，解得??y=x+132??y=?1313??35∴M点的坐标为（
9132）。 ， 35353. （2012陕西省10分）如果一条抛物线y=ax2+bx+c?a?0?与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；
（2）若抛物线y=?x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y=?x2+b'x(b'>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）等腰。
（2）∵抛物线y=?x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
?bb2?bb2 ∴该抛物线的顶点?，?满足=（b＞0）。
24?24? ∴b=2。 （3）存在。
如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称， 则四边形ABCD为平行四边形。 当OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形。 又∵AO=AB， ∴△OAB为等边三角形。 作AE⊥OB，垂足为E，
b'2b'=3??b'>0?，∴b'=23． ∴AE?3OE，即42学大教育济南分公司质控
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∴A?3， 3，B23， 0，C?3， -3，D?23， 0。
??????? 设过点O、C、D三点的抛物线y=mx2+nx，则
???12m?23n=0?m=1 ?，解得，?。
???n=23?3m?3n=?3 ∴所求抛物线的表达式为y=x2+23x。
4. （2012重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
【答案】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x。
∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x。 ∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC。 ∴
AGGF3?xx，即==。
ABBC36解得：x=2，即BE=2。 （2）存在满足条件的t，理由如下：
如图②，过点D作DH⊥BC于H，
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则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t， ∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC。
MEECME4?t1，即。∴ME=2﹣t。 ==2ABBC3612222212
在Rt△B′ME中，B′M=ME+B′E=2+（2﹣t）=t﹣2t+8。
24∴
在Rt△DHB′中，B′D=DH+B′H=3+（t﹣2）=t﹣4t+13。 过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣
2
2
2
2
2
2
1t， 211t）=t+1。 2212222 252
在Rt△DMN中，DM=DN+MN=（t+1）+ t=t+t+1。
24（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM=B′M+B′D， 即
2
2
2
5212202
t+t+1=（t﹣2t+8）+（t﹣4t+13），解得：t=。 4472
2
2
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D=B′M+DM， 即t﹣4t+13=（
﹣17（舍去）。
∴t=﹣3+17。
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M=B′D+DM，
2
2
2
2
1252
t﹣2t+8）+（t+t+1），解得：t1=﹣3+17，t2=﹣34412522
t﹣2t+8=（t﹣4t+13）+（t+t+1），此方程无解。 4420综上所述，当t=或﹣3+17时，△B′DM是直角三角形；
7即
?12?4?t0?t???4?3????122?4??t?t???＜t?2?3?3?8?（3）S??。
??3t2?2t?5?2＜t?10????83?3????1t?5?10＜t?4????2?3??2。
5. （2012甘肃白银12分）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以
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O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处． （1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y?ax2?bx(a?0)经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）过C作CH⊥OA于H，
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=23。
∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处， ∴OC=OA=23，∠AOC=60°。 ∴OH=3，CH=3 。
∴C的坐标是（3，3）。
2（2）∵抛物线y?ax?bx(a?0)经过C（3，3）、A（23，0）两点，
???3=3a+3b?a=?1 ∴?，解得?。∴此抛物线的解析式为y=?x2+23x
???b=23?0=12a+23b（3）存在。
∵y=?x2+23x的顶点坐标为（3，3），即为点C。
MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，
∵∠BOA＝30，所以ON＝3t
∴P（3t, t）
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