????0ln(x?a?l)B??2?2?(x?a?l)0a?0?dla?l?0?0Ialn(1?)． 2?ax[讨论]当a趋于零时，薄板就变成直线，因此

B??0Iln(1?a/x)?I?0，这就是直线电流产生的磁场强度的公式．

2?xa/x2?xI R O 14.11 在半径为R的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为相互平行，盖住半个球面，如图所示．设导线中电流为I，总匝数为N，求球心O处的磁感应强度B = ？

解：四分之一圆的弧长为C = πR/2，单位弧长上线圈匝数为n = N/C = 2N/πR． 图14.11 在四分之一圆上取一弧元dl = Rdθ，线圈匝数为dN = ndl = nRdθ，环电流大小为 dI = IdN = nIRdθ．环电流的半径为 y = Rsinθ，离O点的距离为 x y = Rcosθ，

在O点产生的磁感应强度为 R ?2R3方向沿着x的反方向，积分得O点的磁感应强度为

dB??0y2dI?0nI?NIsin?d??0sin2?d?， 2?R2dB oθ x ?0NI?/22?0NI?/2?0NI． B?sin?d??(1?cos2?)d?????R02?R04R14.12 两个共面的平面带电圆环，其内外半径分别为R1、R2和R3、R4(R1

< R2 < R3 < R4)，外面圆环以每秒钟n2转的转速顺时针转动，里面圆环以每称n1转逆时针转动，若两圆环电荷面密度均为σ，求n1和n2的比值多大时，圆心处的磁感应强度为零．

R3 R1 R4 R2 解：半径为r的圆电流在圆心处产生的磁感应强度为B = μ0I/2r．

在半径为R1和R2的环上取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面

图14.12 积为dS = 2πrdr，所带的电量为dq = σdS = 2πσrdr，圆环转动的周期为T1 = 1/n1，形成的电流元为dI = dq/T1 = 2πn1σrdr．

薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为dB1 = μ0dI/2r = πμ0n1σdr， 圆环在圆心产生磁感应强度为B1 = πμ0n1σ(R2-R1)．

同理，半径为R3和R4的圆环在圆心处产生的磁感应强度为B2 = πμ0n2σ(R4-R3)．

由于两环的转动方向相反，在圆心产生的磁感应强度也相反，当它们大小相同时，圆心处的磁感应强度为零，即：πμ0n1σ(R2-R1) = πμ0n2σ(R4-R3)， 解得比值为

R?R3n1． = 4n2R2?R1R I 14.13 半径为R的无限长直圆柱导体，通以电流I，电流在截面上分布不

均匀，电流密度δ = kr，求：导体内磁感应强度？

解：在圆柱体内取一半径为r、宽度为dr的薄圆环，其面积为dS = 2πrdr， 电流元为dI = δdS = 2πkr2dr，

从0到r积分得薄环包围的电流强度为Ir = 2πkr3/3；

从0到R积分得全部电流强度I = 2πkR3/3，因此Ir/I = r3/R3． 根据安培环路定理可得导体内的磁感应强度：

图14.13

B??0Ir?I?03r2． 2?r2?R14.14 有一电介质圆盘，其表面均匀带有电量Q，半径为a，可绕盘

ω 心且与盘面垂直的轴转动，设角速度为ω．求圆盘中心o的磁感应强度B

o a = ？解：圆盘面积为S = πa2，面电荷密度为σ = Q/S = Q/πa2．在圆盘上

取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为dS = 2πrdr，所带的电量为dq = σdS = 2πσrdr．薄圆环转动的周期为 T = 2π/ω， 图14.14 形成的电流元为dI = dq/T = ωσrdr．薄环电流可以当作圆电流，在圆

心产生的磁感应强度为dB = μ0dI/2r = μ0ωσdr/2，从o到a积分得圆盘在圆心产生磁感应强度为B = μ0ωσa/2 = μ0ωQ/2πa．如果圆盘带正电，则磁场方向向上．

dx I2 14.15 二条长直载流导线与一长方形线圈共面，如图所示．已知a = b = I1 c = 10cm，l = 10m，I1 = I2 = 100A，求通过线圈的磁通量．

解：电流I1和I2在线圈中产生的磁场方向都是垂直纸面向里的，在坐标系中的x点，它们共同产生的磁感应强度大小为

l x oa c B??0I12?(a?b/2?x)??0I22?(c?b/2?x)．

b 图14.15 在矩形中取一面积元dS = ldx，通过面积元的磁通量为dΦ = BdS = Bldx，

通过线圈的磁通量为

?0lb/2I1I2??(?)dx ?2??b/2a?b/2?xc?b/2?x?la?bc-7-4?0(I1ln?I1ln)=2×10×10×100×2ln2=2.77×10(Wb)． 2?ac?b14.16 一电子在垂直于均匀磁场的方向做半径为R = 1.2cm的圆周运动，电子速度v = 104m·s-1．求圆轨道内所包围的磁通量是多少？

B R 解：电子所带的电量为e = 1.6×10-19库仑，质量为m = 9.1×10-31千克． o 电子在磁场所受的洛伦兹力成为电子做圆周运动的向心力，

v 2

即：f = evB = mv/R，所以 B = mv/eR．

图14.16 电子轨道所包围的面积为 S = πR2，

磁通量为 Φ = BS = πmvR/e =2.14×10-9(Wb)．

14.17 同轴电缆由导体圆柱和一同轴导体薄圆筒构成，电流I从一导体流R1 dr R2 入，从另一导体流出，且导体上电流均匀分布在其横截面积上，设圆柱半径为R1，圆筒半径为R2，如图所示．求：

I l I （1）磁感应强度B的分布；

（2）在圆柱和圆筒之间单位长度截面的磁通量为多少？

解：（1）导体圆柱的面积为 S = πR12，面电流密度为δ = I/S = I/πR12．在圆柱以半径r作一圆形环路，其面积为Sr = πr2，包围的电流是Ir = δSr = Ir2/R12．根据安培环路定理B?dl?L图14.17 ??0?I??0Ir,

由于B与环路方向相同，积分得2πrB = μ0Ir，所以磁感应强度为B = μ0Ir/2πR12，(0 < r < R1)． 在两导体之间作一半径为r的圆形环中，根据安培环中定理可得B = μ0I/2πr，(R1 < r < R2)．

在圆筒之外作一半径为r的圆形环中，由于圆柱和圆筒通过的电流相反，所包围的电流为零，根据安培环中定理可得B = 0，(r > R2)． （2）在圆柱和圆筒之间离轴线r处作一径向的长为l = 1、宽为dr的矩形，其面积为dS = ldr = dr，方向与磁力线的方向一致，通过矩形的磁通量为dΦ = BdS = Bdr，

?I总磁通量为??02?R2?0IR21dr?ln． ?r2?R1R114.19 在XOY平面内有一载流线圈abcda，通有电流I = 20A，bc半径R = 20cm，电流方向如图所示．线圈处于磁感应强度B = 8.0×10-2T的均强磁场中，B沿着X轴正方向．求：直线段ab和cd以及圆弧段bc和da在外磁场中所受安培力的大小和方向．

解：根据右手螺旋法则，bc弧和cd边受力方向垂直纸面向外，da弧和ab边受力方向垂直纸面向里．由于对称的关系，ab边和cd边所受安培力的大小是相同的，bc弧和da弧所受安培力的大小也是相同的．

ab边与磁场方向的夹角是α = 45°，长度为l = R/sinα，所受安培力为 Fab = |Il×B| = IlBsinα= IRB = 0.32(N) = Fcd．

在圆弧上取一电流元Idl，其矢径R与X轴方向的夹角为θ，所受力的大小为 dFbc = |Idl×B| = IdlBsinθ，

由于线元为dl = Rdθ，所以 dFbc = IRBsinθdθ，因此安培力为

Fbc?IRB??/20sin?d??IRB(?cos?)?/20= IRB = 0.32(N) = Fda．

14.20 载有电流I1的无限长直导线旁有一正三角形线圈，边长为a，载y I1 有电流I2，一边与直导线平等且与直导线相距为b，直导线与线圈共面，如图所示，求I1作用在这三角形线圈上的力．

ob A I2 α C x 解：电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，在AB边处产生的磁感a B 应强度大小为B = μ0I1/2πb，作用力大小为FAB = I2aB = μ0I1I2a/2πb，方图14.20 向向左．

三角形的三个内角α = 60°，在AC边上的电流元I2dl所受磁场力为 dF = I2dlB， 两个分量分别为 dFx = dFcosα，dFy = dFsinα，

与BC边相比，两个x分量大小相等，方向相同；两个y分量大小相等，方向相反．

由于 dl = dr/sinα，所以 dFx = I2drBcotα，积分得

?0I1I2cot?b?asin??0I1I23b?a3/2?0I1I2cot?b?asin?1． ?ln?lnFx?dr?6?b2?b2?rb作用在三角形线圈上的力的大小为

F = FAB – 2Fx??0I1I2a23b?a3/2(?ln)，方向向左． 2?b3bI1 I2 r R θ14.21 载有电流I1的无限长直导线，在它上面放置一个半径为R电流为I2的圆形电流线圈，长直导线沿其直径方向，且相互绝缘，如图所示．求I2在电流I1的磁场中所受到的力．

o 解：电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，右上1/4弧受力向右上

方，右下1/4弧受力向右下方；电流I1在左边产生磁场方向垂直纸面向外，左上1/4弧受力向右下方，左下1/4弧受力向右上方．因此，合力

图14.21 方向向右，大小是右上1/4弧所受的向右的力的四倍．

电流元所受的力的大小为dF = I2dlB，其中dl = Rdθ，B = μ0I1/2πr，而r = Rcosθ， 所以向右的分别为dFx = dFcosθ = μ0I1I2dθ/2π，积分得

?0I1I2?/2?IIFx?d?d??012，

2?40电流I2所受的合力大小为F = 4Fx = μ0I1I2，方向向右．

14.22 如图所示，斜面上放有一木制圆柱，质量m = 0.5kg，半径为R，长为 l = 0.10m，圆柱上绕有10匝导线，圆柱体的轴线位导线回路平面内．斜面倾角为θ，处于均匀磁场B = 0.5T中，B的方向竖直向上．如果线圈平面与斜面平行，求通过回路的电流I至少要多大时，圆柱才不致沿斜面向下滚动？

B θ o 解：线圈面积为 S = 2Rl，磁矩大小为pm = NIS，方向与B成θ角，所以磁力θ 矩大小为Mm = |pm×B| = pmBsinθ = NI2RlBsinθ，方向垂直纸面向外．重力大小G 图14.22

为 G = mg，

力臂为L = Rsinθ，重力矩为 Mg = GL = mgRsinθ，方向垂直纸面向里．圆柱不滚动时，两力矩平衡，即NI2RlBsinθ = mgRsinθ，解得电流强度为I = mg/2NlB = 5(A)．

14.23 均匀带电细直线AB，电荷线密度为λ，可绕垂直于直线的轴O以ω角速度均速转动，设直线长为b，其A端距转轴O距离为a，求： ω B （1）O点的磁感应强度B；

b （2）磁矩pm；

（3）若a>>b，求B0与pm．

解：（1）直线转动的周期为T = 2π/ω，在直线上距O为r处取一径向线元o dr，所带的电量为dq = λdr，形成的圆电流元为dI = dq/T = ωλdr/2π， 在圆心O点产生的磁感应强度为dB = μ0dI/2r = μ0ωλdr/4πr， 整个直线在O点产生磁感应强度为

a A 图15.23 ?0??a?b1?0??a?b，如果λ > 0，B的方向垂直纸面向外． B?dr?ln?4?ar4?a（2）圆电流元包含的面积为S = πr2，形成的磁矩为 dpm = SdI = ωλr2dr/2，积分得

pm???a?b2?ar2dr???6[(a?b)3?a3]．

如果λ > 0，pm的方向垂直纸面向外．

（3）当a>>b时，因为

B?pm??0?????b???bb． ln(1?)?0(?...)， 所以B?04?a4?a4?a??a3b3??a3bb2b3??a2b6[(1?)?1]?a6[3?3()?()]?aaa2．

14.24 一圆线圈直径为8cm，共12匝，通有电流5A，将此线圈置于磁感应强度为0.6T的

均强磁场中，求：

（1）作用在线圈上的电大磁力矩为多少？

（2）线圈平面在什么位置时磁力矩为最大磁力矩的一半．

解：（1）线圈半径为R = 0.04m，面积为S = πR2，磁矩为pm = NIS = πR2NI，磁力矩为M = pmBsinθ．

当θ = π/2时，磁力矩最大

Mm = pmB = πR2NIB = 0.18(N·m)．

（2）由于M = Mmsinθ，当M = Mm/2时，可得sinθ = 0.5，θ = 30°或150°．

R 14.26 一个电子在B = 20×10-4T的磁场中，沿半径R = 2cm的螺旋线运动，螺

h 图15.26