c3

所以椭圆的离心率e＝＝．

a2

x22

（2）方法一：由a＝2得b＝1，故椭圆方程为＋y＝1．

4

1

从而A(2，0)，B(0，1)，直线AB的斜率为－．

2

1

因为AB∥DC，故可设DC的方程为y＝－x＋m．设D(x1，y1)，C(x2，y2)．

21

y＝－x＋m，

2

联立2消去y，得x2－2mx＋2m2－2＝0，

x

＋y2＝1，4

???所以x1＋x2＝2m，从而x1＝2m－x2．

11－x1＋m－x2＋m－122y2－1y1直线AD的斜率k1＝＝，直线BC的斜率k2＝＝，

x2x2x1－2x1－211

－x1＋m－x2＋m－122

所以k1·k2＝· x2x1－2

111

x1x2－(m－1)x1－mx2＋m(m－1)422＝ (x1－2)x2111

x1x2－m(x1＋x2)＋x1＋m(m－1)422＝ x1x2－2x2111

x1x2－m·2m＋(2m－x2)＋m(m－1)422＝

x1x2－2x211x1x2－x2421＝＝， x1x2－2x24

1

即k1·k2为定值． ………………………16分

4x22

方法二：由a＝2得b＝1，故椭圆方程为＋y＝1．

4

1

从而A(2，0)，B(0，1)，直线AB的斜率为－． …………………… 7分

2x02

设C(x0，y0)，则＋y02＝1．

4

1

因为AB∥CD，故CD的方程为y＝－(x－x0)＋y0．

2

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1

y＝－(x－x0)＋y0，

2

联立x2消去y，得x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0，

＋y2＝1，4

???

解得x＝x0（舍去）或x＝2y0． 1

所以点D的坐标为(2y0，x0)．

2

1x20y0－111

所以k1·k2＝·＝，即k1·k2为定值．

x0442y0－2

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