2019江苏高考压轴题(中篇)专题01.04 解析几何中的定值问题 - 图文 下载本文

综上所述,存在点E(?3,0),使得

四、巩固训练 1、【解】:

11为定值 ?EA2EB2

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c211

2222

2.【解】:(1)因为e=a=2,所以c=2a,即a-b=2a2,所以a2=2b2.…… 2分 x2y2

故椭圆方程为2+2=1.

2bb

由题意,不妨设点A在第一象限,点B在第三象限. 1 y=x,

2233

由解得A(b,b). 22

xy33 2+2=1,2bb

???

41

又AB=25,所以OA=5,即b2+b2=5,解得b2=3.

33故a=6,b=3. ……………… 5分

x2y2

(2)方法一:由(1)知,椭圆E的方程为 +=1,从而A(2,1),B(-2,-1).

63①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2,C(x0,y0), 显然k1≠k2.

x02x02

3(1-)-12-

162y0-1y0+1y02-1

从而k1 ·kCB=·=2==2=-. 22x0-2x0+2x0-4x0-4x0-4

1

所以kCB=-. …………………… 8分

2k11

同理kDB=-.

2k2

1

于是直线AD的方程为y-1=k2(x-2),直线BC的方程为y+1=-(x+2).

2k1

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4k1k2-4k1-2x=,1??y+1=-(x+2),2k1k2+1

2k1由?解得

-2kk-4k+1122??y-1=k2(x-2),y=.2k1k2+1

???

4kk-4k1-2-2k1k2-4k2+1

从而点N的坐标为(12,).

2k1k2+12k1k2+1

4kk-4k2-2-2k1k2-4k1+1

用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(12,).

2k1k2+12k1k2+1………… 11分

-2k1k2-4k2+1-2k1k2-4k1+1

-2k1k2+12k1k2+14(k-k)

所以kMN= =12=-1.

4k1k2-4k1-24k1k2-4k2-24(k2-k1)

-2k1k2+12k1k2+1即直线MN的斜率为定值-1. ……… 14分 ②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时, 根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在, 故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,-1). 1

仍然设DA的斜率为k2,由①知kDB=-.

2k2

21

此时CA:x=2,DB:y+1=-(x+2),它们交点M(2,-1-).

k22k22

BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它们交点N(2-,-1),

k2从而kMN=-1也成立.

由①②可知,直线MN的斜率为定值-1.

x2y2

方法二:由(1)知,椭圆E的方程为 +=1,从而A(2,1),B(-2,-1).

63①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2. 显然k1≠k2.

直线AC的方程y-1=k1(x-2),即y=k1x+(1-2k1).

k1x+(1-2k1),??y=22

由?xy得(1+2k12)x2+4k1(1-2k1)x+2(4k12-4k1-2)=0. ?6+3=1?

2(4k12-4k1-2)4k12-4k1-2设点C的坐标为(x1,y1),则2·x1=,从而x1=.

1+2k122k12+14k12-4k1-2-2k12-4k1+1

所以C(,).

2k12+12k12+1又B(-2,-1),

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-2k12-4k1+1

+1

2k12+11

所以kBC==-. 22k14k1-4k1-2

+222k1+1所以直线BC的方程为y+1=-

1

(x+2). 2k1

又直线AD的方程为y-1=k2(x-2).

4k1k2-4k1-2x=,1??y+1=-(x+2),2k1k2+1

2k1由?解得

-2kk-4k+1122?y-1=k2(x-2),?y=.2k1k2+1

???

4kk-4k1-2-2k1k2-4k2+1

从而点N的坐标为(12,).

2k1k2+12k1k2+1

4kk-4k2-2-2k1k2-4k1+1

用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(12,).

2k1k2+12k1k2+1-2k1k2-4k2+1-2k1k2-4k1+1

-2k1k2+12k1k2+14(k-k)

所以kMN= =12=-1.

4k1k2-4k1-24k1k2-4k2-24(k2-k1)

-2k1k2+12k1k2+1即直线MN的斜率为定值-1.

②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时, 根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在, 故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,-1). 1

仍然设DA的斜率为k2,则由①知kDB=-.

2k2

21

此时CA:x=2,DB:y+1=-(x+2),它们交点M(2,-1-).

k22k22

BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它们交点N(2-,-1),

k2从而kMN=-1也成立.

由①②可知,直线MN的斜率为定值-1.

ab

3、【解】:(1)A(a,0),B(0,b),由M为线段AB的中点得M(,).

22

→ab→所以OM=(,),AB=(-a,b).

22

32aba2b23→→因为OM·AB=-b,所以(,)·(-a,b)=-+=-b2,

222222整理得a2=4b2,即a=2b. 因为a2=b2+c2,所以3a2=4c2,即3a=2c.

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