综上所述，存在点E(?3,0)，使得
四、巩固训练 1、【解】：
11为定值 ?EA2EB2
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c211
2222
2．【解】：（1）因为e＝a＝2，所以c＝2a，即a－b＝2a2，所以a2＝2b2．…… 2分 x2y2
故椭圆方程为2＋2＝1．
2bb
由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限． 1 y＝x，
2233
由解得A(b，b)． 22
xy33 2＋2＝1，2bb
???
41
又AB＝25，所以OA＝5，即b2＋b2＝5，解得b2＝3．
33故a＝6，b＝3． ……………… 5分
x2y2
（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为 ＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．
63①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)， 显然k1≠k2．
x02x02
3(1－)－12－
162y0－1y0＋1y02－1
从而k1 ·kCB＝·＝2＝＝2＝－． 22x0－2x0＋2x0－4x0－4x0－4
1
所以kCB＝－． …………………… 8分
2k11
同理kDB＝－．
2k2
1
于是直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)，直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．
2k1
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4k1k2－4k1－2x＝，1??y＋1＝－(x＋2)，2k1k2＋1
2k1由?解得
－2kk－4k＋1122??y－1＝k2(x－2)，y＝．2k1k2＋1
???
4kk－4k1－2－2k1k2－4k2＋1
从而点N的坐标为(12，)．
2k1k2＋12k1k2＋1
4kk－4k2－2－2k1k2－4k1＋1
用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(12，)．
2k1k2＋12k1k2＋1………… 11分
－2k1k2－4k2＋1－2k1k2－4k1＋1
－2k1k2＋12k1k2＋14(k－k)
所以kMN＝ ＝12＝－1．
4k1k2－4k1－24k1k2－4k2－24(k2－k1)
－2k1k2＋12k1k2＋1即直线MN的斜率为定值－1． ……… 14分 ②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时， 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在， 故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)． 1
仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB＝－．
2k2
21
此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．
k22k22
BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，
k2从而kMN＝－1也成立．
由①②可知，直线MN的斜率为定值－1．
x2y2
方法二：由（1）知，椭圆E的方程为 ＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．
63①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2． 显然k1≠k2．
直线AC的方程y－1＝k1(x－2)，即y＝k1x＋(1－2k1)．
k1x＋(1－2k1)，??y＝22
由?xy得(1＋2k12)x2＋4k1(1－2k1)x＋2(4k12－4k1－2)＝0． ?6＋3＝1?
2(4k12－4k1－2)4k12－4k1－2设点C的坐标为(x1，y1)，则2·x1＝，从而x1＝．
1＋2k122k12＋14k12－4k1－2－2k12－4k1＋1
所以C(，)．
2k12＋12k12＋1又B(－2，－1)，
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－2k12－4k1＋1
＋1
2k12＋11
所以kBC＝＝－． 22k14k1－4k1－2
＋222k1＋1所以直线BC的方程为y＋1＝－
1
(x＋2)． 2k1
又直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)．
4k1k2－4k1－2x＝，1??y＋1＝－(x＋2)，2k1k2＋1
2k1由?解得
－2kk－4k＋1122?y－1＝k2(x－2)，?y＝．2k1k2＋1
???
4kk－4k1－2－2k1k2－4k2＋1
从而点N的坐标为(12，)．
2k1k2＋12k1k2＋1
4kk－4k2－2－2k1k2－4k1＋1
用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(12，)．
2k1k2＋12k1k2＋1－2k1k2－4k2＋1－2k1k2－4k1＋1
－2k1k2＋12k1k2＋14(k－k)
所以kMN＝ ＝12＝－1．
4k1k2－4k1－24k1k2－4k2－24(k2－k1)
－2k1k2＋12k1k2＋1即直线MN的斜率为定值－1．
②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时， 根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在， 故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)． 1
仍然设DA的斜率为k2，则由①知kDB＝－．
2k2
21
此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．
k22k22
BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，
k2从而kMN＝－1也成立．
由①②可知，直线MN的斜率为定值－1．
ab
3、【解】：（1）A(a，0)，B(0，b)，由M为线段AB的中点得M(，)．
22
→ab→所以OM＝(，)，AB＝(－a，b)．
22
32aba2b23→→因为OM·AB＝－b，所以(，)·(－a，b)＝－＋＝－b2，
222222整理得a2＝4b2，即a＝2b． 因为a2＝b2＋c2，所以3a2＝4c2，即3a＝2c．
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