2019江苏高考压轴题(中篇)专题01.04 解析几何中的定值问题 - 图文 下载本文

二、释疑拓展

c331

1.【解】(1)离心率e==,所以c=a,b=a2-c2=a,

a22222xy

所以椭圆C的方程为2+2=1.

4bb83169

因为椭圆C经过点P(,),所以2+=1,

5525b25b2x22

所以b=1,所以椭圆C的方程为+y=1.

4

2

2()2

22524

(2)解法一 设N(n,0),当l斜率不存在时,A(,y),B(,-y),则y2=1-=,

55425244→→224

则NA?NB=(-n)2-y2=(-n)2-=n2-n-,

555525→→当l经过左?右顶点时,NA?NB=(-2-n)(2-n)=n2-4. 44

令n2-n-=n2-4,得n=4.

55

→→2

下面证明当N为(4,0)时,对斜率为k的直线l:y=k(x-),恒有NA?NB=12.

5设A(x1,y1),B(x2,y2),

x22

+y=1,41616由消去y,得(4k2+1)x2-k2x+k2-4=0,

2525y=k(x-),5

???

162162

kk-4525

所以x1+x2=2,x1x2=2,

4k+14k+1→→所以NA?NB=(x1-4)(x2-4)+y1y2 22

=(x1-4)(x2-4)+k2(x1-)(x2-) 55

24

=(k2+1)x1x2-(4+k2)(x1+x2)+16+k2

525162162

k-4k2522542

=(k+1)2-(4+k)2+16+k2

54k+1254k+1161624

(k2+1)(k2-4)-k2(4+k2)+k2(4k2+1)

255525

=+16

4k2+1

-16k2-4=+16=12.

4k2+1

→→所以在x轴上存在定点N(4,0),使得NA?NB为定值.

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2

解法二 设N(n,0),当直线l斜率存在时,设l:y=k(x-),

5设A(x1,y1),B(x2,y2),

x22

+y=1,416216222由消去y,得(4k+1)x-kx+k-4=0, 2525y=k(x-),

5

???

162162

kk-4525

所以x1+x2=2,x1x2=2,

4k+14k+1

→→22

所以NA?NB=(x1-n)(x2-n)+y1y2=(x1-n)(x2-n)+k2(x1-)(x2-)

5524

=(k2+1)x1x2-(n+k2)(x1+x2)+n2+k2

525162162

k-4k2522542

=(k+1)2-(n+k)2+n2+k2

54k+1254k+1161624

(k2+1)(k2-4)-k2(n+k2)+k2(4k2+1)

255525

=+n2 24k+11616

(-n-)k2-4

55=+n2. 24k+1

16161616(-n-)k2-4(-n-)k2-4

5555→→若NA?NB为常数,则为常数,设=λ,λ为常数,

4k2+14k2+11616

则(-n-)k2-4=4λk2+λ对任意的实数k恒成立,

55??-16n-16=4λ,→→5所以?5所以n=4,λ=-4,此时NA?NB=12. ??-4=λ,2

()2

22524

当直线l斜率不存在时,A(,y),B(,-y),则y2=1-=,

554252→→224

所以NA?NB=(-4)2-y2=(-4)2-=12,

5525→→所以在x轴上存在定点N(4,0),使得NA?NB为定值.

9??182?a2?27,?1,???2.【解】:(1)由已知,得?a2b2 解得?227

?b?.?99?2?2?2?1,b?a第 6 页 共 14 页

x2y2??1. 所以椭圆的标准方程为

27272(2)设点C(m,n)(m?0,n?0),则BC中点为(m?3n?3,). 22 由已知,求得直线OA的方程为x?2y?0,从而m?2n?3.① 又∵点C在椭圆上,∴m2?2n2?27.②

由①②,解得n?3(舍),n??1,从而m??5. 所以点C的坐标为(?5,?1). (3)设P(x0,y0),M(2y1,y1),N(2y2,y2). ∵P,B,M三点共线,∴∵P,C,N三点共线,∴

3(y0?x0)y1?3y0?3,整理,得y1?. ?2y1?3x0?3x0?2y0?3y?15y0?x0y2?1,整理,得y2?. ?02y2?5x0?5x0?2y0?3∵点C在椭圆上,∴x02?2y02?27,x02?27?2y02.

3(x02?5y02?6x0y0)3(3y02?6x0y0?27)39??3??. 从而y1y2?2x0?4y02?4x0y0?92y02?4x0y0?1822所以OM?ON?5y1y2?45. 245. 2∴OM?ON为定值,定值为

63x2y2??1;(2)3.答案:(1);(3)存在定值,2,理由略.

562 解析:(1)由

c622?,设a?3k(k?0),则c?6k,b?3k, a3x2y2所以椭圆C的方程为2?2?1,因直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点,即

9k3kxA?xB?6k,代入椭圆方程,解得y??k,于是2k?x2y2??1 所以椭圆C的方程为62266,即k?, 33x2y2??1,解得y??1,因点A在第一象限,从而A(3,1), (2)将x?3代入62第 7 页 共 14 页

由点E的坐标为(3223,0),所以kAB?,直线AB的方程为y?(x?), 223337,?), 55联立直线AB与椭圆C的方程,解得B(?又PA过原点O,于是P(?3,?1),PA?4,所以直线PA的方程为x?3y?0,

?所以点B到直线PA的距离h?373?552?33, 5故S?PAB?13363?4?? 255(3)假设存在点E,使得

11为定值,设E(x0,0), ?22EAEB12?2x021111当直线AB与x轴重合时,有, ????EA2EB2(x0?6)2(6?x0)2(6?x02)2当直线AB与x轴垂直时,

11??22EAEB2x022(1?)6?6, 26?x0612?2x026?2, 由,解得,?x??306?x02(6?x02)26?x02所以若存在点E,此时E(?3,0),

11为定值2. ?EA2EB2根据对称性,只需考虑直线AB过点E(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2), 又设直线AB的方程为x?my?3,与椭圆C联立方程组,学科网

22化简得(m?3)y?23my?3?0,所以y1?y2??23m?3,, yy?1222m?3m?3又

1111???, 22222222EAmy1?y1(m?1)y1(x1?3)?y1(y1?y2)2?2y1y21111所以, ????EA2EB2(m2?1)y12(m2?1)y22(m2?1)y12y22将上述关系代入,化简可得

11??2. 22EAEB第 8 页 共 14 页