专题01.04--解析几何中的定值问题

一、问题概述

定值问题是解析几何中的常见题型也是江苏高考中的热点问题．在解析几何中，当几何量与参数无关时，这就构成了定值问题．解决此类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻找定值的“不变”性，一种思路是进行一般的计算推理求出结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中的定义，列出方程，再用根与系数的关系，“点在曲线上”，点差法等导出所求定值的关系所需要的表达式，化简整理求出结果（例1，例2）；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少（例1，例3），用特殊探索法（特殊值，特殊位置，特殊图形）先确定出定值，揭开神秘面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般的证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的．同时，有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索，如果试题以客观形式出现，特殊化方法往往比较凑效． 二、释疑拓展

1．【南京市2018届高三第三次模拟考试.18题】

x2y2833

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)经过点P(，)，离心率为. ab5522

已知过点M(，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点．

5（1）求椭圆C的方程；

→→（2）试问x轴上是否存在定点N，使得NA·NB为定值．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

B O M A x y

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2．【苏锡常镇四市2014届高三教学情况调研（一）.18题】

x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆2?2?1(a?b?0)上不同的三

ab点，A(32,32)，B(?3,?3)，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上． 2 y（1）求椭圆的标准方程； （2）求点C的坐标；

（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明OM?ON为定值并求出该定值．

CMBNAOxP

3．【盐城市2015届高三第三次模拟考试.18题】

x2y26如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线l与

3abx轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，

弦AB的长为

26. 3（1）求椭圆C的方程； （2）若点E的坐标为(3,0)，点A在第一象限且横坐标为3，连结点A与原点O的直2线交椭圆C于另一点P，求?PAB的面积； （3）是否存在点E，使得

11为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定?EA2EB2值；若不存在，请说明理由．

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三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）

四、巩固训练

1．【镇江市2014届高三第一学期期末调研.18题】

x2y2椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1,F2，右顶点为A，直线l过F2交

ab椭圆于B，C两点。

（1）如果直线l的方程为y?x?1，且?F1BC为直角三角形，求椭圆方程； （2）证明：以A为圆心，半径为b的圆上任意一点到F1,F2的距离之比为定值。

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2．【南京、盐城、徐州2015届高三第二次模拟考试.18题】

x2y22如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0) 的离心率为，直线l：y

ab21

＝x与椭圆E相交于A，B两点，AB＝25．C，D是椭圆E上异于A，B的任意两点，且2直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N． （1）求a，b的值；

（2）求证：直线MN的斜率为定值．

B D y M C A N O x

3．【南京市2017届高三第三次模拟考试.18题】

x2y2

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A，B，

ab3→→M为线段AB的中点，且OM·AB＝－b2．

2（1）求椭圆的离心率；

（2）已知a＝2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥DC．记直线AD，BC的斜率分别

为k1，k2，求证：k1·k2为定值．

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