与性质．解题的关键是证明∠A=∠C．

8.（2018?广西贵港?11分）如图，已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．

①求线段PM的最大值；

②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

2

【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；

（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得

，

解得，

2

这个二次函数的表达式y=x﹣2x﹣3； （2）设BC的解析是为y=kx+b， 将B，C的坐标代入函数解析式，得

，

解得

，

BC的解析是为y=x﹣3，

设M（n，n﹣3），P（n，n﹣2n﹣3），

2

25

PM=（n﹣3）﹣（n﹣2n﹣3）=﹣n+3n=﹣（n﹣）+， 当n=时，PM最大=；

②当PM=PC时，（﹣n+3n）=n+（n﹣2n﹣3+3）， 解得n1=0（不符合题意，舍），n2=﹣n﹣2n﹣3=2﹣2P（

，﹣2

2

2

2

2

2

2

222

（不符合题意，舍），n3=，

﹣3=﹣2﹣1）．

2

2

2

﹣1，

当PM=MC时，（﹣n+3n）=n+（n﹣3+3），

解得n1=0（不符合题意，舍），n2=﹣7（不符合题意，舍），n3=1， n﹣2n﹣3=1﹣2﹣3=﹣4， P（1，﹣4）；

综上所述：P（1，﹣4）或（

，﹣2

﹣1）．

2

2

【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式，解（2）①的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质；解（2）②的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏．

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