三.解答题

1.（2018?江苏徐州?7分）（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C．

（B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证：AD=CD．

【分析】（A类）连接AC，由AB=AC.AD=CD知∠BAC=∠BCA.∠DAC=∠DCA，两等式相加即可得； （B类）由以上过程反之即可得． 【解答】证明：（A类）连接AC，

∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA， ∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠A=∠C；

（B类）∵AB=AC，∴∠BAC=∠BCA，

又∵∠A=∠C，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD．

【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等角对等边、等边对等角的性质．

2.（2018?江苏徐州?10分）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°

操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q． 探究一：在旋转过程中， （1）如图2，当（2）如图3，当

时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明； 时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；

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（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当EQ=1：m ，其中m的取值范围是 0＜m≤2+探究二：若

时，EP与EQ满足的数量关系式为 EP： ．（直接写出结论，不必证明）

2

且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm），在旋转过程中：

（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． （2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围．

【分析】探究一：（1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，从而证明结论；

（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；

（3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析．

探究二：（1）设EQ=x，结合上述结论，用x表示出三角形的面积，根据x的最值求得面积的最值；

（2）首先求得EQ和EB重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论．

【解答】解：探究一：（1）连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得 BE=CE，∠PBE=∠C

又∠BEP=∠CEQ，则△BEP≌△CEQ，得EP=EQ； （2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，∴∠EMP=∠ENC， ∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，∴∠MEP=∠NEF， ∴△MEP∽△NEQ，

∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；

（3）过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N， ∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，

∴∠EPB+∠EQB=180°（四边形的内角和是360°），

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又∵∠EPB+∠MPE=180°（平角是180°），∴∠MPE=∠EQN（等量代换）， ∴Rt△MEP∽Rt△NEQ（AA），∴在Rt△AME∽Rt△ENC ∴

=m=

，

EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m， ∴0＜m≤2+

；（当m＞2+

时，EF与BC不会相交）．

∴

=1：m=

，

（两个相似三角形的对应边成比例）；

探究二：若AC=30cm，

（1）设EQ=x，则S=x，所以当x=10当x=10

（2）当x=EB=5

时，S=62.5cm，

2

2

时，面积最小，是50cm；

2

时，面积最大，是75cm．

2

故当50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个； 当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．

【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解．

3.（2018?江苏苏州?10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．

（1）求证：CD=CE；

（2）若AE=GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．

【分析】（1）连接AC，根据切线的性质和已知得：AD∥OC，得∠DAC=∠ACO，根据AAS证明

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△CDA≌△CEA（AAS），可得结论； （2）介绍两种证法：

证法一：根据△CDA≌△CEA，得∠DCA=∠ECA，由等腰三角形三线合一得：∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，在直角三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，可得结论；

证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，则3x+3x+2x=180，可得结论． 【解答】证明：（1）连接AC， ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，∴∠DCO=∠D=90°，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO， ∵OC=OA，∴∠CAO=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO， ∵CE⊥AB，∴∠CEA=90°， 在△CDA和△CEA中， ∵

，

∴△CDA≌△CEA（AAS）， ∴CD=CE；

（2）证法一：连接BC，

∵△CDA≌△CEA，∴∠DCA=∠ECA，

∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠ECA=∠ECG， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°， ∵CE⊥AB，∴∠ACE=∠B，

∵∠B=∠F，∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，

∵∠D=90°，∴∠DCF+∠F=90°，∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°， ∴∠AOC=2∠F=45°， ∴△CEO是等腰直角三角形；

证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，

∵AD∥OC，∴∠OAF=∠AOC=2x，∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x， ∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，

∵CE⊥AG，AE=EG，∴CA=CG，∴∠EAC=∠CGA，∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x， ∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，∴3x+3x+2x=180，x=22.5°，∴∠AOC=2x=45°， ∴△CEO是等腰直角三角形．

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