x2y2x2y2x2y2??1 (B)??1 (C)??1 (A)
1625169916x2y2??1 (D)
2516x2y22.与椭圆＋?1有共同焦点，且过点P(?2,10)的双曲线是( A )
1625y2x2y2x2y2x2x2y2??1 (B)?(A)?1 (C)5?3?1 (D)5?3?1 5454y223．设双曲线x?m?1的离心率e＞2，则实数m的取值范围是( B )
(A)(0，3) (B)(3，＋∞) (C)(0，1) (D)(1，＋∞)
x2y24．若方程??1表示双曲线，则m的取值范围为( C )
2?mm?1(A)m＞－1 (B)m＞－2 (C)m＞－1，或m＜－2 (D)－2＜m＜1
x2y2x2y25．若椭圆2?2?1(m＞n＞0)与双曲线2?2?1(a＞0，b＞0)有相同焦点F1，F2，
abmn设P是两条曲线的一个交点，则|PF1|2|PF2|的值为( C )
1(A)m－a (B)(m?a) (C)m2－a2 (D)m?a
222
6．双曲线3mx－my＝3的一个焦点是(0,2)，则m的值是( A )
A．－1 B．1 C．－ D.
解析 化双曲线的方程为－＝1，由焦点坐标(0,2)知：－－＝4，即＝4， ∴m＝－1.
7．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( B )
A．(－∞，0) B．(－12,0)
C．(－3,0) D．(－60，－12) 解析 由题意a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，∴e2＝＝. 又∵e∈(1,2)，∴1<<4，解得－12 8．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为( B ) A．(1,3) B．(1,3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 解析 由题意知在双曲线上存在一点P， 使得|PF1|＝2|PF2|，如图所示． 又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a， 即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|＝2a， 即|AF2|≤2a.∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a. 又∵c>a，∴a 9．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( C ) A．(1，) B．(1，)∪(，＋∞) C．(，＋∞ D．[，＋∞) [解析] 用数形结合法解决较为简单，由图分析可知，只有当渐近线斜率>2时，才 第 9 页 共 16 页 能保证y＝2x与双曲线有公共点， ∴>4，即>5. ∴>. 10．等轴双曲线x2－y2＝a2截直线4x＋5y＝0所得弦长为，则双曲线的实轴长是( D ) A. B. C. D．3 解析 注意到直线4x＋5y＝0过原点，可设弦的一端为(x1，y1)，则有 ＝. 可得x＝，取x1＝，y1＝－2.∴a2＝－4＝，|a|＝. 11．如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是(A) A．(1，＋∞) B．(0,2) C．(2，＋∞) D．(1,2) [解析] 方程化为：－＝1， ∴∴k>2. 又c＝＝>1，故选A. 12．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ D ） A．x＝±y B．y＝±x C．x＝±y D．y＝±x [解析] 由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上， ∴椭圆焦点(，0)，双曲线焦点(，0)．∴3m2－5n2＝2m2＋3n2. ∴m2＝8n2.又∵双曲线渐近线为y＝±·x， ∴代入m2＝8n2，|m|＝2|n|，得y＝±x. 13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( B ) A. B. C．2 D. [解析] 由题意|PF1|－|PF2|＝2a，即3|PF2|＝2a， ∴|PF2|＝a，设P(x0，y)，则x0>0，∴a＝ex0－a，∴e＝. ∵|x0|≥a，∴≤1.∴e＝·≤.故选B. 14．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线方程是( D ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [解析] 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，依题意c＝，∴方程可化为－＝1，由得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝. ∵＝－，∴＝－， 解得a2＝2.故所求双曲线方程为－＝1. 15．设点F1、F2为双曲线C：16x2－9y2＝144的两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝__90°__． 16．已知点F、A分别为双曲线C－＝1(a>0，b>0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为________． 第 10 页 共 16 页 [解析] 由已知F(－c,0)，A(a,0)，∴＝(c，b)，＝(－a，b)， ∴由·＝0得－ac＋b2＝0，即c2－ac－a2＝0，e2－e－1＝0， 解得e＝(另一根舍去)． 17．若双曲线经过点(6，3)，且渐近线方程是y??1x，求双曲线的方程． 3x2y21?2?1,(k?0) 答案：若双曲线的焦点在x轴上，因为渐近线方程是y??x，∴ 29kk3x23632 ?2＝1，解得k＝1，,此时，双曲线为?y2?1； 又双曲线经过点(6,3)，所以299kky2x21?1， 若双曲线的焦点在y轴上，因为渐近线方程是y??x，所以，设所求方程为2?2k9k3336?1，此方程无解．综上，所求的双曲线为又双曲线经过点(6,3)，所以2?k9k2x2?y2?1． 9y2x2??1的两个焦点，点M为双曲线上一点，且∠F1MF218．设F1，F2为双曲线C:916＝60°，求△MF1F2的面积． 答案：由题意，双曲线的实半轴a＝3，虚半轴b＝4， 因为c2＝a2＋b2＝25，所以焦点F1(0，－5)，F2(0，5)， 因为∠F1MF2＝60°，所以|F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|2|F2M|cos60°， 即100＝|F1M|2＋|F2M|2－|F1M|2|F2M|， ① 又由双曲线定义，得‖F1M|－|F2M‖＝6，平方得|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|2|F2M|＝36， ② 由①②，得|F1M|2|F2M|＝64， 所以，△MF1F2的面积为S?F1F2M?113|F1M|?|F2M|sin60???64??163. 222x2y219．以双曲线C:2?2?1(a＞0，b＞0)的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做C abx2y2??1的共轭双曲线的方程； 的共轭双曲线．(1)写出双曲线 54(2)设双曲线C与其共轭双曲线的离心率分别为e1，e2，求证 11??1． 22e1e2x2y2y2x2??1的共轭双曲线的方程为??1； 答案：(1)双曲线 5544(2)在双曲线C中，半焦距c?a?b22ca2?b2，所以离心率e1??； aay2x2双曲线C共轭双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0)，其半焦距为 baa2?b2，所以离心率 e2?a2?b2b11a2b2.所以，2?2?2??1. e1e2a?b2a2?b220．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，又离心率为2.求双曲线的方程． 第 11 页 共 16 页 [解析] 设双曲线方程为－＝1，因|F1F2|＝2c，而e＝＝2，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.由余弦定理，得(2c)2＝|PF1|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2 ＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos60°)，∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|， 又S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin60°＝12，∴|PF1|·|PF2|＝48， 圆锥曲线基础测试题 一、选择题（ 60 ） x2y2?1(a?5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|?8，弦AB过点F1，1已知椭圆2?25a则△ABF2的周长为（ ） （A）10 （B）20 （C）241（D） 441 x2y2??1上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离2椭圆 10036是（ ） （A）15 （B）12 （C）10 （D）8 x2y2??1的焦点F1、F2，P为椭圆上的一点，已知PF1?PF2，则△F1PF23椭圆 259的面积为（ ） （A）9 （B）12 （C）10 （D）8 4以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ） （A）x2?y2?2 （B）y2?x2?2 （C）x2?y2?4或y2?x2?4 （D）x2?y2?2或y2?x2?2 x2y2??1右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P点到左准线的距离为5双曲线 169（ ） （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 6过双曲线x2?y2?8的右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（ ） （A）28 （B）14?82（C）14?82（D）82 7双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2，?F1MF2?120?，则双曲线的离心率为（ ） 第 12 页 共 16 页