按分层抽样的方法抽出6人，则男生占4人，女生占2人. 设男生为A1，A2，A3，A4，女生为B1，B2.
(A2,A3)，(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,A4)，(A1,A4)，从6人任选2名有：
(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,A4)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A4,B1)，(A4,B2)，(B1,B2)共
15种可能，
2人中恰好有一名女生：(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，
(A4,B1)，(A4,B2)共8种可能，
故所求概率为P?【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的计算，考查独立性检验解决实际问题，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8. 151x2y220．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线3x?y?3?0过椭圆
2abC的右焦点F,过F的直线m交椭圆C于M,N两点(均异于左、右顶点).
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l:x?4,A为椭圆C的右顶点. 若直线AM交l于点P，直线AN交l于
uuuvuuuvuuuuvQ点，试判断(FP?FQ)?MN是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
x2y2【答案】（1）??1（2）定值为0.
43【解析】（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c，再根据离心率得a，b，（2）先设直
uuuruuuruuuur线方程以及各点坐标，化简(FP?FQ)?MN，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达
定理代入化简得结果. 【详解】
（1）因为直线3x?y?3?0过椭圆C的右焦点F,所以F(1,0)?c?1，
1c1x2y2因为离心率为，所以??a?2,b?3???1，
2a243（2）A(2,0)，设直线m:x=ty+1，M(x1,y1)N(x2,y2)
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则AM:y?y12y1(x?2)?P(4,) x1?2x1?2AN:y?y22y2(x?2)?Q(4,) x2?2x2?2uuuruuuruuuur2y12y2(FP?FQ)?MN?(3?3,?)?(x2?x1,y2?y1) 因此
x1?2x2?2?6(x2?x1)?(y2?y1)(2y12y2?) x1?2x2?2?(y2?y1)[6t?(2y12y24tyy?2(y2?y1)?)]?(y2?y1)[6t?212] ty1?1ty2?1ty1y2?t(y2?y1)?1x2y2由x=ty+1，+=1得(3t2?4)y2?6ty?9?0，
43?6t?9,yy?， 123t2?43t2?4?36t12t?24t?2224ty1y2?2(y2?y1)3t?43t?43t?4??6t ??因此2224?9t6tty1y2?t(y2?y1)?1??13t2?43t2?43t2?4uuuruuuruuuur即(FP?FQ)?MN?0.
所以y1?y2?【点睛】
本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．已知函数f(x)?12xe?aex?2a2x. 2（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）当a?0时，f(x)在(??,??)上单调递增；当a?0时，f(x)在
(??,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),??)上单调递增；当a?0时，f(x)在(??,ln(?a))?31上单调递减，在(ln(?a),??)上单调递增；（2）a???e4,2???. ?【解析】（1）对a分三种情况a?0,a0,a0讨论求出函数f(x)的单调性；（2）对a分三种情况a?0,a0,a0，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解. 【详解】
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（1）f'(x)?e2x?aex?2a2??ex?a??ex?2a?，
2x当a?0时，f'(x)?e?0，f(x)在(??,??)上单调递增；
当a?0时，f'(x)?0，x?ln(2a)，f'(x)?0，x?ln(2a)， ∴f(x)在(??,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),??)上单调递增；
21?2?12ab当a?0时，f'(x)?0，c，f'(x)?0，x?ln(?a)， 2{? a2a2?b2?c2∴f(x)在(??,ln(?a))上单调递减，在(ln(?a),??)上单调递增. 综上：当a?0时，f(x)在(??,??)上单调递增；
当a?0时，f(x)在(??,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),??)上单调递增； 当a?0时，f(x)在(??,ln(?a))上单调递减，在(ln(?a),??)上单调递增. （2）由（1）可知： 当a?0时，f(x)?e当a?0时，
2x?0，∴a?0成立.
1f(x)min?f(ln(2a))?e2ln(2a)?aeln(2a)?2a2ln(2a)??2a2ln(2a)?0，
2ln(2a)?0，∴0?a?.
当a?0时，f(x)min?f(ln(?a))?1212ln(?a)e?aeln(?a)?2a2ln(?a) 23a2??2a2ln(?a)?0， 2ln(?a)?333，∴a??e4，即?e4?a?0. 4?31综上a???e4,2?【点睛】
??. ?本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种
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??x?3?t坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为?（t为参数），曲线C
??y?1?3t的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+
?）. 3（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积.
(1) 直线l的普通方程为3x＋y－4＝0. 曲线C的直角坐标方程是圆：(x－3)2【答案】＋(y－1)2＝4. (2)4
【解析】（1）将直线l参数方程中的t消去，即可得直线l的普通方程，对曲线C的极
??2?x2?y2?坐标方程两边同时乘以?，利用??sin??y可得曲线C的直角坐标方程；
??cos??x?（2）求出点O到直线的距离，再求出MN的弦长，从而得出△MON的面积． 【详解】
??x?3?t????(1)(1)解：由题意有?，
??y?1?3t???(2)(1)?3?(2)得，
3x＋y＝4，
直线l的普通方程为3x＋y－4＝0. 因为ρ＝4sin??+????? 3?所以ρ＝2sinθ＋23cosθ， 两边同时乘以?得， ρ2＝2ρsinθ＋23ρcosθ，
??2?x2?y2?因为??sin??y，
??cos??x?所以x2＋y2＝2y＋23x，即(x－3)2＋(y－1)2＝4， ∴曲线C的直角坐标方程是圆：(x－3)2＋(y－1)2＝4.
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