§3.1 导数的概念及运算

1．导数的概念

(1)函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率

f ?x2?－f ?x1?

函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f (x2)－f (x1)，则平均

x2－x1Δy

变化率可表示为.

Δx

(2)设函数y＝f (x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值

Δy＝Δx

f ?x0＋Δx?－f ?x0?

无限趋近于一个常数A，则称f (x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f (x)在

Δxx＝x0处的导数，记作f′(x0)． 2．导数的几何意义

函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数 f (x)＝c(c为常数) f (x)＝xα(α∈Q*) f (x)＝sin x f (x)＝cos x f (x)＝ex f (x)＝ax(a>0) f (x)＝ln x 导数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝ex f′(x)＝axln a 1f′(x)＝ x－f (x)＝logax(a>0，a≠1)

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； (3)?

f ?x??f′?x?g?x?－f ?x?g′?x?

′＝(g(x)≠0)． ?g?x??[g?x?]2

1f′(x)＝ xln a5．复合函数的导数

复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

概念方法微思考

1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f (x)的形状有何变化？

提示 |f′(x)|越大，曲线f (x)的形状越来越陡峭． 2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示 不一定．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率．( × ) (2)f′(x0)＝[f (x0)]′.( × )

(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)函数f (x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( × ) 题组二 教材改编

2．若f (x)＝x·ex，则f′(1)＝ . 答案 2e

解析 ∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.

3．曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为 ．

答案 2x－y＋1＝0

解析 ∵y′＝2

?x＋2?2，∴y′|x＝－1＝2.

∴所求切线方程为2x－y＋1＝0. 题组三 易错自纠

4．如图所示为函数y＝f (x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f (x)，y＝g(x)的图象可能是()