求椭圆的方程； 已知

，

，若直线l与圆的最大值．

；（2）12

D两点，相切，且交椭圆E于C、记

的面积为，记

的面积为，求【答案】（1）【解析】 【分析】

b、c的方程组，b、c的值，根据题意列出有关a、求出a、可得出椭圆E的方程；设直线l的方程为，

先利用原点到直线l的距离为2，得出m与k满足的等式，并将直线l的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，计算出弦CD的长度的表达式，然后分别计算点A、B到直线l的距离、，并利用三角形的面积公式求出

的表达式，通过化简，利用基本不等式可求出

设椭圆的焦距为

的最大值。

，则

，

【详解】解：，椭圆的短轴长为

由题意可得，解得，

因此，椭圆的方程为；

，设点

、

，

由题意知，直线l的斜率存在且斜率不为零，不妨设直线l的方程为由于直线l与圆

，则有

，所以，

．

点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，

将直线l的方程与椭圆E的方程联立，消去y并整理得．

由韦达定理可得，．

由弦长公式可得

．

所以，，

17

．

当且仅当因此，

时，即当的最大值为12．

时，等号成立．

【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的方程以及直线与圆的位置关系，同时也考查了韦达定理法在椭圆综合题中的应用，属于中等题。 21.已知函数求实数的值； 若函数【答案】（1）【解析】 【分析】

根据分段函数的单调性，结合导数判断函数在讨论时，

时不满足题意，则

上单调递增即可；

时，

已经存在两个零点，在等价为当

有三个零点，求实数的取值范围． ；（2）

在

上是增函数．

，根据分段函数单调可知在

有且只有一个零点，利用参变分离法结合图象进行求解即可。

当

时，

是增函数，且恒成立，

恒成立，

，

【详解】解：故当当

时，

为增函数，即

时，函数的导数

当当则

时，时，，即

，此时相应，此时相应．

恒成立，即恒成立，即

恒成立，即恒成立，即

恒成立， 恒成立，

18

若故当当故当即

，则， 时，时，时，

在上是增函数，此时最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．

有一个零点，

的一个零点， 有且只有一个解， ，

，故0也是故

有且只有一个零点，即，得

，

则即

与函数

，在时有且只有一个根，

，在

时有且只有一个交点，

，

由由即当

得得

，即，即

得得

，得，得

，此时函数递增， ，此时函数递减，

时，函数取得极小值，此时极小值为

，

，

作出要使则

的图象如图， 与函数或

，

．

，在

时有且只有一个交点，

即实数的取值范围是

【点睛】本题主要考查分段函数的应用，以及函数零点个数问题，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，

19

利用参变分离法并结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度较大． 22.在平面直角坐标系xOy中，将椭圆

上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线

．

C，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； 已知点【答案】（1）【解析】 【分析】 设

为椭圆上的点，在已知变换下变为C上点

，依题意，得

且直线l与曲线C交于A、B两点，求

，

；（2）

的值．

由此能求出曲线C的普通方程；

由直线l的极坐标方程，能求出直线l的直角坐标方程； 求出直线l的参数方程并代入可。 【详解】设

将椭圆

上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C，

，

，得：

，结合

，求解即

为椭圆上的点，在已知变换下变为C上点

．

依题意，得

由，得

曲线C的普通方程为直线l的极坐标方程为直线l的直角坐标方程为点

，

．

． ．

在直线l上，

且直线l与曲线C交于A、B两点，

把直线l的参数方程代入，得：，

则，．

20