综上可得数列故答案为：45．

中最接近2019的是第45项．

【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查化简运算能力，属于中档题．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.在设为求

中，

，

，的长度.

的面积为

.

的中点，求的值.

【答案】（1）3或【解析】 【分析】

； （2）或.

（1）由面积公式结合条件可得（2）在

中，由余弦定理可得

的面积

，从而得，再在中由余弦定理可得解；

，从而得解.

，再由正弦定理可得

得

，

【详解】（1）由

，于是在中，由余弦定理：

或

.

或

，

（2）法一：再由正弦定理，法二：由

中，由余弦定理，

或.

，得

或.

的面积

【点睛】本题主要考查了正余弦定理，及面积公式，属于基础题.

18.田忌赛马是史记中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发也们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示： 田忌的马获胜概上等马 率公子的马 上等马 中等马 13

中等马 下等马 1

下等马

0 比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者． 如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；

如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望． 【答案】（1）0.72；（2）见解析 【解析】 【分析】

由题意知，田忌第三场比赛必输，则前两场比赛都胜，因而利用相互独立事件的概率乘法公式可得出答案； 先计算出田忌比赛一次获胜的概率，并计算出田忌比赛一次获利的数学期望，这个期望乘以12即可得出田忌一年赛马获利的数学期望。

【详解】（1）记事件A：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，

对于事件A，三场比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜， 因此，

；

和1000，

设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量，则随机变量的可能取值为

若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负， 设比赛一次，田忌获胜的概率为，则随机变量的分布列如下表所示： 所以，

因此，田忌一年赛马获利的数学期望为

．

金。

1000 ．

【点睛】本题考查离散型随机变量及其数学期望，解决本题的关键就是弄清概率的类型，并计算出相应事件的概率，考查计算能力，属于中等题。

14

19.已知三棱柱中，，，，．

求证：面若

面，在线段

；

上是否存在一点，使二面角

的平面角的余弦值为？若存在，确定

点的位置；若不存在，说明理由 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 由面

，可得四边形，得到

，结合

为菱形，则

，即可证明

，又平面

，利用线面垂直的判定可得，从而可证明面

面

平；

以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设在线段AC上存在一点P，满足

，使得二面角

的余弦值为，利用二面角

的余弦值为，可求得的值，从

而得到答案。 【详解】连接

证明：如图，

，又，则，即平面

，

面

，

面，

平面

；

，

，

四边形

为菱形， ，

，则平面

，且

又而

15

解：以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，

0，，设在线段则

，2，，

0，，

， 0,

，使得二面角

的余弦值为．

上存在一点，满足

．

0，

，，

，，，．

设平面的一个法向量为

由，取，得；

平面的一个法向量为．

由，

解得：因为故在线段

，或，所以

， .

，使二面角

的余弦值为.

上存在一点，满足

【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查了平面与平面的夹角，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题。 20.已知椭圆的方程为

，离心率

16

，且短轴长为4．