其中写有数字0，1，…，的卡片各有张如果用这些卡片表示位进制数，通过不同的卡片组合，这些

，

时，我们可以表示出

共

个不同的整数假设卡片的

卡片可以表示个不同的整数例如

总数为一个定值，那么进制的效率最高则意味着张卡片所表示的不同整数的个数最大根据上述研究方法，几进制的效率最高？

A. 二进制 B. 三进制 C. 十进制 D. 十六进制 【答案】B 【解析】 【分析】 设即

为定值，可得nx张卡片所表示的不同整数的个数，利用求导研究其单调性即可求出答案。

为定值，

，

，

，

，假设，

，可得

，

【详解】设

则nx张卡片所表示的不同整数的个数假设，则

， ，即

，

求导可得：，

因为可得

，所以当，，当，，

时，函数取得最大值，

比较，的大小即可， 分别6次方可得：可得

， ．

根据上述研究方法，3进制的效率最高。 故选：B．

【点睛】本题考查了函数的单调性、极值与最值的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题。

，

，

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

9

13.已知函数，则______．

【答案】. 【解析】 【分析】

由题设条件，先求出

，

．

【详解】由题，可得 则

即答案为

【点睛】本题考查分段函数的函数值求法，解题时要认真审题，仔细解答，是基础题． 14.已知向量【答案】【解析】 【分析】

设出向量的坐标，根据题意列出方程组求出单位向量的坐标即可。 【详解】设向量又

，

即联立

，

， ，则

，则

，

，

或

，单位向量满足

，则向量的坐标为______．

解得或；

则向量的坐标为故答案为：

或

或

【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算、单位向量及向量的模等知识，属于基础题。

10

15.已知抛物线C：物线C上，过A作【答案】【解析】 【分析】

由抛物线C的焦点F为椭圆

的焦点F为椭圆

，垂足为B，若直线BF的斜率

的右顶点，直线l是抛物线C的准线，点A在抛

，则

的面积为______．

的右顶点，可得，从而可求出，设，，

可求出，然后求得，即可求得的面积。

【详解】抛物线C：的焦点F为椭圆的右顶点，

，．

设，，可得．

故在上，可得，

．

则的面积为

．

．

故答案为：

【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答。 16.已知正项数列第______项 【答案】45 【解析】

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的前项和为，数列的前项积为，若，则数列中最接近2019的是

【分析】 分别令

，2，3，，归纳得到

，可以通过数学归纳法证明，再由

时，

，可得数

列的通项公式，进而通过计算可得到答案。 【详解】则

，可得，即，即

两式相除得：

，则

， ，且

，

， ；

由由 猜想

，解得，解得

； ；

，

用数学归纳法证明， 当

时，

，满足

，

，

假设当时，猜想成立，即

则当时，，满足，

故猜想成立，即

，

当

，

时，不满足

.

，

，

故，

由当当当

时，时，时，

，

， ， ．

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