【详解】

（1）f(x)在0,???单调递增 设0?x1?x2

则f(x1)?f(x2)?(21?2因为0?x1?x2故：

x?x1?)?(2x2?2?x2)?(2x1?2x2)(1?12x1?x2)

2x1?2x2?0,1?12x1?x2?0

?f(x1)?f(x2) ，

?f(x)在?0,???单调递增，即证.

（2）①g(x)?f(2x)?2f(x)

?22x?2?2x?2(2x?2?x) ?(2x?2?x)2?2(2x?2?x)?2

令2?2x?x?u,u??2,???

y?u2?2u?2?(u?1)2?3 ，

?y???2,??? g(x)的值域为??2,???

②由t?2f(x)?g(x)得t?22x?2?2x

2x?2x?(2x?2?x)2?2?2 而当x?0,???时，2?2?所以t的取值范围为2,+?【点睛】

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本题考查利用函数单调性的定义证明单调性，以及用换元的方法，求解指数型函数的值域，属综合性基础题.