⑴ 求函数f(x)的解析式； ⑵ 求函数g(x)的单调区间；
r满足|s?r|≤|t?r|，t、⑶ 如果s、那么称s比t更靠近r. 当a≥2且x≥1时，试比较
哪个更靠近lnx，并说明理由.
e和ex?1?ax
理科数学 参考答案
1. A 2. D 3. D 4.A 5.A 6.C 7.B 8.B 9.A 10. B 11.
3 12. 22 13.16
14. （I）4;（II）
?n?2??n?3?
215.
??5? 16. 或
664??17.解：(1) ∵cos?2????5 ???6?3∴f?????????????????????sin2??sin??2??????sin?2???cos?cos?2???sin
6?6?6?66?612????????23?5 ………………… …6分 6π3ππ13
(2) f(A)＝sin(2A＋)＝ ∵0＜A＜π ∴＜2A＋＜π ,
62666
πππ2ππ
∴2A＋＝或2A＋＝π，即A＝或Ａ＝…………………………8分
6363124当A＝
6－2π2
时，C＝π，a＝22sinA＝·22＝3－1 , 1234
3－31
S△ABC＝absinC＝ ………10分
22
ππ1
当A＝时，C＝， S△ABC＝ab＝2 …………………………………………12分
422
18. 解：（1）依题意，有
（2）考查而函数
当n=1或2或3时，∴仅当n≥4时，
d在
上为增函数， ； 当n≥4时，
∴至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
19. 解(Ⅰ)取F为线段BP中点，取PC的中点为O，连FO，DO……………2分
11
∵F、O分别为BP、PC的中点，∴FO∥＝2BC∴ABCD为平行四边形，ED∥BC且DE＝2BC ∴FO∥ED且DE＝FO∴四边形EFOD是平行四边形…………………3分 ∴EF∥DO……………………………4分
∵EF?/平面PDC∴EF∥平面PDC……………5分
（Ⅱ）以DC为x轴，过D点作DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系…6分 ∵D(0，0，0)，C(2，0，0)，B(2，0，3)，P(－2，23，0)，A(0，0，3)…………7分 1??423223??
∵设F(x，y，z)，BF＝(x－2，y，z－3)＝BP＝(－，，－1)∴F(，，2)………8分
33333223
AF＝(，，－1)，设平面PBC的法向量→n1＝(a，b，c)
33
??
?3z＝0?n1?CB?0?
?则?， ……………………………9分 ?4x－23y＝0??n1?PC?03
令y＝1，可得→n1＝(，1，0)……………………………………10分
2
??→
AF?n1621→cos
→35|AF||n1|
??
621
∴直线AF与平面PBC所成角的正弦值为………………………12分
3520. 解：（1）由题意，P（＜300）=0.3，
P（300≤＜700）=P（＜700）-P（＜300）=0.7-0.3=0.4， P（700≤＜900）=P（＜900）-P（＜700）=0.9-0.7=0.2， P（≥900）=1-0.9=0.1
的分布列为：
D（Y）=（0-3）2×0.3+（2-3）2×0.4+（6-3）2×0.2+（10-3）2×0.1=9.8 ∴工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8 。 （2）P（≥300）=1-P（＜300）=0.7，
P（300≤＜900）=P（＜900）-P（＜300）=0.9-0.3=0.6
由条件概率可得P（Y≤6|≥300）= 。
21. 解：（1）设抛物线方程为y2=mx，分别将四个点代入解得m=?1，m=1，m=
6，m=1， 6故抛物线方程为y2=x；即点（2，－2）和（9,3）在抛物线上。因此（－2，2）
x2y2（6，－1）两个点为椭圆C1上两点，设椭圆方程为：2?2?1，将上述两个点坐标代入解得： a2=8，
abb2=4，
x2y2故椭圆方程为：??1． 4分
84（2）（I）当直线AB的斜率为0时，
设P?4,y0?，则kPA?kPB?y0?2kPF，直线PA，PF，PB的斜率成等差数列 5分 当直线AB的斜率不为0时，
22（t2?2)y2?4ty?4?0, 设AB:x?ty?2，代入x?2y?8?0,消去x，可得
?y1?y2?kPA?kPB??4t?4,yy?,不妨令P(4,y0),则有：1222t?2t?2y0?y1y0?y24y0?(2?ty0)(y1?y2)?2ty1y2???y0?2kPF
2?ty12?ty24?2t(y1?y2)?t2y1y2?直线PA，PF，PB的斜率成等差数列 7分 uuuruuur（II）因为FA??FB,，所以
，且λ＜0．又
222?4t?4?y?y2??y1?2y1y2?y2???1?2，
?y1?y2?2,y1y2?2,?1t?2t?2y1y2y1y2?2?y1?y2??y1y2?4t21?4t2 ????2?2 ?2t?2?t?2由λ∈［﹣2，﹣1］，得??5?2??[?,?2]，?t2??0,? ?2?7?uuuruuuruuuruuur因为PA?(x1?4,y1),PB?(x2?4,y2)，所以PA?PB?(x1?x2?8,y1?y2)?(ty1?ty2?4,y1?y2)
1uuuruuur2?4t2?4t2(8t2?8)2?16t2222?4)?(2)?故PA?PB?(ty1?ty2?4)?(y1?y2)?(2 22t?2t?2(t?2)令m?t?2(m??2,2?16??)，则7??2uuuruuur2(8m?8)2?16(m?2)112324?17?2PA?PB??64??2?2(?7)?34=32????34 2mmmm?m4?uuuruuur2141722y?2 。 13分 当? 即t?时，PA?PB的值最大, 此时方程为x??7m16722. 解：（1）f'(x)?f'(1)e2x?2?2x?2f(0)，所以f'(1)?f'(1)?2?2f(0)，即f(0)?1. 又
f(0)?f?(1)?2?e， 所以f'(1)?2e2，所以f(x)?e2x?x2?2x. 22x4分
（2）Qf(x)?e?2x?x2，
x111?g(x)?f()?x2?(1?a)x?a?ex?x2?x?x2?(1?a)x?a?ex?a(x?1)2444 5分 ?g?(x)?ex?a.
①当a≤0时，g?(x)?0，函数f?x?在R上单调递增； ②当a?0时，由g?(x)?ex?a?0得x?lna， ∴x????,lna?时，g?(x)?0， g(x)单调递减；
6分
x??lna,???时， g?(x)?0，g(x)单调递增.
综上，当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(??,??)；当a?0时， 函数g(x)的单调递增区间为?lna,???，单调递减区间为???,lna?. （3）解：设p(x)?8分
e?lnx,q(x)?ex?1?a?lnx， xQp'(x)??e1??0，?p(x)在x?[1,??)上为减函数，又p(e)?0， 2xx?当1?x?e时，p(x)?0，当x?e时，p(x)?0.
11Qq'(x)?ex?1?，q''(x)?ex?1?2?0，
xx?q'(x)在x?[1,??)上为增函数，又q'(1)?0， ?x?[1,??)时，q'(x)?0， ?q(x)在x?[1,??)上为增函数， ?q(x)?q(1)?a?2?0.
①当1?x?e时，|p(x)|?|q(x)|?p(x)?q(x)?设m(x)?ex?1?e?a， xex?1e?e?a，则m'(x)??2?ex?1?0， xx?m(x)在x?[1,??)上为减函数， ?m(x)?m(1)?e?1?a， Qa?2，?m(x)?0，?|p(x)|?|q(x)|，?ex?1比e?a更靠近lnx. x②当x?e时，|p(x)|?|q(x)|??p(x)?q(x)??设n(x)?2lnx?ex?1e?2lnx?ex?1?a?2lnx?ex?1?a， x?a，则n'(x)?2x?12?e，n''(x)??2?ex?1?0， xx?n'(x)在x?e时为减函数，?n'(x)?n'(e)?2e?1?e?0， e?n(x)在x?e时为减函数，?n(x)?n(e)?2?a?ee?1?0， ?|p(x)|?|q(x)|，?ex?1比e?a更靠近lnx. x