b2b2b2b2b2b【解析】 根据已知|PF1|＝2·且|PF2|＝，故2·－＝2a，所以2＝2，＝2.
aaaaaa难点三 直线与圆锥曲线的位置关系
例3、设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A(0,2)，右焦点F与点B(2，2)的距离为2.
(1)求椭圆的方程；
→
(2)是否存在经过点(0，－2)的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足|AM→
|＝|AN|？若存在，求直线l的倾斜角α；若不存在，请说明理由．
(2)由题意可设直线l的方程为y＝kx－2(k≠0)，由|AM|＝|AN|知点A在线段MN的垂直平
y＝kx－2，??22
分线上，由?xy＋＝1??124
0，(*)
消去y得x＋3(kx－2)＝12，即可得方程(1＋3k)x－12kx＝
2222
由k≠0得方程(*)的Δ＝(－12k)＝144k>0，即方程(*)有两个不相等的实数根． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0，y0)，则x1，x2是方程(*)的两个不等的12k实根，故有x1＋x2＝2.
1＋3k从而有x0＝
22
x1＋x2
26k6k－21＋3k＝2，y0＝kx0－2＝2
1＋3k1＋3k22
－2
＝2. 1＋3k于是，可得线段MN的中点P的坐标为?
?6k2，－22?.
?
?1＋3k1＋3k?
－2
2－22
1＋3k－2－21＋3k又由于k≠0，因此直线AP的斜率为k1＝＝.
6k6k2
1＋3k－2－21＋3k由AP⊥MN，得
6k2
×k＝－1，即2＋2＋6k＝6，解得k＝±2
33
，即tanα＝±.33
π5ππ
又0≤α<π，故α＝或α＝.综上可知存在直线l满足题意，其倾斜角为α＝或666
9
α＝
5π. 6
【点评】 本题属于圆锥曲线与方程的经典类试题，首先求出圆锥曲线方程，然后再研
究直线与圆锥曲线的位置关系．在直线与圆锥曲线位置关系的问题中，等价转化和设而不求是解决问题的一个重要指导思想，本题解答中使用的是等价转化的方法，实际上也可以根据两点间距离公式得到点M，N的坐标满足的关系式，即x1＋(y1－2)＝x2＋(y2－2)，即(x1＋
2
2
2
2
x2)(x1－x2)＋(y1＋y2－4)(y1－y2)＝0，由于点M，N在直线上，y1＝kx1－2，y2＝kx2－2，代
入(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2－4)(y1－y2)＝0，得(x1＋x2)(x1－x2)＋(kx1＋kx2－8)(kx1－kx2)＝0，直线斜率存在，则x1≠x2，所以(x1＋x2)＋k[k(x1＋x2)－8]＝0，然后根据韦达定理整体代入即可求出k值．
【变式探究】如图所示，设P是圆x＋y＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M4
为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
5
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； 4
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
5
2
2
10
【规律技巧】
1．离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到关于a，c的不等式，由这个不等式确定a，c的关系．
p?p?2．抛物线y＝2px(p>0)的过焦点F?，0?的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，4?2?
2
2
y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.同样可得抛物线y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py类似的
性质．
3．解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据韦达定理，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k|x1－x2|＝|y1－y2|，而|x1－x2|＝
2
1＋
1
k2
x1＋x2
2
－4x1x2等，根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后
的一元二次方程，利用韦达定理进行整体代入． 【历届高考真题】 【2012年高考试题】
xy21.【2012高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：2?2?1（a,b＞0）的
ab左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂
2 11
直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是
A.
236 B。 C.2 D.3 32【答案】B
b?y?x?b,?b?c【解析】由题意知直线F1B的方程为：y?x?b，联立方程组?得点
xyc???0??abb?y?x?b,?acbcacbc?cQ(得点P(?,)，联立方程组?,)，所以PQ的中点坐标为c?ac?ac?ac?a?x?y?0??aba2cc2c2ca2c(2,)，所以PQ的垂直平分线方程为：y???(x?2)，令y?0，得bbbbba2a2x?c(1?2)，所以c(1?2)?3c，所以a2?2b2?2c2?2a2，即3a2?2c2，所以
bbe?6。故选B 22.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y?16x的准线交于A,B两点，AB?43；则C的实轴长为（）
2(A)2(B)22(C)?(D)?
12