解决中的作用。

AE：EB＝m：(m?n)EF?mBC?nAD（1）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，EF∥AD，求证：n，

（取自原人教版三年制初中几何第二册）。

（2）证明：正三角形内任一点到各边的距离之和为定值，并把上述结论进行推广。

CAEDFFPEGBC

ADB

（第1题） （第2题）

（四）数形结合思想

数学以现实世界的数量关系（简称“数”）与空间形式（简称“形”）作为其研究对象，而任何事物都有“数”与“形”两个侧面，它们互相联系，可以互相转化。把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系问题转化为图形性质进行研究，或者把图形性质问题转化为数量关系去研究，这种思维策略就是数形结合。

我国著名数学家华罗庚指出：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分割万事休。”数形结合不仅是数学研究中一种重要的思维策略，也是解决数学问题的一种基本思想。

综观数学的发展史，数与形的结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具，同时也使许多代数问题具有了鲜明的直观性，从而开拓出新的研究方向。例如，著名数学家笛卡尔通过数形结合使几何问题转化为代数问题，把长期分道扬镳的代数与几何结合起来，开辟了数学发展的新纪元。不仅由此创立的解析几何成为数学发展史上不朽的里程碑，他的研究也是运用数形结合思想方法的光辉范例。在现代数学中，人们常常把一个函数看作一个“点”，把一类函数的全体看作一个“空间”，由此引出了无穷维函数空间的概念。这样，求一个微分方程组解的问题，就转化为求相应函数空间中一个几何变换的不动点问题，从而使得抽象的分析问题获得了直观的几何意义。

在初等数学中，数形结合的思想应用十分广泛。在具体应用时，数形结合又有三种基本形式，这就是以形辅数、以数辅形和坐标法。

例12 如果方程 x2?8x?1?m?0 的一个根小于3，另一个大于3 ，求实数m的取值范围。

分析 如果仅从问题的数量关系进行考察，不仅需要解不等式组

?(?8)2?4(1?m)?0, ?

?(x1?3)(x2?3)???其中x1与x2是方程x2?8x?1?m?0的两个根，而且要结合

?x1?x2?8, ?

xx?1?m.?12进行研究，才能确定出实数m的范围，这种方法显然比较繁琐。

解 设f(x)?x2?8x?1?m，由已知条件可以画出函数图像的草图（如图5所示）。

3

图5

由于方程x2?8x?1?m?0的两个根一个小于3，另一个大于3 ，故有f(3)?0，即得 9?24?1?m?0， 从而m＞14，

∴ m的取值范围是m＞14.

例13 求f(x)?x2?9?x2?10x?29的最小值。

分析 这是较复杂的无理函数的极值问题。若记P(x,0)、A(0,3)、B(5,?2)，则由?ABC的两边之和不小于第三边（Ｐ、Ａ、Ｂ三点可以共线），得

f(x)?(x?0)2?(0?3)2?(x?5)2?(0?2)2

?PA?PB?AB?(0?5)2?(3?2)2?52

其中，等号在Ｐ、Ａ、Ｂ三点共线时成立，

∴ f(x)的最小值是52.

在例12与例13中，运用了“以形辅数”的数形结合思想。

例14 如图6，正方形纸片ABCD的边长为1，点E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折，当点B落在AC上点F处时，求折痕AE的长（精确到0.01）。

ADFBEC图6

分析 这个问题中给出了许多图形性质方面的条件，但仅仅从图形的方面考察，很难找出其中的联系。如果运用数形结合思想，则可以设BE＝x，通过寻求问题中的数量关系而得到关于x的方程，从而解决问题。

解 设BE＝x，则由△ABE≌△AFE可知 EF?x，EF?AC. 在正方形ABCD中，因为AC是一条对角线， ∴ ?ACB?45?, 从而 ?CEF?45?.

于是有 CF?EF， CE?EF2?CF2?x2＋x2?2x. 由 BE＋CE＝1，得 x＋2x?1， 解这个方程，得 x?1≈0.414，即BE?EF?0.414 1＋2在Rt△ABE中， AE2＝AB2?BE2?1?0.4142?1.171， ∴ AE≈1.08 .

在例14中，运用了“以数辅形”的数形结合思想。