数学思想与数学方法选讲 下载本文

解决中的作用。

AE:EB=m:(m?n)EF?mBC?nAD(1)如图,在梯形ABCD中,BC∥AD,EF∥AD,求证:n,

(取自原人教版三年制初中几何第二册)。

(2)证明:正三角形内任一点到各边的距离之和为定值,并把上述结论进行推广。

CAEDFFPEGBC

ADB

(第1题) (第2题)

(四)数形结合思想

数学以现实世界的数量关系(简称“数”)与空间形式(简称“形”)作为其研究对象,而任何事物都有“数”与“形”两个侧面,它们互相联系,可以互相转化。把问题的数量关系与空间形式结合起来考察,或者把数量关系问题转化为图形性质进行研究,或者把图形性质问题转化为数量关系去研究,这种思维策略就是数形结合。

我国著名数学家华罗庚指出:“数缺形时少直觉,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔离分割万事休。”数形结合不仅是数学研究中一种重要的思维策略,也是解决数学问题的一种基本思想。

综观数学的发展史,数与形的结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具,同时也使许多代数问题具有了鲜明的直观性,从而开拓出新的研究方向。例如,著名数学家笛卡尔通过数形结合使几何问题转化为代数问题,把长期分道扬镳的代数与几何结合起来,开辟了数学发展的新纪元。不仅由此创立的解析几何成为数学发展史上不朽的里程碑,他的研究也是运用数形结合思想方法的光辉范例。在现代数学中,人们常常把一个函数看作一个“点”,把一类函数的全体看作一个“空间”,由此引出了无穷维函数空间的概念。这样,求一个微分方程组解的问题,就转化为求相应函数空间中一个几何变换的不动点问题,从而使得抽象的分析问题获得了直观的几何意义。

在初等数学中,数形结合的思想应用十分广泛。在具体应用时,数形结合又有三种基本形式,这就是以形辅数、以数辅形和坐标法。

例12 如果方程 x2?8x?1?m?0 的一个根小于3,另一个大于3 ,求实数m的取值范围。

分析 如果仅从问题的数量关系进行考察,不仅需要解不等式组

?(?8)2?4(1?m)?0, ?

?(x1?3)(x2?3)???其中x1与x2是方程x2?8x?1?m?0的两个根,而且要结合

?x1?x2?8, ?

xx?1?m.?12进行研究,才能确定出实数m的范围,这种方法显然比较繁琐。

解 设f(x)?x2?8x?1?m,由已知条件可以画出函数图像的草图(如图5所示)。

3

图5

由于方程x2?8x?1?m?0的两个根一个小于3,另一个大于3 ,故有f(3)?0,即得 9?24?1?m?0, 从而m>14,

∴ m的取值范围是m>14.

例13 求f(x)?x2?9?x2?10x?29的最小值。

分析 这是较复杂的无理函数的极值问题。若记P(x,0)、A(0,3)、B(5,?2),则由?ABC的两边之和不小于第三边(P、A、B三点可以共线),得

f(x)?(x?0)2?(0?3)2?(x?5)2?(0?2)2

?PA?PB?AB?(0?5)2?(3?2)2?52

其中,等号在P、A、B三点共线时成立,

∴ f(x)的最小值是52.

在例12与例13中,运用了“以形辅数”的数形结合思想。

例14 如图6,正方形纸片ABCD的边长为1,点E为边BC上一点,将△ABE沿AE翻折,当点B落在AC上点F处时,求折痕AE的长(精确到0.01)。

ADFBEC图6

分析 这个问题中给出了许多图形性质方面的条件,但仅仅从图形的方面考察,很难找出其中的联系。如果运用数形结合思想,则可以设BE=x,通过寻求问题中的数量关系而得到关于x的方程,从而解决问题。

解 设BE=x,则由△ABE≌△AFE可知 EF?x,EF?AC. 在正方形ABCD中,因为AC是一条对角线, ∴ ?ACB?45?, 从而 ?CEF?45?.

于是有 CF?EF, CE?EF2?CF2?x2+x2?2x. 由 BE+CE=1,得 x+2x?1, 解这个方程,得 x?1≈0.414,即BE?EF?0.414 1+2在Rt△ABE中, AE2=AB2?BE2?1?0.4142?1.171, ∴ AE≈1.08 .

在例14中,运用了“以数辅形”的数形结合思想。