四川师范大学数软学院应用数学专业 2005－2006学年度第一学期期末考试

常微分方程试卷（二）

一、 填空题：(30分)（每小题3分）

1、双参数函数族y?C1exsinx?C2excosx (C1,C2为参数) 所满足的微分方程

为 .

2、一阶线性微分方程

3、微分方程(2xsiny?3xy)dx?Q(x,y)dy?0是恰当方程,则 . 4、与曲线族2x?y?C相交成

2dy?2y?xe?x的通解为 . dx?Q(x,y)= ?x?角的曲线族是 . 2?dx?dt?2x?4y?siny?5、方程?的奇点（0，0）的类型为 .

?dyy?dt?x?y?e?1?dy226、方程()?y?1?0的奇解为 .

dx?ex?dy?34???1??????y??7、方程组满足初值条件y(0)???1??的解?1?52dx???????为 . 8、函数组

?1(x)?cos?x,?2(x)?sin?x的朗斯基行列式

W(x)= .

9、动力系统的三个基本性质: 1) 2)

3) . ?dy??x2?y210、求初值问题 ?dx R:x?1?1,y?1, 求它的一次近似解

??y(?1)?0,?1(x)= 和二次近似解?2(x)= . 二、计算题：(共40分)（每小题10分）

11、求解微分方程：

dyx?y?1. ?dxx?y?342?dy?12、求解微分方程y??y?1???的奇解. 9?dx?

13、求初值问题

2dy?x?y?1,dxy(0)?0

的皮卡序列，并由此取极限求解.

14、求常系数齐次线性微分方程组

dy??31????y的通解. ??dx?8?1?三、证明题(共30分)（每小题10分）

?dy??excosy2??ex15、设(x,y)?R,?(x)是初值问题?dx的解，证明?(x)?0,x?R.

?y(0)?0?2

16、证明：P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0 有形如?(x,y)??(?(x,y))的积分因子当且仅当

?P?yQ???x

Q???x?P???y?f(?(x,y)).

17、设当a?x?b时，非齐次线性微分方程组

0. 证明(1)有且至多有n?1个线性无关解.

dy?A(x)y?f(x)（1）中的f(x)不恒为dx