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☆☆☆ 北师大版数学七年级【下册】

第一章 整式的乘除

一、 同底数幂的乘法

同底数幂的乘法法则: 注意以下几点:

①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是 一个单项或多项式；

②指数是1时，不要误以为没有指数；

③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；

④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为a⑤公式还可以逆用：a

m?nmam?an?am?n(m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要

?an?ap?am?n?p（其中m、n、p均为正数）；

?am?an（m、n均为正整数）

二．幂的乘方与积的乘方

1. 幂的乘方法则：(a2.

mn)?amn(m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.

(am)n?(an)m?amn(m,n都为正数).

如将（-a）3化成-a3

3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，

?an(当n为偶数时),一般地,(?a)??n

??a(当n为奇数时).n4．底数有时形式不同，但可以化成相同。

5．要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。 6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab) 为正整数）。

7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

n?anbn（n

三. 同底数幂的除法

1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即a 且m>n).

2. 在应用时需要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0. ②任何不等于0的数的0次幂等于1,即a0m?an?am?n (a≠0,m、n都是正数,

?1(a?0),如100?1,(-2.50=1),则00无意义.

?p③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即a?1ap( a≠0,p是

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正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的; 当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负

11?3,(?2)?? 48④运算要注意运算顺序.

的,如(-2)-2?

四. 整式的乘法

1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：

①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘 与指数相加混淆；

②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；

③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 2．单项式与多项式相乘

单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； ③在混合运算时，要注意运算顺序。 3．多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多 项式项数的积；

②多项式相乘的结果应注意合并同类项；

③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘

(x?a)(x?b)?x2?(a?b)x?ab，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常

数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到(mx?a)(nx?b)?mnx2?(mb?ma)x?ab

五．平方差公式

1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即(a?b)(a?b)?a其结构特征是：

①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数； ②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

2?b2。

六．完全平方公式

1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍， 即(a?b)2?a2?2ab?b2；

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口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央； 2．结构特征：

①公式左边是二项式的完全平方；

②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。 3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现(a?b)误。

2?a2?b2这样的错

七．整式的除法

1．单项式除法单项式

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式； 2．多项式除以单项式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。

【典例讲解】

（一）填空题（每小题2分，共计20分）

103212（ ）

1．x＝（－x）·_________＝x÷x

2．4（m－n）÷（n－m）＝___________．

232

3．－x·（－x）·（－x）＝__________．

22

4．（2a－b）（）＝b－4a．

22

5．（a－b）＝（a＋b）＋_____________．

6．（

7．20

8．用科学记数法表示－0.0000308＝___________．

222

9．（x－2y＋1）（x－2y－1）＝（ ）－（ ）＝_______________．

2

10．若（x＋5）（x－7）＝x＋mx＋n，则m＝__________，n＝________．

（二）选择题（每小题2分，共计16分）

11．下列计算中正确的是………………………………………………………………（ ） （A）a·a＝a12．x2m＋1

32

1－2010199

）＋?＝_________；4×0.25＝__________． 312×19＝（ ）·（ ）＝___________．

33n22n （B）（a）＝a325

（C）x·x·x＝x437

（D）a2n－3

÷a3－n＝a3n－6

可写作…………………………………………………………………………（ ）

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（A）（x）

2m＋1

（B）（x）

m2＋1

（C）x·x2m （D）（x）

mm＋1

13．下列运算正确的是………………………………………………………………（ ） （A）（－2ab）·（－3ab）3

＝－54a4b4

（B）5x2

·（3x3

）2

＝15x12

（C）（－0.16）·（－10b2

）3

＝－b7

（D）（2×10n）（

12×10n）＝102n 14．化简（anbm）n，结果正确的是………………………………………………………（ （A）a2nbmn （B）an2bmn （C）an2bmn （D）a2nbmn

15．若a≠b，下列各式中不能成立的是………………………………………………（ （A）（a＋b）2

＝（－a－b）2

（B）（a＋b）（a－b）＝（b＋a）（b－a） （C）（a－b）2n＝（b－a）

2n （D）（a－b）3

＝（b－a）

3

16．下列各组数中，互为相反数的是…………………………………………………（ （A）（－2）－3

与23

（B）（－2）－2与2

－2

（C）－33

与（－

13）3 （D）（－3）－3

与（13 3） 17．下列各式中正确的是………………………………………………………………（ （A）（a＋4）（a－4）＝a2

－4 （B）（5x－1）（1－5x）＝25x2

－1 （C）（－3x＋2）2

＝4－12x＋9x2

（D）（x－3）（x－9）＝x2

－27

18．如果x2

－kx－ab＝（x－a）（x＋b），则k应为…………………………………（ （A）a＋b （B）a－b （C）b－a （D）－a－b

4分，共24分）

19．（1）（－3xy2

）3

·（16x3y）2

；

（2）4a2x2

·（－

25a4x3y3）÷（－12a5xy2）；

（3）（2a－3b）2（2a＋3b）2

；

） ） ） ） ）

（三）计算（每题