欢迎使用 5.立体几何
1．空间几何体表面积和体积的求法
几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法．
[问题1] 底面边长为2，高为1的正三棱锥的表面积为________． 答案 33
解析 由题意作出图形如图．
∵三棱锥P－ABC是正三棱锥，顶点P在底面上的射影D是底面的中心，取BC的中点F，连结PF，DF，PD. 在△PDF中，PD＝1，DF＝∴PF＝
1231＋＝， 33
3
， 3
123
∴棱锥的侧面积S侧＝3××2×＝23，
23∵底面积为3，∴表面积为33. 2．空间平行问题的转化关系
平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等．
部编本 欢迎使用 [问题2] 下列命题正确的是________．(填序号)
①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行； ③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b； ④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α. 答案 ④
3．空间垂直问题的转化关系 线线垂直
线面垂直的判定线面垂直的定义
线面垂直
面面垂直的判定面面垂直的性质
面面垂直
垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有： 等腰三角形底边上的中线、勾股定理、平面几何方法等． [问题3] 已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数是________． 答案 1
易错点1 旋转体辨识不清
例1 如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积．
易错分析 注意这里是旋转图中的阴影部分，不是旋转梯形ABCD.在旋转的时候边界形成一个圆台，并在上面挖去了一个“半球”，其体积应是圆台的体积减去半球的体积．解本题易出现的错误是误以为旋转的是梯形ABCD，在计算时没有减掉半球的体积．
部编本 欢迎使用 解 由题图中数据及圆台和球的体积公式，得
V圆台＝×π(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)， V半球＝π×23×＝π(cm3)．
所以旋转体的体积为
43
11623
13
V＝V圆台－V半球＝52π－π＝
1631403
π(cm)． 3
易错点2 线面关系把握不准
例2 设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a?α，a?β，则下列结论中正确的个数为________．
①若b?β，a∥b，则a∥β； ②若a⊥β，α⊥β，则a∥α； ③若a⊥b，b⊥α，则a∥α.
易错分析 本题易出现的问题就是对空间点、线、面的位置关系把握不准，考虑问题不全面，不能准确把握题中的前提——a?α，a?β，对空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理中的条件把握不准导致判断失误．如①中忽视已知条件中的a?β，误以为该项错误等． 解析 对于①，若有b?β，a∥b，且已知a?β，所以根据线面平行的判定定理可得a∥β，故①正确；对于②，若a⊥β，α⊥β，则根据空间线面位置关系可知，a?α或a∥α，而由已知可知a?α，所以a∥α，故②正确；对于③，若a⊥b，b⊥α，所以a?α或a∥α，而由已知可得a?α，所以a∥α，故③正确． 答案 3
易错点3 线面关系论证不严谨
例3 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点． (1)求证：EF∥平面ABC1D1； (2)求证：EF⊥B1C.
易错分析 利用空间线面关系的判定或性质定理证题时，推理论证一定要严格按照定理中的条件进行，否则出现证明过程不严谨的问题． 证明 (1)连结BD1，如图所示．
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在△DD1B中，E，F分别为DD1，DB的中点，则
EF∥D1B，??
?D1B?平面ABC1D1，??EF?平面ABC1D1
11
?EF∥平面ABC1D1.
(2)ABCD－A1B1C1D1为正方体?AB⊥平面BCC1B1
BC⊥AB，??BC⊥BC，??AB，BC?平面ABCD，??AB∩BC＝B11
111
??B1C⊥平面ABC1D1，??
?BD1?平面ABC1D1???B1C⊥BD1，??
?EF∥BD1?
?EF⊥B1C.
1．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________．(填上所有正确命题的序号) ①若α∥β，m?α，则m∥β； ②若m∥α，n?α，则m∥n；
③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β. 答案 ①④
解析 ①这是面面平行的性质，正确；②只能确定m，n没有公共点，有可能异面，错误；③当m?α时，才能保证m⊥β，错误；④由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，所以m⊥β，正确．
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