清华大学硕士电路原理-15
(总分：100.00，做题时间：90分钟)
一、解答题(总题数：10，分数：100.00)
1.求下列函数f(t)的象函数。 (1)f(t)=1+2t+3e (2)f(t)=3te (3)f(t)如下图所示。
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：解 已知原函数f(t)，求其象函数F(s)可利用拉普拉斯正变换(以下简称拉氏变换)的定义式，或直接利用常用函数的拉普拉斯变换式及变换的性质。用定义求象函数较繁，而一般给定的原函数是常用函数，可利用变换结果和一些变换的性质直接求象函数。 (1)直接利用常用函数的拉氏变换结果得 (2)直接利用常用函数的拉氏变换结果得 (3)先由题目中的图写出函数的时域表达式为 f(t)=t[ε(t)-ε(t-1)]+[ε(t-1)-ε(t-2)] =tε(t)-(t-1)ε(t-1)-ε(t-2)
利用常用函数的拉氏变换结果和时域的平移性质得其象函数为 -4t-5t
(1).求函数f(t)=1+2e +3te 的象函数。（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：解
-t
(2).函数f(t)为e 在0～2s之间的波形，如下图所示，求f(t)的象函数。
（分数：5.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：解 由题目中的图写出函数f(t)的时域表达式为 f(t)=e [ε(t)-ε(t-2)]=e ε(t)-e e 则其象函数为
2.已知下列象函数F(s)，求原函数f(t)。
-t
-t
-2
-(t-2)
-5t
-4t
ε(t-2)
（分数：10.00）
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解析：解 一般可利用一些常用函数的拉氏变换表，并利用变换性质得到原函数。 (1)将F(s)作部分分式展开得 作拉氏反变换得
f(t)=(-e +2e )ε(t) (2)同样将F(s)作部分分式展开得 作拉氏反变换得
f(t)=(2-te -2e )ε(t) (3)F(s)的表达式可表示为两项：
求上式中第二项的原函数要用到拉氏变换的时域平移性质。F(s)的原函数为 f(t)=2e ε(t)+3e 3.已知象函数
（分数：10.00）
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解析：解法1 象函数F(s)分母多项式的根分别为 s 1,2 =±j2，s 3,4 =-1±j2 则F(s)的部分分式展开式为
则
k 1 =F(s)(s-j2)| s1=j2 =2.5 k 2 =F(s)(s+j2)| s2=-j2 =2.5 k 3 =F(s)(s+1-j2)| s3=-1+j2 =j2.5 k 4 =F(s)(s+1+j2)| s4=-1-j2 =-j2.5 令 k 1 =|k 1 |e 则
利用共轭复根时的拉氏反变换结果可得原函数为 f(t)=[2|k 1 |e
-t
-αt1jθ1
-t
-(t-1)
-t
-t
-2t
-3t
ε(t-1)
，求其原函数f(t)。
=2.5e ，k 3 =|k 3 |e 3 =2.5e
j0°jθj90°
cos(ω 1 t+θ 1 )+2|k 3 |e -αt3 cos(ω 3 t+θ 3 )]ε(t)
=(5cos2t+5e sin2t)ε(t)
解法2 可利用比较系数法将F(s)变换如下形式：
利用余弦函数、正弦函数及拉氏变换的复频域平移性质可得F(s)的原函数为 f(t)=(5cos2t+5e sin2t)ε(t)
-t
4.下图所示电路已达稳态，t=0时断开开关S，用拉普拉斯变换法求换路后的u C (t)。
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：() 解析：解 (1)求初值
由换路前的稳态电路可求得电容电压和电感电流的稳态值分别为 (2)作出运算电路模型 运算电路模型如下图所示。 (3)求待求变量的象函数
由运算电路及KVL可列写回路方程为 整理得
则电容电压的象函数为
(4)作拉氏反变换，得到时域表达式 将U C (s)作部分分式分解得 其中
则 。由共轭复根时的拉氏反变换结果可得
-αt
u C (t)=2|k 1 |e cos(ωt+θ)=10e cos(3t+53.1°)V (t≥0)
-t
或在求得U C (s)的表达式后，将其整理如下：
对上式利用余弦函数、正弦函数及拉氏变换的复频域平移性质作拉氏反变换得 u C (t)=6e cos3t-8e sin3tV(t≥0)
5.下图所示电路开关S断开前处于稳态。t=0时断开开关S，用拉普拉斯变换法求电容电压u (t)(t≥0)。 C
（分数：10.00）
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解析：解 由换路前电路求得i L (0 )=1A，u C (0 )=1V。 运算形式的电路模型如下图所示。
---t
-t
由运算电路列写节点电压方程为 其中
则
u C (t)=2×0.577e =1.15e
-0.5t
-0.5t
cos(0.866t+30°)
cos(0.866t+30°)V (t≥0)
或将U C (s)作如下变换： 作拉氏反变换得 u C (t)=e
-0.5t
cos0.866t-0.577e
-
-0.5t
sin0.866tV (t≥0)
-
6.下图所示电路中，已知i(0 )=2A，u C (0 )=1V。t=0时闭合开关S。用拉普拉斯变换法求换路后电容电压u C (t)。
（分数：10.00）
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解析：解 运算形式电路模型如下图所示。 以U C (s)为变量对节点A列写节点电压方程为 解得U C (s)并作部分分式展开为 其中
作拉氏反变换得
7.用拉氏变换法求下图电路中开关S闭合后的电容电压u C (t)(要求画出运算电路模型)。
（分数：10.00）
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解析：解 由换路前稳态电路求得 运算电路模型如下图所示。 由运算电路列写节点电压方程为