《概率论与数理统计》
概率练习题附答案
06-07-1《概率论与数理统计》试题A
一、填空题（每题3分，共15分）
1. 设A，B相互独立，且P(A?B)?0.8,P(A)?0.2，则P(B)?__________. 2. 设事件A、B、C构成一完备事件组，且P(A)?0.5,P(B)?0.7,则
P(C)?
3. 已知X~N(2,?2)，且P{2?X?4}?0.3，则P{X?0}?__________. 4. 设X与Y相互独立，且E(X)?2，E(Y)?3，D(X)?D(Y)?1，则E[(X?Y)2]?___
5. 设X~B(2,p),Y~B(3,p)，且P{X?1}?二、选择题（每题3分，共15分）
1. 一盒产品中有a只正品，b只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】
a(a?1)(A) a?1；(B) ；(C) a；(D) ?a? .
?a?b?a?ba?b?1(a?b)(a?b?1)??25，则P{Y?1}?__________. 9c1?x?32. 设随机变量X的概率密度为p?x???则方差D(X)= 【 】 ?0, 其他?(A) 2； (B)
11； (C) 3； (D) . 233． 设A、B为两个互不相容的随机事件，且P?B??0，则下列选项必然正确的是【 】
?A?P?A??1?P?B?；?B?P?AB??0；?C?P?AB??1；?D?P?AB??0．
4. 设f?x??sinx是某个连续型随机变量X的概率密度函数，则X的取
值范围是【 】
?A???0,???2? ?B??0,?；
2??； ?C?????3???????D； ． ,?,???2?2??2?5. 设X~N?,???，Y?aX?b，其中a、b为常数，且a?0，
1
《概率论与数理统计》
则Y~【 】 ?A?Na??b,??C?N?a??b,a2?2?b2； ?B?Na??b,a2?2?b2； a2?2a2?2．
??； ?D?N?a??b,???三、（本题满分8分） 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被命中，求它是乙命中的概率.
四、（本题满分12分）设随机变量X的密度函数为f(x)?（1）常数A； （2）P{0?X?
五、（本题满分10分）设随机变量X的概率密度为
A，求：
ex?e?x1ln3}； （3）分布函数F(x). 2?6x(1?x),0?x?1 f?x???0,其他?求Y?2X?1的概率密度.
六、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）P?Y?X?.
七、（本题满分10分）二维随机变量（X，Y）的概率密度为
?Ae?(x?2y),x?0,y?0 f(x,y)??0,其他?求：（1）系数A；（2）X，Y的边缘密度函数；（3）问X，Y是否独立。
2
《概率论与数理统计》
八、（本题满分10分）某射手每次射击击中目标的概率都是p(0?p?1),他手中有10发子弹准备对一目标连续射击(每次打一发),一旦击中目标或子弹打完了就立刻转移到别的地方去,问他在转移前平均射击几次?
九、（本题满分10分）10个考签中有4个难签,3人参加抽签考试,不重复地抽取,每人一次,甲先.乙次.丙最后,证明:三人抽到难签的概率相等. 附加题：
一、填空题
1． 设随机事件A,B互不相容，且P(A)?0.3，P(B)?0.6，则
P(BA)? .
2．已知连续型随机变量的分布函数为：
?0,x??1?F(x)??a(x3?1),?1?x?1，则常数a? ,概率密度
?1,x???函数f(x)? .
3. 设随机变量X在(0,4)上服从均匀分布,则E(X)? ，
D(X)? .
?1?x/??e,x?04.设随机变量X的概率密度函数为f(x)????其它?0,
3
, 则
《概率论与数理统计》
E(X)? ，D(X)? .
5．设随机变量X,Y相互独立，且X~b(10,0.5),Y~N(1,4)，记
Z?X?2Y，则E(Z)? ,D(Z)? .
6．设E(X)??，D(X)??2(?0)，则利用切比雪夫不等式估计
P?|X??|?5??? .
二、单项选择题
1. 设A,B,C是3个随机事件,则A?B?C表示 . A. A,B,C都发生 B. A,B,C都不发生 C. A,B,C至少有一个发生 D. A,B,C不多于一个发生
2． 三人独立地猜一谜语,已知各人能猜出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4. 则三人中至少有一人能猜出此谜语的概率是 . A. 3/5 B. 2/5 C. 1/60 D. 59/60 3. 设X,Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为
FX(x)、FY（y),则Z?max(X,Y)的分布函数为 . A.
FZ(z)?max?FX(z),FY(z)? B.
FZ(z)?max?FX(z),FY(z)?
C. FZ(z)?FX(z)FY(z) D. FZ(z)?FX(z)FY(z) 4．设随机变量X~N??1,2?，Y~N?1,2?，令U?2X?Y，
4
《概率论与数理统计》
V?2X?Y，则Cov(U,V)? .
A.0 B.2 C.3 D.6
三．计算题（共54分，9分/题）
1．将两信息分别编码为A和B发送出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.04；而B被误收作A的概率为0.07，信息A与信息B传送频繁程度为3:2．若已知接收到的信息是A，求原发信息也是A的概率．
2. 盒子中有5个球，编号分别为1,2,3,4,5．从中随机取出3个球，引入随机变量X，表示取出的3个球中的最大号码． (1) 求随机变量X的分布律; (2) 求随机变量X的分布函数．
3．设随机变量X~N?0,1?，Y?X2?1，试求随机变量Y的概率密度函数．
5
《概率论与数理统计》
4．设(X,Y)的联合概率密度函数为
?2122?xyx?y?1f?x，y???4，
?其它?0（1）求P?Y?X?;
（2）求(X,Y)的边缘概率密度函数fX(x),fY(y)； （3）判断随机变量X与Y是否相互独立.
5．某运输公司有500辆汽车参加保险，在一年内每辆汽车出事故的概率为0.006，每辆参加保险的汽车每年交保险费800元，若一辆车出事故保险公司最多赔偿50000元．试利用中心极限定理计算，保险公司一年赚钱不小于200000元的概率．
附：标准正态分布分布函数??x?表：
x ??x?
0.56 0.7123 0.57 0.7157 0.58 0.7190 0.59 0.7224 6
《概率论与数理统计》
07-08-1《概率论与数理统计》试题A
一．选择题（将正确的答案填在括号内，每小题4分，共20分） 1．检查产品时，从一批产品中任取3件样品进行检查，则可能的结果是：未发现次品，发现一件次品，发现两件次品，发现3件次品。设事件Ai表示“发现i件次品” ?i?0,1,2,3?。用A0,A1,A2,A3表示事件“发现1件或2件次品”，下面表示真正确的是（ ）
(A)A1A2; (B)A1?A2; (C) A0?A1?A2?; (D) A3?A1?A2?. 2．设事件A与B互不相容，且P?A??0，P?B??0，则下面结论正确的是（ ）
??(C) P?AB??P?A?P?B?; (D)P?AB??P?A?.
(A)2X?Y~N?0,1?; (B)(C)2X?Y?1~N?1,9?; (D)
(A) A与B互不相容; (B)PBA?0;
Y~N?2,4?，3．设随机变量X~N?1,2?，且X与Y相互独立，则（ ）
2X?Y232X?Y?123~N?0,1?;
~N?0,1?.
4．若函数y?f?x?是随机变量X的概率密度，则（ ）一定成立。 （A）f?x?的定义域为[0, 1] （B）f?x?的值域为[0, 1] （C）f?x?非负 （D）f?x?在???,???内连续. 5．设随机变量X服从泊松分布:X~P???，且E?2X?1??7，则（ ）。 （A）??7 （B）??3 （C）??2 （D）??1
二．填空（将答案填在空格处，每小题4分，共20分）
1．已知A,B两个事件满足条件P?AB??PAB，且P?A??p，则
??P?B??_________. 2．3个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为,
7
111,，则543《概率论与数理统计》
此密码被破译出的概率是 .
2x,0?x?1,3．设随机变量X的密度函数为f?x???，用Y表示对X的?其他?0,1??则P?Y?2?? . ?出现的次数，
2??4．设两个随机变量X和Y相互独立，且同分布：
3次独立重复观察中事件?X?P?X??1??P?Y??1??1，P?X?1??P?Y?1??1，则P?X?Y22?? .
??0,x?0??，则?5．设随机变量X的分布函数为：
F?x???Asinx,0?x?2???1,x???2A? . 三．计算
1．（8分）盒中放有10个乒乓球，其中有8个是新的。第一次比赛从中任取2个来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中取2个，求第二次取出的球都是新球的概率。
2．（6分）设随机变量X和Y独立同分布，且X的分布律为：
12P?X?1??,P?X?2??
33求Z?X?Y的分布律。
8
《概率论与数理统计》
3．（12分）设随机变量X的密度函数为：f?x??Ce?x????x????
2（1）试确定常数C ；（2）求PX?1；（3）求Y?X的密度函数。
4．（20分）设二维连续型随机变量?X,Y?的联合概率密度为：
???1?xy,?f?x,y???4
??0x?1,y?1其他
（1） 求随机变量X和Y的边缘概率密度； （2） 求EX,EY和DX,DY；
（3） X和Y是否独立？求X和Y的相关系数R?X,Y?，并说明X和
Y是否相关？
（4） 求P?X?Y?1?。
5.（6分）甲、乙、丙的命中率分别为70%、50%、30%，设每个人都足够聪明与理智，按丙、乙、甲顺序先后进行循环射击比赛，问每个人胜出的概率为多少？
6.（8分）设某顾客在一银行的窗口等待服务的时间（单位：分钟）
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《概率论与数理统计》
?1?X~E??，若等待时间超过十分钟就离去，求（1）顾客某天去银行未
?5?等到服务离开的概率；（2）顾客一个月内去银行五次，五次中至少有一次未等到服务离开的概率。
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《概率论与数理统计》
08-09-1《概率论与数理统计》试题A
一、填空题（每题3分，共15分）
1．已知随机变量X服从参数为2的泊松（Poisson）分布，且随机变量
Z?2X?2，则E?Z?? ____________．
2．设A、B是随机事件，P?A??0.7，P?A?B??0.3，则P?AB?? 3．设二维随机变量?X,Y?的分布列为
Y X 1 2 1 2 3
111 69181 ? ? 3若X与Y相互独立，则?、?的值分别为 。
4．设 D?X??4, D?Y??1, R?X,Y??0.6，则 D?X?Y??___ _ 5．设有7个数，其中4个负数3个正数，任取两数做乘法，两数积为正数的概率为（ ）。
二、选择题（每题3分，共15分）
1．10个球中只有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，直到第n次才 取得k?k?n?次红球的概率为（ ）。
1??9??A???????10??10?kn?kk?1??9?； ?B?Cn?????10??10?kn?k；
n?k?C?C
k?1n?1?1??9??????10??10?kn?k； ?D?Ck?1n?1?1????10?k?1?9????10?。
2．下列函数中，（ ）可以作为连续型随机变量的分布函数。
?ex ?A?F?x????1 ?C?F?x????e?xx?0； ?B?F?x???x?0?1x?0xx?0；
x?0x?0?x?0?1?ex?0； ?D?F?x????0?1?ex?0。
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《概率论与数理统计》
3．随机变量X的方差存在，则一定有（ ）。 ?A?EX?0； ?B?E?X???EX?；
22 ?C??EX??EX2； ?D?以上都不对。
2??
4．如果X,Y满足D(X?Y)?D?X?Y?，则必有( )。 （A）X与Y独立；（B）X与Y不相关；（C）DY?0；（D）DX?0 5．设相互独立的两个随机变量X与Y具有同一分布律，且X的分布律为
X P 0 1 11 22则随机变量Z?max?X,Y?的分布律为（ ）。 (A)P?z?0??11,P?z?1??； (B) P?z?0??1,P?z?1??0； 221331,P?z?1??；(D) P?z?0??,P?z?1??。 4444(C) P?z?0??三、（本题满分8分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品的概率.
四、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）P?Y?X?.
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《概率论与数理统计》
五、（本题满分12分）设随机变量X~N?0,1?，Y?X?1，试求随
2机变量Y的密度函数．
六、（10分）设X的密度函数为f(x)?1?e2x,x?(??,??)
① 求X的数学期望E(X)和方差D(X)；
② 求X与X的协方差和相关系数，并讨论X与X是否相关？
七、（本题满分10分）二维随机变量（X，Y）的概率密度为
?Ae?(x?2y),x?0,y?0 f(x,y)??0,其他?求：（1）系数A；（2）X，Y的边缘密度函数；（3）问X，Y是否独立。
八、（本题满分12分） 在某年举行的高等教育大专文凭认定考试中,已知某科的考生成绩：X~N??，??，及格率为25%,，80分以上的为3%，
2求此科考生的平均成绩及成绩的标准差?
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《概率论与数理统计》
九、（本题满分8分）若f?x?、g?x?在区间[a,b]上都是随机变量的分布密度，证明：
(1) f?x??g?x?在区间[a,b]上不能成为随机变量的分布密度; (2)对任一数??0???1?，?f?x???1???g?x?在区间[a,b]上可为随机变量的分布密度。
附加题1。现有90台同类型的设备，各台设备的工作是相互独立的，发生故障的概率是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理，配备维修工人的方法有两种：一种是3人分开维修，每人负责30台；另一种是3人共同维护90台。试比较两种方法哪一种较优？
B是两个随机事件，P?A??0.6，P?B??0.7，问：2. 设A、（1）在什么
条件下P?AB?取到最大值？最大值是多少？（2）在什么条件下P?AB?取到最小值？最小值是多少？
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《概率论与数理统计》
3. 设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日内无故障可获利8万元，发生一次故障仍获利4万元，发生两次故障获利0元，发生三次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润是多少。
4. 三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：
（1）恰好取到不合格品的概率；
（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。
5. 设G为由抛物线y?x和y?x所围成区域，(X，Y)在区域G上服从均匀分布，试求：
（1）X、Y的联合概率密度及边缘概率密度； （2）判定随机变量X与Y是否相互独立。
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2《概率论与数理统计》
06-07-1《概率论与数理统计》试题A参考答案
一、1. 0.75；2. 0.2；3. 3；4.
?2(n)；5.
二、1、 (C)；2、 (D)；3．?B?；4、?A?；5、?D?
三、解：设A表示事件“甲命中目标”，B表示事件“乙命中目标”，则A?B表示“目标被命中”，且
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
?P(A)?P(B)?P(A)P(B) ?0.5?0.4?0.5?0.4?0.7 所求概率为P(B/A?B)?19 27P[B(A?B)]
P(A?B)?P(B)0.4??0.57
P(A?B)0.7??四、解：（1）由???f(x)dx?1，即
??Aexx???ex?e?xdx?A????1?(ex)2dx?A?arctane2所以A?.
????????2A?1
?x1ln3ln31dx2e??21???02dx （2）P?0?X?ln3????02x?xx22?e?e1?(e)???2????1????
???34?6x2xdt2?arctanex （3）分布函数F(x)????f(t)dt?????t?t??e?e五、解：FY(y)?P{Y?y}?P?2X?1?y?
?2?arctane?y?1y?1??2?P?X?fX(x)dx ?????2??1ln3x20y?1?0即y?1时，FY(y)?0； 2y?11y?1当0? ?1即1?y?3时，FY(y)??026x(1?x)dx?(y?1)2(4?y)；
421y?1当?1即y?3时，FY(y)??06x(1?x)dx?1；
2当即
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《概率论与数理统计》
0,y?1??1FY(y)??(y?1)2(4?y),1?y?3
?41,y?3??3?(y?1)(3?y),1?y?3所以fY(y)??4
?0,其他?六、解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，3. 且
1?1?P?X?0,Y?3?????，
8?2?P?X?1,Y?1??C1333?1??1??????，
8?2??2??1??1?3?????， ?2??2?8322P?X?2,Y?1??C231?1?P?X?3,Y?3?????.
8?2?于是，（1）（X，Y）的联合分布为 Y 3 1 X 10 0 831 0 832 0 813 0 81（2）P?Y?X??P?X?0,Y?3??.
8七、解：（1）由1???????f(x,y)dxdy??0???????0??Ae?(x?2y)dxdy
?A?0e?xdx?0e?2ydy?所以A?2.
（2
）
X
的
边
????1A 2密
度
函
数
：
缘
fX(x)???????e?x x?0. f(x,y)dy??其他?0,17
《概率论与数理统计》
Y的边缘密度函数：fY(y)???????2e?2y y?0. f(x,y)dx??其他?0,（3）因f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X，Y是独立的. 八、解：E(X)?令EX?X，即
??????xf(x)dx????1x??x??1dx????1
??1???X，得参数?的矩估计量为?X X?1??n,xi?1(i?1,2,?,n)?n??1n??似然函数为L(?)??f(xi,?)????x?
i?i?1??i?1??0,其他?当xi?1(i?1,2,?,n)时，L(?)?0，
lnL(?)?nln??(??1)?lnxi
i?1nndlnL(?)n???lnxi?0 d??i?1得参数?的极大似然估计值为
??n ?n?lnxi九、解：由于正态总体N置信区间为
??,??中期望?与方差?2都未知，所以所求
2i?1??SS??． ????X?tn?1,X?tn?1????n2n2???由??0.05，n?16，得?0.025．查表，得t0.025?15??2.1315．
2116 由样本观测值，得x??xi?503.75，
16i?11162??s?x?x?6.2022． ?i15i?1s6.2022所以， x?t??n?1??503.75??2.1315?500.445，
n216s6.2022t??n?1??503.75??2.131?550.7055 x?， n216,507.055? 因此所求置信区间为?500.445
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《概率论与数理统计》
07-08-1《概率论与数理统计》试题A参考答案
一．1．B；2D．；3．B；4．C；5．A. 二．1．P?B??1?p；2．
391；3．；4．；5．1. 5642三．1．解：设用Ai表示：“第一次比赛取出的两个球中有i个新球”，
i?0,1,2；
B表示：“第二次取出的两个球都是新球”。则
22C8C2128 P?A0??2?；P?BA0??2?
C1045C1045112C2C816C721 P?A1??； ???PBA??12245C10C104522C8C62815 P?A2??2?；P?BA2??2?
C1045C1045则
P?B??P?A0?P?BA0??P?A1?P?BA1??P?A2?P?BA2??2．解：Z?X?Y的可能取值为2，3，4，则 P?Z?2??P?X?1,Y?1??
784?0.3872025111?? 339P?Z?3??P?X?1,Y?2??P?X?2,Y?1?? P?Z?4??P?X?2,Y?2??所以Z?X?Y的分布律为： Z 2 12214???? 33339224?? 3393 4 P 3．解（1）
1 9?x??04 94 9?????f?x?dx??Ce????dx?2C?e?xdx?2C?1
1 21?x?f?x??e????x????
211?x11edx??e?xdx?1? （2）P?X?1????120e2 （3）当y?0时，F?y??PX?y?0；
得：C??? 19
《概率论与数理统计》
当y?0时，
F?y??P?X2?y??P?y?X??y???y?y1?xedx??e?xdx y20?0,??y?f?y??F??y???e,?2y?4．解（1）当x?1时，
y?0y?0
fX?x???????f?x,y?dy??1?xy1dy?，
?1421?1?,x?1则fX?x???2
??0,其他?1?,y?1同理fY?y???2
??0,其他??1xdx?0 （2）EX??xfX?x?dx?????12 同理：EY??2????yfY?y?dy?0
1x21EX??xfX?x?dx??dx?
???123??122 同理：E?Y???yfY?y?dy?
??31122 DX?E?X???EX???0?
33122 同理：DY?E?Y???EY??
3（3）由于f?x,y??fX?x?fY?y?，所以X和Y不独立。
??2??1?1?1?xy??1??xyfx,ydxdy?dyxy???dx?? ????????1???14??9??1?0E?XY??EX?EY91???0 R?X,Y??13DXDY3 所以X和Y相关。
E?XY?????? 20
《概率论与数理统计》
（4）P?X?Y?1??x?y?1??f?x,y?dxdy
0111?x1?1?179???3??????dx?xydy??dx?xydy??
?0?1??1?1?964?2?4?5．解：似然函数为：
L?p???P?Xi?xi????1?p?i?1i?1nnxi?1xi?n p?pn?1?p??1?1n?n?lnL?p??nlnp??x?n???i?ln?1?p?
?i?1?令
dlnL?p?n??dpp?xi?1ni?n?0
1?p1 X6．解：假设H0:??500，H1:??500 ??得参数p的极大似然估计为：p 选择统计量：T?X??S 统计量的样本值：T?10498?500~t?9?
6.510??0.97
由于T?0.97?t0.01?9??2.82，接受原假设H0。所以在显著性水平??0.02下，可以认为自动装罐机工作正常。
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《概率论与数理统计》
08~09-1学期《概率论与数理统计》试题A参考答案
21一、填空题：1、2；2、0.4；3．??,??；4、2.6；5、?2(n)
99二、选择题：1、C；2、D；3、B；4、B；5、C
三、解：设Bi=“取出的零件由第 i 台加工”(i?1,2)
21P?A??P?B1?P?AB1??P?B2?P?AB2???0.97??0.98?0.973
33四、解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：1，
3. 且
3213?1?1?1??1?P?X?0,Y?3?????，P?X?1,Y?1??C3?????，
88?2??2??2?1?1??1?3?1?P?X?2,Y?1??C?????，P?X?3,Y?3?????.
8?2??2?8?2?于是，（1）（X，Y）的联合分布为 Y 3 1 X 10 0 831 0 832 0 813 0 81（2）P?Y?X??P?X?0,Y?3??
8五、解：随机变量X的密度函数为
23232?设随机变量Y的分布函数为FY?y?，则有
f?x??1e?x22 ????x????
FY?y??P?Y?y??PX?1?y?PX?y?1
22 ①. 如果y?1?0，即y?1，则有FY?y??0； ②. 如果y?1，则有 FY?y??PX?y?1?P?2???????22?y?1?X?y?1
e?x22? ?12?y?1?y?1?e?x22y?1dx??0dx
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《概率论与数理统计》
?2?即FY?y???2???y?1?0e?x22dxy?1y?1
0?1?2?y21e??所以， fY?y??FY??y???2?2y?1?0?y?1??1e2y?1?即 fY?y???2?y?1．
?0y?1?y?1y?1
六、解： ① E(X)?1?xx???2edx?0
D(X)?E(X2)?[E(X)]2 ????121?x??xedx?0?2?x2e?xdx?2 ??022??②Cov(X,X)?E(XX)?E(X)E(X)?所以X与X不相关. 七、（本题满分10分）
解：（1）由1???????f(x,y)dxdy??0???????????????xx1?xedx?0?0 2?0??Ae?(x?2y)dxdy
1A 所以A?2 2???e?x x?0（2）X的边缘密度函数：fX(x)??f(x,y)dy??
??其他?0,?A?0e?xdx?0e?2ydy??2e?2y y?0Y的边缘密度函数：fY(y)??f(x,y)dx??
??其他?0,（3）因f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X，Y是独立的
??2八、解：⑴. 当??0为未知，而???????为已知参数时，似然函
?1n2?数为 L??2??exp??2??xi????
?2?i?1?n1n222因而 lnL?????ln?2???? ??x???i222?i?1???2n2?2? 23
《概率论与数理统计》
所以
???2??22lnL???21n12??2???xi????4?0
2i?12??n1n2解得????xi???
ni?11n????Xi???2． 因此，?的极大似然估计量为?ni?1，2，?，n?， ⑵. 因为Xi~N?，?2 ?i?12??所以
Xi???，2，?，n?， 所以 E?Xi????0，D?Xi?????2 ?i?1所
~N?0，1? ?i?1，2，?，n?，
E?Xi?????E?Xi?????D?Xi?????2?i?1，2，?，n?
22??以
?1n???E???Xi???2? 因此，E??ni?1?11n2??E?Xi?????n?2??2
nni?11n2????Xi???2是未知参数?2的无偏估计 所以，?ni?12九、解：由于正态总体N??,?2?中期望?与方差?都未知，所以所求
??2???SS． t??n?1?,X?t??n?1???n2n2??由??0.05，n?16，得?0.025．查表，得t0.025?15??2.1315．
2置信区间为 ?X????1161162由样本观测值，得x?，??x?503.75s?x?x?6.2022 ?i?i16i?115i?1s6.2022所以， x?t??n?1??503.75??2.1315?500.445，
n216s6.2022 x?， t??n?1??503.75??2.131?550.7055n216,507.055? 因此所求置信区间为?500.445
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