勾股定理全章复习与巩固

举一反三：

(变式)已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，

求证：

(答案)

解：将△ABD绕点D顺时针旋转60°．

由于DC＝AD，故点A转至点C．点B转至点E，连结BE．

∵ BD＝DE，∠BDE＝60° ∴ △BDE为等边三角形，BE＝BD

易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB

∵ 四边形ADCB中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°∴ ∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270° ∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°

∴

2.方程的思想方法

6、如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，

，求、、的值.

∴

(答案与解析)

解：在Rt△ABC中，∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝30°，

则 因为

，由勾股定理，得

，所以

，

. ，

，

.

(总结升华)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

举一反三：(变式)直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积. (答案)解：设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：

2 由（1）得：x?y?7，

∴?x?y??49，即x2?2xy?y2?49 (3)

11 (3)－(2)，得：xy?12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）

22(巩固练习) 一.选择题

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勾股定理全章复习与巩固

1. 在△ABC中，若a?n2?1,b?2n,c?n2?1，则△ABC是（ ）

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形

2. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）

A．90° B．60° C．45° D．30°

3．在下列说法中是错误的（ ）

A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形．

B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形．

34 C．在△ABC中，若a?c，b?c，则△ABC为直角三角形．

55 D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形．

4．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )A.7 B.7或41 C.42 D.42或7 5. 若三角形的三边长分别等于2、6、2，则此三角形的面积为（ ）A.32 B.2 C. D.3

226．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于( ) A.5 B.513 C.1313 D.95

7. 已知三角形的三边长为a、b、c，由下列条件能构成直角三角形的是（ ） A.a2??m?1?,b2?4m2,c2??m?1? B.a2??m?1?,b2?4m,c2??m?1? C.a2??m?1?,b2?2m,c2??m?1? D.a2??m?1?,b2?2m2,c2??m?1?

8. 如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则当PA＋

217 B.PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（ ）A. C. D.3 1722222222

二.填空题

9. 如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm／min.结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______cm.

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10．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．

11．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，

折痕为AD，则BD＝______．

12．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．

13．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧

面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm,如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm.

14．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．

15. 已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．

16. 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，BC＝________.．

三.解答题

17.如图所示，已知D、E、F分别是△ABC中BC、AB、AC边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB＝

BD3?，求：△ABC的面积． 4，AC＝3，

CD218．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，

且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长． 19. 有一块直角三角形纸片, 两直角边AC ＝ 6cm, BC ＝ 8cm,

①如图1，现将纸片沿直线AD折叠, 使直角边AC落在斜边AB上, 且与AB重合, 则CD ＝

_________.

A A M H

CNBB C D

图1 图2

② 如图2，若将直角∠C沿MN折叠, 使点C落在AB中点H上, 点M、N分别在AC、BC上, 则

AM2、BN2与MN2之间有怎样的数量关系？并证明你的结论。

20. 如图1，四根长度一定的木条，其中AB＝6cm，CD＝15cm，将这四根木条用小钉绞合在一起，构．．．．

成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）。现固定AB边不动，转动这个四边形，

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使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置。

位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）； 位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．

（1）在图2中，若设BC的长为x，请用x的代数式表示AD的长； （2）在图3中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求） ．．（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．

(答案与解析) 一.选择题

1.(答案)D；(解析)因为c2?a2??n2?1?n2?1??n2?1?n2?1?＝4n2?b2，所以c2?a2?b2，

a2?b2?c2，由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形．

2.(答案)C；(解析)连接AC，计算AC＝BC＝ 三角形，∴∠ABC＝45°.

,AB＝,根据勾股定理的逆定理，△ABC是等腰直角

3.(答案)D；(解析)D选项22?22?42，故不是直角三角形.

4.(答案)D； (解析)底边可能是4，也可能是6，故由勾股定理，底边上的高为42或7. 5.(答案)B；(解析)因为

??222?2?22??621，所以此三角形为直角三角形，面积为?2?2?2. 26．(答案)B；(解析)?AC?BC??AC2?BC2?2AC?BC?AB2?2AB?CD＝169＋2×13×6＝325. 7.(答案)B； (解析)?m?1??4m??m?1?.

8.(答案)C；(解析)如图，过D点作DE⊥BC于E,则DE＝AB，AD＝BE，EC＝BC－BE＝3，在Rt△CDE中，DE＝

,延长AB至F，使AB＝BF，连接DF，交BC于P点，连接AP，这时候PA＋PD取最小值，

2∵AD∥BC，B是AF中点，∴BP＝

∵

二.填空题

.在Rt△ABP中，AP＝∴

＝

.

9．(答案)100；(解析)依题知AC＝60cm，BC＝80cm，∴ AB＝AC2?BC2?602?802＝100cm. 10．(答案)6；(解析)延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为直角三角形．

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