考 学院第 学年度第 学期 考生《实变函数》试卷四

生答专业________班级_______姓名 学号 题号 一 二 三 四 五 总分

答题得分 注 意 事 项 1、本试卷共6页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。 题不得 分 不得 一.单项选择题（3分×5=15分） 1．设P为Cantor集，则 （A）P? ?0 (B) mP?1 (C) P?P (D) P?P '?2. 下列说法不正确的是( ) 得超 (A) P0的任一领域内都有E中无穷多个点，则P0是E的聚点 (B) P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点，则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列?Pn?，使Pn?P0，则P0是E的聚点 (D) 内点必是聚点 3.设f(x)在E上L可积,则下面不成立的是( ) 超此此线 (A)f(x)在E上可测 (B)f(x)在E上a.e.有限 （第1页，共12页） 线 (C)f(x)在E上有界 (D)f(x)在E上L可积

4. 设{En}是一列可测集，E1?E2???En??，则有（ ）。

?????（A）m??En??limmEn (B) m??En?mEn ??limn?1n??n?1n???????? （C）m??En?mEn;（D）以上都不对 ??limn?1n????5.设f(x)为[a,b]上的有界变差函数,则下面不成立的是( ) (A)f(x)在[a,b]上L可积 (B)f(x)在[a,b]上R可积 (C)f'(x)在[a,b]上L可积 (D)f(x)在[a,b]上绝对连续

得 分 11二. 填空题(3分×5=15分)

1、设An?[,2?],n?1,2,?，则limAn?_________。

nnn??2、设E?R,若E??E,则E是 集；若E?E，则E是 __集；若

'E?E，则E是________集.

0??3、设?Si?是一列可测集，则m??Si?i?1??______???mS

ii?14、鲁津定理：______________________________________________________

_______________________________________________________________ 5、设f(x)为?a,b?上的有限函数，如果对于?a,b?的一切划分，使

________________________________，则称f(x)为?a,b?上的有界变差函数。

（第2页，共12页）

得 分 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不 成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)

1、A为可数集，B为至多可数集，则A?B是可数集.

2、若mE?0，则mE?0.

3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数

4．设f(x)在可测集E上可积分，若?x?E,f(x)?0，则?f(x)?0

E

（第3页，共12页）

得 分 四.解答题(8分×2=16分)

1、设

?xx为无理数f(x)?? ，则f(x)在?0,1?上是否R?可积，是否L?可积，

1,x为有理数?若可积，求出积分值。

2、（8分）求lim?n?0ln(x?n)ne?xcosxdx

.

（第4页，共12页）

得 分 五.证明题(6分×3+ 8?2 =34分)

1、（6分）设f(x)是???,???上的实值连续函数，则对于任意常数

a,E?{x|f(x)?a}是闭集。

2.(6分) 设??0,?开集G?E,使m*(G?E)??，则E是可测集。

3. （6分）设{fn(x)}为E上可积函数列，limfn(x)?f(x)a.e.于E，且

n?

E|fn(x)|dx?k，k为常数，则f(x)在E上可积.

（第5页，共12页）

4.（6分）设函数列fn(x) (n?1,2,?)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x)，证明：fn(x)a.e.收敛于f(x). 5.（10分）试用Fatou引理证明Levi定理.

（第6页，共12页）

试卷四（参考答案及评分标准）

一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设P为Cantor集，则 C （A）P? ?0 (B) mP?1 (C) P?P (D) P?P

'?2. 下列说法不正确的是( C )

(A) P0的任一领域内都有E中无穷多个点，则P0是E的聚点

(B) P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点，则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列?Pn?，使Pn?P0，则P0是E的聚点 (D) 内点必是聚点

3.设f(x)在E上L可积,则下面不成立的是( C ) (A)f(x)在E上可测 (B)f(x)在E上a.e.有限 (C)f(x)在E上有界 (D)f(x)在E上L可积

4. 设{En}是一列可测集，E1?E2???En??，则有（B ）。

?????（A）m??En??limmEn (B) m??En?mEn ??limn?1n??n?1n???????? （C）m??En?mEn;（D）以上都不对 ??limn?1n????5.设f(x)为[a,b]上的有界变差函数,则下面不成立的是( D ) (A)f(x)在[a,b]上L可积 (B)f(x)在[a,b]上R可积 (C)f'(x)在[a,b]上L可积 (D)f(x)在[a,b]上绝对连续

（第7页，共12页）

二. 填空题(3分×5=15分)

1、设An?[,2?],n?1,2,?，则limAn?_（0，2）________。

nnn??112、设E?R,若E??E,则E是 闭 集；若E?E，则E是 开__集；若E?E'，则E是___完备_____集.

??3、设?Si?是一列可测集，则m??Si??___?___i?1???0?mS

ii?14、鲁津定理：___设f(x)是E上a.e.有限的可测函数，则对任意??0，存在闭子集E??E，使得f(x)在E?上是连续函数，且m(E\\E?)??_____

___，则称f(x)为?a,b?上的有界变差函数。

5、设f(x)为?a,b?上的有限函数，如果对于?a,b?的一切划分，使

?n???|f(xi)?f(xi?1)|??i?1?成一有界数集，则称f(x)为?a,b?上的有界变差函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)

1、A为可数集，B为至多可数集，则A?B是可数集.

解：成立 ?????2分 因A可数,所以可设A={a1,a2,?,an,?}, 又B至多可数,设B={b1,b2,?,bn}(当B有限时),或

B={b1,b2,?,bn,?}(当B可数时)

当B有限时,

A?B??b1,b2,?,bn;a1,a2,?,an,??

当B可数时,

A?B??b1,a1,b2,a2?,bn;an,??

（第8页，共12页）

所以A?B可数. ?????5分 (注:可分A?B??和A?B??讨论,没讨论不扣分,主要考察排序方法).

2、若mE?0，则mE?0.

解：不成立. ?????????.2分 反例：E为[0,1]中的全体有理点集，则有mE?0，而mE?1??5分 注：其余例只要正确即可。

3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数

解：不成立.??????????????????????2分 例如：设E是?a,b?上的不可测集，f(x)????x,x?E;???x,x??a,b??E;

则|f(x)|是?a,b?上的可测函数，但f(x)不是?a,b?上的 可测函数??????????????????????5分

4．设f(x)在可测集E上可积分，若?x?E,f(x)?0，则?f(x)?0

E解：不成立.??????????????????????2分

mE?0时，对E上任意的实函数f(x)都有?Ef(x)dx?0?5分

四.解答题(8分×2=16分)

1、（8分）设

?xx为无理数f(x)?? ，则f(x)在?0,1?上是否R?可积，是否L?1,x为有理数?可积，若可积，求出积分值。

解：f(x)在?0,1?上不是R?可积的，因为f(x)仅在x?1处连续，即不连续

（第9页，共12页）

点为正测度集………………………………………..3分

因为f(x)是?0,1?上的有界可测函数，f(x)在?0,1?上是L?可积的…6分 因为f(x)与xa.e.相等，进一步，?f(x)dx?0,1???10xdx?12…8分

2、（8分）求lim?n?0ln(x?n)ne?xcosxdx

解：设fn(x)?ln(x?n)ne?xcosx，则易知当n??时，fn(x)?0

…………………………..2分

lnt?1?lnt又因???0，(t?3)，所以当n?3,x?0时， ??2t?t?ln(x?n)n?n?xln(x?n)nx?nln33?n?xln3n?x'3?ln33(1?x)………………4分

从而使得|fn(x)|?(1?x)e…………………………………6分

但是不等式右边的函数，在?0,???上是L可积的，故有

limn??0fn(x)dx???0limfn(x)dx?0…………………………………8分

n

五.证明题(6分×3+ 8?2 =34分)

1、（6分）设f(x)是???,???上的实值连续函数，则对于任意常数

a,E?{x|f(x)?a}是闭集。

证明： ?x?E?,则存在E中的互异点列{xn},使limxn?x……….2分

n???xn?E,?f(xn)?a………………………………………….3分

n???f(x)在x点连续，?f(x)?limf(xn)?a?x?E

…………………………………………………………5分

分

（第10页，共12页）

?E是闭集.…………………………………………………….6

2.(6分) 设??0,?开集G?E,使m*(G?E)??，则E是可测集。 证明：对任何正整数n，由条件存在开集Gn?E,使m*(Gn?E)?1n

…………………………………1分

?令G??Gn，则G是可测集 …………………………………3分

n?1又因m*(G?E)?m*(Gn?E)?1n对一切正整数n成立，因而m*(G?E)?0，

即M?G?E是一零测度集，所以也可测.

…………………………………………………………………5分 由E?G?(G?E)知，E可测。………………………………… 6分

3.（6分） 设{fn(x)}为E上可积函数列，limfn(x)?f(x)a.e.于E，且

n?E|fn(x)|dx?k，k为常数，则f(x)在E上可积.

由limfn(x)?f(x)a.e于E得lim|fn(x)|?|f(x)|a.e于E ………….1分

nn再由Fatou引理

?E|f|dx??En??lim|fn|dx?limn???E|fn|dx?k?? ….4分

所以 |f(x)|可积.又f(x)可测,因此f(x)可积. ………..6分

4.（6分）设函数列fn(x) (n?1,2,?)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x)，证明：fn(x)a.e.收敛于f(x).

证明： 因为fn(x)在E上“基本上”一致收敛于f(x)，所以对于任意的

k?Z?，存在可测集Ek?E，fn(x)在Ek上一致收敛于f(x)，且

（第11页，共12页）

m(E\\Ek)??1k…………………………………………………2分

令E??Ek，则fn(x)在E*上处处收敛到f(x)……………4分

*k?1?m(E\\E)?m(E\\?Ek)?m(E\\Ek)?k?1*1k，k=1,2?

所以m(E\\E*)?0………………………………………………6分

5.（10分）试用Fatou引理证明Levi定理.

证明：设?fn?为可测集E?Rq上的一列非负可测函数，且在E上有

fn(x)?fn?1(x),n?1,2,?，令f(x)?limfn(x)

n ….……………2分

由?fn?为单调可测函数列知，f(x)可测，且fn(x)?f(x) 于是

?Efn(x)dx??Ef(x)dx

…（*） ….……………6分

从而 limn?Efn(x)dx??Ef(x)dx另一方面，因?fn?为可测集E?Rq上的一列非负可测函数，由Fatou引理知

?Ef(x)dx??Elimfn(x)dx?limnn?Efn(x)dx …（**） ….……………8分

….……………10分

由（*）、（**）两式即证limn?Efn(x)dx??Ef(x)dx

（第12页，共12页）