些时间的概率分布近似服从β分布，这样我们可用如下公式计算出完成活动所需

a?4m?bb?a2

的平均时间：T= 以及方差：δ2 =()

66活动 T（平均时间） δ2 （方差） 活动 T（平均时δ2 （方间） 差） a 2.08 0.07 e 3.08 0.07 b 4.17 0.26 f 2.17 0.26 c 4.92 0.18 g 3.83 0.26 d 4.08 0.18 工序安排： 工序 最早开始时间 最迟开始时间 最早完成时间 最迟完成时间 时差 是否关键工序 a 0 0 2.08 2.08 2.08 √ b 0 0 4.17 4.17 0 c 4.17 5 9.08 9.92 0.83 √ d 4.17 4.17 8.25 8.25 0 e 4.17 5.17 7.25 8.25 1 f 9.08 9.92 11.25 12.08 0.83 √ g 8.25 8.25 12.08 12.08 0 本问题关键路径是：B--D—G；本工程完成时间是：12.08 这个正态分布的均值 E (T ) =12.08

其方差为： σ 2 ＝σb2 +σd2 +σg 2 =0.70 则σ ＝0.84

当以98％的概率来保证工作如期完成时，即：φ(u ) = 0.98，所以u=2.05

T—12.08此时提前开始工作的时间Ｔ满足：=2.05

0.84所以Ｔ＝13.8 ≈ 14

（23）矩阵对策的最优纯策略

甲乙乒乓球队进行团体对抗赛，每对由三名球员组成，双方都可排成三种不同的阵容，每一种阵容可以看成一种策略，双方各选一种策略参赛。比赛共赛三局，规定每局胜者得1分，输者得-1分，可知三赛三胜得3分，三赛二胜得1分，三赛一胜得-1分，三赛三负得-3分。甲队的策略集为S1={α1，α2，α3}，乙队的策略集为S1={β1，β2，β3}，根据以往比赛得分资料，可得甲队的赢得矩阵为A，如下：

A= 1 1 1 1 -1 -3 3 -1 3

试问这次比赛各队应采用哪种阵容上场最为稳妥。

解：甲队的α1，α2，α3 三种策略可能带来的最少赢得，即矩阵A中每行的最小元素分别为： 1，-3，-1，

在这些最少赢得中最好的结果是1，即甲队应采取策略α1 ，无论对手采用什么策略，甲队至少得1分。而对乙队来说，策略β1，β2，β3 可能带来的最少赢得，即矩阵A中每列的最大因素（因为两人零和策甲队得分越多，就使得乙队得分越少），分别为： 3，1，3，

其中乙队最好的结果为甲队得1分，这时乙队采取β2 策略，不管甲队采用什么策略甲队的得分不会超过1分（即乙队的失分不会超过1）。这样可知甲队应采用α1 策略，乙队应采取β2 策略。把这种最优策略α1 和β2 分别称为局中人甲队、乙队的最优纯策略。这种最优纯策略只有当赢得矩阵A=（aij）中等式

max min aij = min max aij i j j i

成立时，局中人才有最优纯策略，并把（α1 ，β2）称为对策G在纯策略下的解，又称（α1 ，β2）为对策G的鞍点。

（24）矩阵对策的混合策略

A= 5 9 8 6

解：首先设甲使用α1 的概率为X1’，使用α2 的概率为X2’，并设在最坏的情况下（即乙出对其最有利的策略情况下），甲的赢得的平均值等于V。这样我们建立以下的数学关系：

1.甲使用α1 的概率X1’和使用α2 的概率X2’的和为1，并知概率值具有非负性，即X1’+ X2’=1，且有X1’≧0，X2’≧0. 2.当乙使用β1 策略时，甲的平均赢得为：5X1’+ 8X2’，此平均赢得应大于等于V，即5X1’+ 8X2’≧V

3.当乙使用β2 策略时，甲的平均赢得为：9X1’+ 6X2’，此平均赢得应大于等于V，即9X1’+ 6X2’≧V

第二步，我们来考虑V的值，V的值与赢得矩阵A的各因素的值是有关的，如果A的各元素的值都大于零，即不管甲采用什么策略，乙采用什么策略，甲的赢得都是正的。这时的V值即在乙出对其最有利的策略时甲的平均赢得也显然是正的。因为A的所有元素都取正值，所以可知V﹥0.

Xi'第三步，作变量替换，令Xi =(i=1，2)

V考虑到V﹥0，这样把以上5个数量关系式变为：

1X1+ X2 =，X1≧0，X2≧0，

V5X1+ 8X2 ≧1 9X1+ 6X2 ≧1

1对甲来说，他希望V值越大越好，也就是希望的值越小越好，最后，我们就

V建立起求甲的最优混合策略的线性规划的模型如下：

min X1+ X2

约束条件： 5X1+ 8X2 ≧1

9X1+ 6X2 ≧1

X1≧0，X2≧0

同样求出乙最优混合策略，设y1’, y2’分别为乙出策略β1，β2 的概率，V为甲出对其最有利的策略的情况下，乙的损失的平均值。 同样我们可以得到：

y1’+ y2’=1, 5y1+ 9y2 ≦V 8y1+ 6y2 ≦V

y1’≧0，y2’≧0. yi'同样作变量替换，令yi =(i=1，2)

V1得关系式： y1+ y2 =

V5y1+ 9y2 ≦1 8y1+ 6y2 ≦1 y1≧0，y2≧0.

1乙希望损失越少越好，即V越小越好而越大越好，这样我们也建立了求乙的

V最优混合策略的线性规划的模型如下：

max y1+ y2

约束条件： 5y1+ 9y2 ≦1

8y1+ 6y2 ≦1 y1≧0，y2≧0.

(25)完全信息动态对策

某行业中只有一个垄断企业A，有一个潜在进入者企业B，B可以选择进入或不进入该行业这两种行动，而A当B进入时，可以选择默认或者报复两种行动，如果B进入后A企业报复，将造成两败俱伤的结果，但如果A默认B进入，必然对A的收益造成损失，如果B不进入，则B无收益而A不受损，把此关系用图表示如下：（求最后的策略）

默许 B 进入 A 报复 不进入 50，100 —20，0 0，200 0，200

假设B进入，A只能选择默许，因为可以得到100的收益，而报复后只得到0.假

设A选择报复，B只能选择不进入，因为进入损失更大。因此，（B选择不进入，A选择报复）和（B选择进入，A选择默许）都是纳什均衡解，都能达到均衡。 但在实际中，（B选择不进入，A选择报复）这种情况是不可能出现的。因为B知道他如果进入，A只能默许，所以只有（B选择进入，A选择默许）会发生。或者说A选择报复行动是不可置信的威胁。对策论的术语中，称（B选择进入，A选择默许）为精炼纳什均衡。

当然如果A下定决心一定要报复B，即使自己暂时损失，这时威胁就变成了可置信的，B就会选择不进入，（B选择不进入，A选择报复）就成为精炼纳什均衡。 （26）设有参加对策的局中人A和B，A的损益矩阵如下，求最优纯策略和对策值。

β1 β2 β3 α1α2 α3 -500 -100 700 100 0 200 500 -200 -700

解:矩阵α1，α2，α3中每行的最小元素分别为： -500，0，-700，（最大） 矩阵β1，β2，β3中每列的最大因素分别为： 500，0，700，（最小） 因为 max min aij = min max aij = 0 i j j i

所以最优纯策略为 (α 2 , β 2 ) ,对策值为0

（27）已知面对四种自然状态的三种备选行动方案的公司收益如下表所示： 方案 自然状态 N1 N2 N3 N4 ﹣6 S1 15 8 0 S2 4 14 8 3 S3 1 4 10 12 假定不知道各种自然状态出现的概率请分别用以下五种方法求最优行动方案：

①最大最小准则

min [α（S1，Nj）]=min{15，8，0，﹣6}=﹣6

1≦j≦3

min [α（S2，Nj）]=min{4，14，8，3}=3 1≦j≦3

min [α（S3，Nj）]=min{1，4，10，12}=1 1≦j≦3

再从这些最小收益中选取一个最大值3，即

max{min [α（Si，Nj）]}=max{﹣6，3，1}=3.

在此准则下，方案S2 为最优。 ②最大最大准则

max [α（S1，Nj）]=max{15，8，0，﹣6}=15

1≦j≦3

max [α（S2，Nj）]=max{4，14，8，3}=14