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第四章 思考题:

4-1:N-S方程的物理意义是什么?适用条件是什么?

物理意义:N-S方程的精确解虽然不多,但能揭示实际液体流动的本质特征,同时也作为检验和校核其他近似方程的依据,探讨复杂问题和新的理论问题的参考点和出发点。

适用条件:不可压缩均质实际液体流动。 4-2 何为有势流?有势流与有旋流有何区别?

答:从静止开始的理想液体的运动是有势流. 有势流无自身旋转,不存在使其运动的力矩.

4—3 有势流的特点是什么?研究平面势流有何意义?

有势流是无旋流,旋转角速度为零。研究平面势流可以简化水力学模型,使问题变得简单且于实际问题相符,通过研究平面势流可以为我们分析复杂的水力学问题。

4-4.流速势函数存在的充分必要条件是流动无旋,即方程,即就是??ux???uyx?ux?uy??y?x时存在势函数,存

在势函数时无旋。流函数存在的充分必要条件是平面不可压缩液体的连续性

y?0存在流函数。

4—5何为流网,其特征是什么?绘制流网的原理是什么 ?

流网:等势线(流速势函数的等值线)和流线(流函数的等值线)相互正交所形成的网格 流网特征:(1)流网是正交网格

(2)流网中的每一网格边长之比,等于流速势函数与流函数增值之比。 (3)流网中的每个网格均为曲线正方形 原理:自由表面是一条流线,而等势线垂直于流线。根据入流断面何处流断面的已知条件来确定断面上 流线的位置。

4-6.利用流网可以进行哪些水力计算?如何计算?

解:可以计算速度和压强。计算如下:流场中任意相邻之间的单宽流量?q是一常数。在流场中任取1、2两点,设流速为,,两端面处流线间距为?m1,?

则?q=?m1=

?

,在流网中,各点处网格的?m值可以直接量出来,

根据上式就可以得出速度的相对变化关系。如果流畅中某点速度已知,就可以其他各点的速度。

流畅中的压强分布,可应用能量方程求得。 z1++=++

当两点位置高度z1和为已知,速度,u2已通过流亡求出时,则两点的压强差为

-=-+ -

如果流畅中某一点压强已知,则其他个点压强均可求得 4.7利用流网计算平面势流的依据是什么? (参考4.6的解释)

4-8流网的形状与哪些因素有关?网格的疏密取决于什么因素? 答:流网由等势线和流线构成,流网的形状与流函数φ(x,y)和流速势函数ψ(x,y)有关;由?q=?ψ=常数,?q=u?m=常数,得两条流线的间距愈大,则速度愈小,若间距愈小,则速度愈大。

4-9 流函数与流速势函数之间各有哪些性质?两者之间有何联系?

答:流函数的性质: 1) 同一条流线上各点的流函数为常数。2)平面势流的流函数是一个调和函数。3)两流线之间的单宽流量等于该两条流线的流函数值之差。

流速势函数的性质:流速势函数是调和函数。

联系:在平面势流中流函数与流速势函数为共轭调和函数。 4-10

流速势函数?的增值方向与速度方向一致,即就是?沿着流速u的方向增大;流函数?的增值方向垂直于流速方向,即就是沿着等势线增大。 4-11理想液体运动微分方程式的伯努利方程的运用条件是什么? 解:应用时必须满足以下条件

1液体是不可压缩均质的理想液体,密度ρ为常数。 2作用于液体上的质量力是有势的。 3液体运动是恒定流。

4 dx dy dz

行列式 ωx ωy ωz = 0

11

ux uy uz

根据行列式的性质,满足下列条件之一都能使该行列式的值为零,即 1)ωx = ωy = ωz=0,为有势流

2)ux = uy = uz =0,为静止液体

3)dx/ωx = dy/ωy = dz/ωz=C,这是涡线微分方程。 4)dx/ux = dy/uy = dz/uz=C,这是流线微分方程。 5)ux/ωx =uy /ωy = uz /ωz=C,为螺旋流。

4-12 -S方程中的动水压强p与坐标轴的选取是否有关?

答:无关

4-13为什么说N-S方程是液体运动最基本的方程之一?目前它在水力学中的应用如何?

答:如果液体为理想液体,此方程为理想液体运动微分方程;如果是静止液体,此方程为液体的平衡微分方程。所以,N-S方程是研究液体运动最基本的方程之一。N-S方程式是阶非线性非齐次的偏微分方程,求其普遍解在数学上是很困难的,仅对某些简单的问题才能求得解析解,但是,随着进算计的广泛应用和数值计算技术的发展,对于许多工程实际问题已能够求的其近似解。

4-15.能量方程式各项的意义是什么?应用中应注意哪些问题? 解析:(1)意义

①理想在液体能量方程:

++ =++

因为在上式中,过水断面1-1和断面2-2是任取的,所以可将上式推广到元流的任意过水断面,即:

zg+ +=常数

1.物理意义:zg代表位能;代表压能;是单位液体所具有的动能。 所以(zg+ +)就代表单位质量液体所具有的总机械能,通常用E来表示。

2.几何意义:z代表位置水头,代表压强水头, 为速度水头,(z+ 则表示总水头。

②实际液体元流的能量方程

++ =+++

+)

1. 物理意义:元流各过水断面上单位质量液体所具有的总机械能沿流程减少,部分机械能转化为热能或声能而损失;同时也表示了各项能量之间沿流程可以相互转化关系。 2.

在水力学中习惯上称为水头损失。

(2)注意:

①是不是理想液体,若是,用理想在液体能量方程;若不是,用实际液体元流的能量方程

②,是同一基准面。

③提到压强,若为相对压强,式子左右都为相对压强;若为绝对压强,式子左右都为绝对压强。

4-16.何为总水头线和测压管水头线?水头坐标为何取垂直向上? 解析:(1)

测压管水头线是沿水流方向各个测点的测压管液面的连线,它反应的是流体的势能,测压管水头线可能下降,也可能上升(当径管沿流向增大时),因为径管增大时流速减小,动能减小而压能增大,如果压能的增大大于水头损失时,水流的势能就增大,测压管水头就上升。

水头总线是沿着测压管水头线的基线上再加上流速水头,它反应的是流体的总能量,由于沿流向总是有水头损失,所以总水头线沿程只能下降,不能上升。

(2)为了直观反应总流沿流程各种能量的变化规律及相互关系,可以把能量方程沿流程用几何线段图形来表示。

以0-0为基准面,以水头为纵坐标,按一定比例尺沿流程将各过水断面的z.及

分别绘于图上,而且每个过水断面上的z.及

是从基准面画起垂直

向上依次连接的,所以水头坐标取垂直向上。

4-17 是什么?有何物理意义?

答:水力坡度的意义:水力坡度表明了实际液体沿元流单位流程上的水头损失,水力坡度也就是总水头线坡度。

物理意义:它是单位重量液体沿流程单位长度上的机械能损失。 4-18 如何确定水流运动方向,试用基本方程式说明。

解:假定有1-1,2-2两个断面,则可分别写出断面1-1和断面2-2的伯努利方程:

H1=Z1+P1/pg+a1V1V1/2g H2=Z2+P2/pg+a2V2V2/2g

当H1>H2时,说明断面1-1的总机械能高于断面2-2的总机械能,所以水流是从断面1-1流向断面2-2。反之,亦然。 4-19恒定总流能量方程∑F=ρQ(β

),∑F中包括哪些力?动水压强必

须采用相对压强表示吗?

答:合外力包括表面力和质量力,动水压强不一定必须采用相对压强表示。 20. 单位质量水体的总机械能为zg+p/ρ+u/2

断面总机械能为?Q (zg+p/ρ+u/2)

习题

22

4-1 某管道如图所示,已知过水断面上流速分布为u=c【1-(r/r)】,u为管轴线处的最大流速,r为圆管半径,u是距管轴线r点处的流速。若已知r=3cm,u=0.15m/s。试求:(1)通过管道的流量Q;(2)断面平均流速v。

20max00maxr R0 umax

解:(1)dQ=udA=u[1-(r/r)]π.2rdr

Q=?u[1-(r/r)]π.2rdr=2πu?(r-r/r)dr

2max0r2r320max0max00 Q=2.12×10m/s

(2)v=Q/A=0.075m/s

4-2有一个坡非常都的渠道如图4-35所示,设水速为恒定的均匀流,A点距水面的垂直水深为3.5M。以通过A点的水平面为基准面,试求A点的位置水头,并以通过B点的水平面为基准面标注图上。 解:以A点水平面为基准面,得 Z=0

P/ρg=ρghcos30°cos30°/ρg=2.625m 此时测压管水头为Z+P/ρg=2.625m 以B点的水平面为基准面时, Z=3.5m 4-3 有一倾斜放置的渐粗管如图4-36所示,A-A与B-B两个过水断面形心点

2

的高差为1.0m,A-A断面管径d=150mm,形心点压强PA=68.5KN/m。B-B断

2

面管径dB=300mm,形心点压强PB=58kn/m,断面平均流速VB=1.5m/s,试求: (1) 管中水流的方向。

(2) 两端面之间的能量损失。 (3) 通过管道的流量。

?43

解:(1)HA =ZA +[(PA /g)+( VBAB=VAAA 得VA=6m/s HA=8.83J HB=EB+(PB/+

/2g)=7.03J

HA>HB

所以水流从A-A断面流向B-B断面 (2)hWa-b=HA-HB=1.8J (3)Q=VBAB

/2g)]n

=[1.5

=0.106/s

4-4. 有一管路突然缩小的流段,如图4-7所示。由侧压管断面1-1的压强水头

,已知过水断面1-1、断面2-2的面积积分分别为,形心点位置高度,两端面间水头损失

,

=0.03

=2.0m,管中通过的流量

。试求断面2-2的压强水头及测压

1 2 1 2 0 0 图4-37

管水头,并标注在图上。

解:从断面1-1到断面2-2,根据连续性方程,有 即

根据伯努利方程,有 取修正系数又

② ③ ④ ⑤

联立①②③④⑤式,得

4-5 某矩形断面平底渠道,如图所示.宽度B=2.7米,河床在某处抬高△z=0.3m,若抬高前

的水深H=2.0m,抬高后水面跌落△h=0.2m,不计水头损失,求渠道中通过的

H 图4-38 流量Q。

解:取1-1断面和2-2断面:

所以, Q=

将②代入①中,得

4-6 水轮机的锥形尾水管,如图4-39所示。已知断面

A—A的直径D1=600mm,断面平均流速V1=5,。出口断面的直径D2=900mm,由A到B的水头损失HW=0.2V1*V1/2g。试求当z=5m时,断面A-A的真空度。

解:由连续性方程v1A1=V2A2,得V2=V1*A1. 得 V2=2.2m/s, 由能量方程得

Pa=0-6m-1.03m+1m+0.26m =-5.77m

则pa=9800* -5.77=-56546n/(m*m)

则A点的真空度P=-pa=56546 n/(m*m)

4-7某虹吸管从水池取水,如所示.已知虹吸管直径d=150mm,出口在大气中。水池面积很大且水位保持不变,其余尺寸如图所示,不计能量损失。试求:

通过虹吸管的流量Q,(2)途中A,B,C各点地动水压强。(3)如果考虑能量损失,定性分析流量Q如何变化.

解:在水面和液体出口处列伯努利方程,取C点所在水平面为基准面。 B D 1.5m A 5m C Q

2?1vcp1?1v12p2?2v2?0 (1)由z1???z2???hw 知5?0?0?0?0??g2g?g2g2g23.14?0.152?0.175ms 得:vc?10g?9.9ms Q?vc?A?9.9?4(2)由图知:zc?0m zb?6.5m za?5m 且管径相等则流速相等。

0?pcpp?6.5?b?5?a 相对压强pc?0所以:pb??6.5?g pa??5?g ?g?g?g (3)如果考虑能量损失,则v减小,流量Q减小。

? 4-8 解:水沿细管上升,则2-2断面处为负压 1-1断面与3-3断面用能量方程可得:

1 1 H 即 H + 0 + 0 = 0 + 0 + ,则得 2 3 2-2断面与3-3断面同理得:0 +(-h)+ = 0 + 0 + 0 d ,,则可得: 2 h 3 水 4-9测定水泵扬程的装置,如图所示,已知水泵吸水管直径d1=200mm,水泵进口真空表读数为39.2kpa。压水管直径d2=150mm,水泵出口压力表读数为2at,断面1-1,断面2-2间的位置高差△Z=0.5m,若不计水头损失,测得流量

3

Q=0.06m,水泵的效率n=0.8。试求水泵的扬程Hp及轴功率Np。

解:取断面1-1为基准面,列伯努利方程得: Z1+P/pg+a1v1/2g+Hp=Z2+P2/pg+a2v22/2g 由连续性方程得:v1A1=v2A2=Q 得 v1=1.9m/s v2=2.55m/s

22

Hp=z2-z1+P2-P1/pg+V2-V1/2g

解得Hp=24.9m 所以Np=18.3kn m/s 4.11如图所示,为一水平安装的文丘里流量计,已知管道断面1-1的压强水头p/ρg=1.1m,管径d=150mm,喉管断面2-2的压强水头p/ρg =0.4m,管径d=100mm,水头损失Hw=0.3v /2g 试求;(1)通过管道的流量Q,(2)该文丘里流量计的流量系数μ。

解;(1)对渐变流断面1-1及断面2-2列总流的伯努利方程. z+ p/ρg+α1v /2g=z+p/ρg+α2v /2g+Hw 取α1=α2=1.0可得

(p-p)/ρg=(v-v)/2g+0.3v/2g 有连续性方程可得 vA=vA

v=1.77m/s Q=31.3L/s

(2).设没有水头损失的情况,管道流量为Q Q=(π/4)D× 2g =32.4L/s, 1122211121222212222121221111122μ=Q/Q=0.97 14-13 某管路系统与水箱连接,如图4-46所示。管路由两段组成,其过水断面面积分别为A=0.04m,A2=0.03m,管道出口与水箱面高差H=4m,出口水流流入大气。若水箱容积很大,水位保持不变,当不计水头损失时,试求: (1) 出口断面平均流速v。

(2) 绘制管路系统的总水头线及测压管水头线。 (3) 说明是否存在真空区域。

解:(1)取水平液面1-1为过水断面,管道出口2-2为过水断面。 H+0+

22

1v1/2g =0+0+2v2/2g

2

2

v1=1=2=1.0 解得:v2=

=8.85m/s

(2)设A1-A1断面处平均流速为v1

由连续性方程得:v1=v2A2/A1=6.64m/s

取过水断面A1-A1,A2-A2形心点的水平面为基准面。

列伯努利方程:z1+p1/pg+1v12/2g=z2+p2/pg+2v22/2g ( p1-p2)/pg=(v22-v12)/2g=1.75m/s 由A2-A2过水断面与管出口列伯努利方程得: 0++又v2=

=-0.5+0+=

=1.0

可得:=-0.5m 所以=-1.25

(3)A2-A2断面所在管道测压管水头线在中心线之下,故该部分有真空。 图如下:

1 1 总水头线 测压管水头H 2 2

4-14 水箱中的水体经扩散短管流入大气,如图4-47所示.如过水断面1-1的直径

,行心点绝对压强

,出口断面直径

,

不计能量损失,求作用水头H。

解: 取1-1,2-2的轴线为基准面 由伯努利方程得1-1,2-2间: 0+又因为无水头损失,所以 由连续性方程得 : 取

的绝对压强为 98kN/㎡

,取

由以上各式所得:

仍以0-0为基准面,得(此时为相对压强): H+0+ 又因为

=0+0+

所以 得H=1.477m

4-15,在矩形平底渠道中设平底闸门,如图所示。已知闸门与渠道同宽B=2m,闸门水深H=4m,当流量Q=8

时,闸孔下流收缩断面水深=0.5m,不计

渠底摩擦阻力。求水流作用于闸门上的水平推力。

1 F H Q 2

解析:应用动量方程求解,取如图所示的控制体,其中断面1-1及2-2均处在渐变流中,则其断面上的静水总压力可按平板静水压力计算。 则断面1-1上的总压力为 断面2-2上的总压力为 -F+ H +

-B

=

B

,方向从左向右。 ,方向从右向左。

1 2 设作用在闸门上的水平推力为F,如图

(-)

流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出

H B = H B ① +

=

+ +

由①,②得 = =

将上式代入动量方程得 F =

(

-)B - B(-)

=98.35KN 方向向左。

4-16 水流经变直径弯管从A管流入B管,管轴线均位于同一水平面内,弯管转角对压强

,如图所示。已知A管直径=150

,B管直径

=250mm,断面A-A的形心点的相

,若不计水头损

=200mm,流量Q=0.1

失,试求水流对弯管的作用力。

A Y R B O B X

A

-

解析:由连续性方程得: 所以

= =

=

=Q =2.04=3.18

取过水断面A-A和B-B,以过管轴线的水平面为基准面,列伯努利方程 0 +

+

= 0 + =

+

+0

取动能修正系数

=

+

=1.0,得 =147

取过水断面A-A和B-B之间的水体为控制体,取水平面为XOY平面,因流动在同一水平面内,故重力在XOY平面上的投影为零,过俩过水断面上的动水压力设为与。

= =(

=7359.4KN =4615.8KN -)=

- -

设管壁对控制体的作用力为R,则在X轴方向为

=

=1.0,得

(

)

=4.065KN 方向向右。 则Y轴方向为 取

(=1.0,得 =

+

Qv1?2?1.02ms?Q 得:?d1

40)=+

=3.49KN 方向向上

v1A14-17解:由液体的连续性方程知:

?v2A2v2?2.29ms

2p1?1v12p2?2v2由伯努利方程z1??g?2g?z2??g?2g?hw

且z?z12?0 ,

hw?0

知p?389.9kN

取截面1—2之间的空间作为控制体,对其受力分析如图: y

?1??2?1.02

P写出x方向的动量方程:1?P2?R??Q??2v2??1v1? ① ?1??2?1.0

得到:392*4?389.9*4?R?1.8*?2.29*1.0?1.02*1.0?

解得:R=384kN 所以水对镇墩的作用力大小为384kN,方向水平向右。

?d21?d22 如果考虑水头损失,2-2断面的动水压强减小了,流速不变,则P减小,由式①可知R增大了。

4-18.有一水平射流从喷嘴射出,冲击在相距很近的一块光滑平板上,平板与水平面的夹角为a,如图4-51所示。已知喷嘴出口流速v1,射速流量Q1,若不计能量损失和重力的作用,试求:

(1)分流后的流量分配,即Q2/Q1和Q3/Q1各为多少? (2)射流对平板的冲击力。

解:因为水头损失h?0,z?z?z,p?p?p。

2w123123

z1?0??1v122g?z2?0??2v222g?0

z1?0??1v122g1?z3?0??3v322g?0得:v?v?v

列动量方程求解流量分配及边界反力R。 ?Q?v??Q?v??Q?vcos???F ?F?p?p?pcos??0

23333222111Xx231又v?v?v

所以Q?Q?Qcos??0 又因为Q?Q?Q

123321123所以QQ3?11?1?cos??2

Q21??1?cos??Q121

1?y?0????Qsin????Qsin?

水流对平板的作用力R=??Qsin?,方向与y轴相反。

1

4—19四通分叉管,其管轴线均位于同一水平面内,α=30o,水流从断面1—1﹑断面3—3流入,流量分别为Q1=0.2m3/s和Q3=0.1m3/s,相应断面形心

点相对压强分别为p1=0.3kn/2和p3==15kn/m2。水流从断面2—2流入大气中,已知管径d1=0.3m,d3=0.2m,d3=0.15m不计摩擦阻力,试求水流对叉管的作用力。

解: 取控制体断面1—1、2—2、3—3则: Q1+Q2=2Q2 Q2=0.15m3/s v1=Q1/A1=0.2/??×0.32=2.831m/s v2=Q2/A2=0.15/??×0.152=8.49m/s

v3=Q3/A3=0.2/??×0.22=3.85m/s

由于水流从断面2—2流入大气中 故p2=0 则 P1=p1A1=1413N P2=0 P3=p3A3=471N

设水流对叉管的作用力为F 列x轴方向动量方程 ?(2Q2?2?2?2cos?—Q2?1?1+Q3?3?3)=P1—P3++F

取?1=?2=?3=1.0 解之得F=—1.017kN (方向向左)

4-20根据习题4-1的已知条件,求过水断面上的动能修正系数α及动量修正系数β值。 解:由题意可知 dθ=UdA=Umax[1-所以θ=V=θ/A=7.5cm/s α=β=

/A=2 /A=4/3

]dA

=1.35*3.14/2

/s

4-21

如图4-53所示,利用牛顿第二定律证明重力场中沿流线坐标s方向的欧拉运动方程为:-g?z/?s-1/ρ·?p/?s=dus/dt

解:取中点M(x,y,z)其动水压强为(Ux,Uy,Uz) ∴作用在1-1,2-2面上的压强分别为: 1-1:p-?p/?s·ds/2 2-2:p+?p/?s·ds/2 由牛顿第二定律:质量力:-gsinθ ∴(p-?p/?s?ds/2)·dA-(p+?p/?s?ds/2)dA-gsinθ=dus/dt·ρdAds 即:1/ρ??p/?s-gsinθ= dus/dt 又∵sinθ=?z/?s ∴-1/ρ??p/?s-g?z/?s= dus/dt

S 4-22已知流场的流函数ψ=ax2-ay2,a为不等于零的常数试求: θ (1) 是否存在速度势函数X φ?若存在,则求之。 (2) 证明流线与等势线正交

解: (1):ux=?ψ/?y=-2ay uy=?ψ/?x=2ax ∴?ux/?y=-2a ?uy/?x=2a

∴旋转角速度Wz=1/2(?uy/?x-?ux/?y)=2a≠0 ∴液体为有旋流动,即不存在势函数。 (2):在恒定平面流中

dφ=uxdx+uydy=-2aydx+2axdy=0 得K1=y/x

在平面流场中,φ=c

即:dψ=uxdy-uydx=-2aydy-2axdx=0 得K2=-x/y

∴K1·K2=-1 即流线与等势线正交

22

4-24已知某流场的速度势函数为φ=a∕2(x-y),其中a为实数且大于零。试求:

(1) 流速场ux及uy。 (2)流函数Ψ。

解:(1) ux=??/?x?ax ,uy=??/?y??ay

(2) ?ux/?x=a ,?uy=-a

代入连续性方程得: ?ux/?x +?uy/?y =0

所以存在流函数Ψ ux=?Ψ/?y =ax Ψ=?axdy=axy+f1(x)

?Ψ/?x =ay+f1(x) 因为?Ψ/?x =-uy=ay

比较可得 f1(x)=0 f1(x)=C

则流函数为 Ψ=axy+C 4-25 某平面流动的流速场

=3a(

)。=-6axy,其中a为不等于零的

为多少?

常数,试求通过A(0.0),B(1.1)两点连线的单宽流量解:

+

=0

所以 存在流函数Ψ

=

=3a3a

)

=3a

+

Ψ=

=6axy+f(x) =-=6axy 得f(x)=0

+C

=2a

所以Ψ=3a

4-26 试应用N-S方程证明实际液体渐变流在同一过水断面上的动水压强符合静水压强分布规律。

证明:如图所示,渐变流过水断面 则:由N-S方程: fx -

1?p??x + ?(

?2ux?x2+

?2ux?y2+

?2ux?z2) =

?ux?t + ux??ux + uy??uy + uz??uz …①

xxxux=uy=0

由连续性方程得:??uy =

y?u?y = 0

∴ v1 = v2

1∴ -??p?x + ?(c) = 0

对1-1、2-2过水断面列伯努利方程: z

?1v121 + +

?2gp11= z

?2v222 + +

?2gp2+ hw1-2

?lv2???d2g取???2?1.0,则:? = hw1-2 =

?p ?

?p?pv2??l2d(常数)

∴ ??p = -?Lp 由①得:

?2ux?2ux?p??v( 2?2)?x?z?y = A(常数)

∴ ?dp??Adx?p?Ax 符合静水压强分布规律

Z 1 2 X 1 题4-26图 2 Y

4-27,有一恒定流二元明渠均匀层流,如图所示,试应用N-S方程证明: (1) 流速的分布公式为(2) 单宽流量公式为 q=

,其中

)

Z H X

解:列x方向的动量方程:

所以

=

带入N-S方程知:

由连续性知

所以 对(1)积分的:第二次积分的: 又因为 T =所以

(2)

+

=0 (1)

由(2)的 所以得: (2)因为 d=

q=

=

dz

4-28 一直某平面流动的流函数=20y,试证明该流动是有势流,并验证是代表平行于x轴的均匀流场,流速为20m/s

解 :

所以 所以

又因为 又因为

所以为有势流,流函数为4-29 试证明流速函数

又因为

=-(2y+

所以

=