第03讲 简单的三角恒等变换 ---讲

1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式. 2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 3.高考预测：

（1）和（差）角公式； （2）二倍角公式；

（3）和差倍半的三角函数公式的综合应用.

（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查. 4.备考重点：

(1) 掌握和差倍半的三角函数公式； (2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧.

知识点1．两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ； tan α＋tan βT(α＋β)：tan(α＋β)＝；

1－tan αtan βtan α－tan βT(α－β)：tan(α－β)＝.

1＋tan αtan β变形公式：

tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；

.

函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a＋bsin(α＋φ)或f(α)＝a＋bcos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．

【典例1】（2019·江西高考模拟（文））如图，点A为单位圆上一点， ?XOA?

2

2

2

2

?3 点A沿单位圆逆时针

1

方向旋转角?到点B(-

43，)则cos?=( ) 55

A．33?4 10B．4?33 10C．3?43 10D．3?43 10【答案】A 【解析】 由题意得：

故选A 【总结提升】

三角公式化简求值的策略

(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．

(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 【变式1】（2019·四川高考模拟（理））已知cos???4，????π,0?，则5 ( )

1 71C．?

7A．【答案】C 【解析】

B．7 D．?7

2

∴

则

故选：C．

知识点2．二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

C2α：cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα； 2tan αT2α：tan 2α＝. 2

1－tanα变形公式：

1＋cos 2α1－cos 2α22

cosα＝，sinα＝

22

1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)1－sin 2α＝(sin α－cos α)【典例2】（2017·全国高考真题（文））已知A．

B．

C． D．

，则

2,

2

2

2

2

2

（ ）．

【答案】A

【解析】所以选A. 【总结提升】

.

明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的

?π＋α?相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，?4?

??

＋?

?π－α?＝π，α＝2×α等．

?22

4?4?

3

【变式2】（2019·河南高考模拟（理））已知，则tan2??（ ）

A．?43 【答案】A 【解析】 由题

B．?3 2C．43 D．3 2，则

故tan2??故选：A

考点1 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用

【典例3】（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系xOy中，角?与角?均以Ox为始边，

??34?A终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为?,?，C(?1,0).若?BOC?，

6?55?则cos?????的值是( )

A．3?43 10B．3?43 104?33 10C．

4-33 10D．

【答案】C 【解析】

4