需要

3Llog2L次复数乘法。

补零L点-DFTL点-IDFT补零L点-DFT十二．用倒序输入顺序输出的基2 DIT-FFT 算法分析一长度为N点的复序列x[n] 的DFT，回答下列问题：

(1) 说明N所需满足的条件，并说明如果N不满足的话，如何处理？

(2)如果N=8, 那么在蝶形流图中，共有几级蝶形？每级有几个蝶形？确定第2级中蝶形的蝶距(dm)和第2级中不同的权系数(WNr )。 (3)如果有两个长度为N点的实序列y1[n]和y2 [n]，能否只用一次N点的上述FFT运算来计算出y1[n]和y2 [n]的DFT，如果可以的话，写出实现的原理及步骤，并计算实现时所需的复数乘法次数；如果不行，说明理由。

解(1)N应为2的幂，即N＝2m，（m为整数）；如果N不满足条件，可以补零。 (2)3级，4个，蝶距为2，WN0 ，WN2 (3) y[n]=y1[n]+jy2[n]

十三．考虑下面4个8点序列，其中 0≤n≤7，判断哪些序列的8点DFT是实数，那些序列的8点DFT是虚数，说明理由。

(1) x1[n]={-1, -1, -1, 0, 0, 0, -1, -1}, (2) x2[n]={-1, -1, 0, 0, 0, 0, 1, 1}, (3) x3[n]={0, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1}, (4) x4[n]={0, -1, -1, 0, 0, 0, -1, -1}, 解：

*共轭反对称分量： xo(n)??xo(N?n)??Xo(N?n)*共轭对称分量： xe(n)?xe(N?n)?Xe(N?n)DFT[xe（n）]=Re[X（k）] DFT[x0（n）]=jIm[X（k）]

x4[n]的DFT是实数 , 因为它们具有周期性共轭对称性；x3[n] 的DFT是虚数 , 因为它具有周期性共轭反对称性 十四. 已知系统函数H(z)?2?0.25z?11?0.25z?1?0.3z?2，求其差分方程。

解：

一、 填空题（本题满分30分，共含4道小题，每空2分）

1. 两个有限长序列x1(n)，0≤n≤33和x2(n)，0≤n≤36，做线性卷积后结果的长度

是 ，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 至 为线性卷积结果。 2. DFT是利用WNnk的 、 和 三个固有特性来实现FFT快速运算的。 3. IIR数字滤波器设计指标一般由 、 、 和 等四项组成。 4. FIR数字滤波器有 和 两种设计方法，其结构

有 、 和 等多种结构。

二、 判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正确打√，错误打×） 1. 相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（ ）

2. Chirp-Z变换的频率采样点数M可以不等于时域采样点数N。（ ）

3. 按频率抽取基2 FFT首先将序列x(n)分成奇数序列和偶数序列。（ ） 4. 冲激响应不变法不适于设计数字带阻滤波器。（ ）

5. 双线性变换法的模拟角频率Ω与数字角频率ω成线性关系。（ ） 6. 巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性。（ ） 7. 只有FIR滤波器才能做到线性相位，对于IIR滤波器做不到线性相位。（ ） 8. 在只要求相同的幅频特性时，用IIR滤波器实现其阶数一定低于FIR阶数。（ ） 三、 综合题（本题满分18分，每小问6分） 若x (n)= {3，2，1，2，1，2 }，0≤n≤5， 1) 求序列x(n)的6点DFT，X (k)=？ 2) 若G(k)?DFT[g(n)]?W62kX(k)，试确定6点序列g(n)=?

3) 若y(n) =x(n)⑨x(n)，求y(n)=？

四、 IIR滤波器设计（本题满分20分，每小问5分）

设计一个数字低通滤波器，要求3dB的截止频率fc=1/π Hz，抽样频率fs=2 Hz。 1. 导出归一化的二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数Han(s)。

2. 试用上述指标设计一个二阶巴特沃思模拟低通滤波器，求其系统函数Ha(s)，

并画出其零极点图。

3. 用双线性变换法将Ha(s)转换为数字系统的系统函数H(z)。 4. 画出此数字滤波器的典范型结构流图。

五、 FIR滤波器设计（本题满分16分，每小问4分）

1设FIR滤波器的系统函数为H(z)?(1?0.9z?1?2.1z?2?0.9z?3?z?4)。

101． 求出该滤波器的单位取样响应h(n)。

2． 试判断该滤波器是否具有线性相位特点。 3． 求出其幅频响应函数和相频响应函数。

4． 如果具有线性相位特点，试画出其线性相位型结构，否则画出其卷积型结构图。

填空题（本题满分30分，共含4道小题，每空2分）

1. 两个有限长序列x1(n)，0≤n≤33和x2(n)，0≤n≤36，做线性卷积后结果的长度

是 70 ，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 6 至 63 为线性卷积结果。 2. DFT是利用WNnk的 对称性 、 可约性 和 周期性 三个固有特性来实现FFT快速运算的。

3. IIR数字滤波器设计指标一般由ωc、ωst、δc和δst 等四项组成。(ΩcΩstδcδst) 4. FIR数字滤波器有 窗函数法 和 频率抽样设计法 两种设计方法，其结构有 横

截型(卷积型/直接型) 、 级联型 和 频率抽样型（线性相位型） 等多种结构。

一、 判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正确打√，错误打×） 1. 相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（×）

2. Chirp-Z变换的频率采样点数M可以不等于时域采样点数N。（√）

3. 按频率抽取基2 FFT首先将序列x(n)分成奇数序列和偶数序列。（×） 4. 冲激响应不变法不适于设计数字带阻滤波器。（√）

5. 双线性变换法的模拟角频率Ω与数字角频率ω成线性关系。（×） 6. 巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性。（×） 7. 只有FIR滤波器才能做到线性相位，对于IIR滤波器做不到线性相位。（×） 8. 在只要求相同的幅频特性时，用IIR滤波器实现其阶数一定低于FIR阶数。（√） 二、 综合题（本题满分18分，每小问6分）

5X(k)??x(n)Wnk62分n?0?3?2Wkk6?W26?2W3k4k6?W6?2W5k61） ?3?2Wk6?W2k6?2W3k6?W?2k?k6?2W62分

?3?4cosk?3?2cos2k?3?2(?1)k?[11,2,2,?1,2,2]0?k?5,2分2k5?nk52）

g(n)?IDFT[W6X(k)]??X(k)W6W2k6?k?0?X(k)W?(n?2)k6k?0

?x(n?2)?{3，2，1，2，1，2}2?n?75y1(n)?x(n)*x(n)??x(m)x(n?m)?{9,12,10,16,15,20,14,8,9,4,4}3）

m?08

y(n)??x(m)x((n?m))9R9(n)?{13,16,10,16,15,20,14,8,9}0?n?9m?0四、IIR滤波器设计（本题满分20分，每小问5分） 答：（1）其4个极点分别为：sj(12k?1j(1k??ce2?2N)??e2?2k?14)?k?0,1,2,3 2

分

Han(s)?1?1?1(s?ej3?4)(s?ej5?4)(s?22s2?2s?1 2?j2)(s?22?j22)分

（2）?c?2?fc?2rad/s 1分

Hsa(s)?Han(?)?Hs4an()?c2s2?22s?4 3分 零极点图：

1分

H(z)?H1?z?1a(s)s?21?z?1?HTa(4（3）

1?z?11?z?1)(1?z?1)21?2z?1?z?2

?4(1?z?1)2?22(1?z?1)(1?z?1)?(1?z?1)2?5?22?6z?1?(5?22)z?23（4）

b0?b1z?1?b2z?21?2z?1?z?2H(z)???1?21?a1z?1?a2z?25?22?6z?(5?22)za1?65?22a2??5?225?22b0?15?22b1?25?22b2?15?22

五、 FIR滤波器设计（本题满分16分，每小问4分） 解：1．?H(z)?n????h(n)z??n

?h(n)?0.1?(n)?0.09?(n?1)?0.21?(n?2)?0.09?(n?3)?0.1?(n?4) （4分） ?{0.10.090.210.090.1}0?n?42．?h(n)?h(N?1?n)，?该滤波器具有线性相位特点 （4分） 3．?H(ej?)?H(z)z?ej??1(1?0.9e?j??2.1e?j2??0.9e?j3??e?j4?) 10幅频响应为H(?)?0.2cos2??0.18cos??0.21 2分 相频响应为 ?(?)??2? 2分 4．其线性相位型结构如右图所示。 4分

六、 填空题（本题满分30分，共含6道小题，每空2分）

1?2z?1?3z?21. 一稳定LTI系统的H(z)?, H(z)的收敛域为 ，

(1?2z?1)(1?z?1?0.25z?2)该系统是否为因果系统 。

1?z?12. 已知一个滤波器的H(z)?, 试判断滤波器的类型(低通，高通，带通，

1?0.9z?1带阻) 。如不改变其幅频特性只改变相位，可以级联一个 系统。 3. IIR数字滤波器有 、 和 三种设计方法，其结构有 、 、 和 等多种结构。

4. 设计切比雪夫滤波器就是根据设计指标计算 和 。

5. FIR滤波器的窗函数设计法中，滤波器的过渡带宽度与窗函数的 有关，阻带衰减与窗函数的 有关。

七、 综合题（本题满分18分，每小问6分） 设x(n)=[3，2，0，0，-1，0，0，2]，

1. 试计算x(n)的8点离散付立叶变换X(k)=DFT[x(n)]。

2. 画出基2频率抽选8点FFT（输入自然位序，输出倒位序）的流图。

3. 将离散时间序列x(n)=[3，2，0，0，-1，0，0，2]填写到画好的流图中，并利用

流图求k=4时DFT的值X(4)。

八、 IIR滤波器设计（本题满分20分，每小问5分）

设低通滤波器通带3dB截止频率为Ωc=2rad/s，抽样频率为Ωs=2πrad/s。 1、请写出二阶巴特沃兹低通滤波器的幅度平方函数表达式 |Ha(jΩ)|2 。

?2?j2, ?2?j2，2、由幅度平方函数 |Ha(jΩ)|2可求出，其4个极点分别为：