第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3．1 真空中静电场的基本方程 3.1.1场的基本方程
由亥姆霍兹定理，矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。
一、真空中静电场的散度 高斯定理
1、真空中静电场的散度
可以证明，真空中静电场的散度为
???0r处无电荷 ??E???? ??（r）/?r处电荷密度?为（r）0? 静电场高斯定理微分形式
? 说明：1）电场散度仅与电荷分布有关，其大小??(r)；
2）对于真空中点电荷，有 ??E(r)?0(r?0)或??E（r）?q/?0(r?0 ) 2、高斯定理
?????E(r)dv??(r??)/?0dvvv???1 ??E(r)?ds?s?0??(r)dv?v?Q?0
????QE(r)?ds??高斯定理的积分形式?s?0?讨论：1）物理意义：静电场E穿过闭合面S的通量只与闭合面内所包围电荷量
有关（场与所有电荷有关）；
2）静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场； 3）无电荷处，源的散度为零，但电场不一定为零。
二、真空中静电场的旋度 环路定理
???E?dl?l??r?dleqq?4??0?lR24??0?RBRAdRR2q?11?????4??0?RRB??A 当A点和B点重合时，
?? ?E?dl?0 静电场环路定理的积分形式
?c
?由斯托克斯公式，??E?0 环路定理的微分形式
讨论：1）物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电场力做功为零 静电场为保守场；
2）静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡场，电力线不构成闭合回路。
三、真空中静电场性质小结
1、 微分形式 积分形式
????????E?E(r)?ds?Q/?0??(r)/?0???s?????? ?E(r)?dl?0??E?0????l?2、静电场性质：有源无旋场，是保守场
3、静电场的源：电荷 讨论：对于静电场，恒有
? ??E?0 ，而 ??(??)?0
?? ?E(r)??? ?为标量辅助函数 静电场可以由一标量函数的梯度表示。 补充内容：利用高斯定理求解静电场
???1 ?E(r)?ds?s?0??(v)dv?vQ?0
1、 求解关键：高斯面的选择 2、高斯面的选择原则： 1） 场点位于高斯面上 2）高斯面为闭合面
???3） 在整个或分段高斯面上，E或E?ds为恒定值。 3、 适用范围：呈对程分布的电荷系统。
3.1.2电位函数
一、 电位函数与电位差
1、电位函数
??????E?0?E可用一标量函数表示 E???? ????(??)?0讨论：1）电位函数为电场函数的辅助函数，是一标量函数 2）“-”号表示电场指向电位减小最快的方向 3）在直角坐标系中，
????????x??y??z eee E???x?y?z2、电位差（电压）
电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。 电位差的计算：
??????le?l为?增加最快的方向?le???l?d???E?dle?lBBAA ?E??
???A?B??A??B???E?dl??E?dl电场空间中两点间电位差为：
?A? ?B??A??E?dl
B说明：1）意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过
程中电场力所做的功；
2）两点间的电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与路径无关。 3、电位参考点
电位函数不唯一，导致电场分布具有不确定性
? 设 ?????c???E????????(??c)????
为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值。 选择电位参考点的原则：
1）应使电位表达式有意义； 2）应使电位表达式最简单；
3）同一个问题只能有一个参考点； 4）电位参考点的电位值一般为零。
二、 电位函数的求解
1、点电荷的电位 Q p?
q p
?P??Q??qQQp????p?QE?dl?(???)E?dlpp??r?eq11?dr?(?)4??0?p?r24??0rprQ
选取Q点为电位参考点，则 ?Q?0 ??p?q??1?14??0??rprQ??? ? 若参考点Q在无穷远处，即rQ??，则
? ?(r)?q4??0r 点电荷在空间产生的电位
说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点。 2、无限长线电荷的电位
? E p? Q
p
? E??l??r??p??Q?l(lnrQ?lnrp) e2??0r2??0 电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义，根据表达式最简原则，选取r?1柱面为电位参考点，即rQ?1，得 ?p???llnrp 无限长线电流在空间产生的电位 2??03、分布电荷在空间产生的电位
??1?(r?)体电荷：?(r)?dv?c
4??0?vR?面电荷：?(r)??线电荷：?(r)?14??014??0???s(r?)R?sds?c
?l(r?)R?ldl?c
说明：若参考点在无穷远处，则 c?0。 综上所述，电位是一标量
电位是一相对量，与参考点的选取有关 电位差是绝对的
引入电位函数的意义：简化电场的求解——间接求解法
在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因
?此可以通过先求解电位函数，再由关系E????得到电场解。
三、电位的微分方程 1、方程的建立
有源区