电磁场与电磁波电子教案3 下载本文

第三章 静态电磁场及其边值问题的解

3.1 真空中静电场的基本方程 3.1.1场的基本方程

由亥姆霍兹定理,矢量场的散度和旋度决定其性质,因此,静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。

一、真空中静电场的散度 高斯定理

1、真空中静电场的散度

可以证明,真空中静电场的散度为

???0r处无电荷 ??E???? ??(r)/?r处电荷密度?为(r)0? 静电场高斯定理微分形式

? 说明:1)电场散度仅与电荷分布有关,其大小??(r);

2)对于真空中点电荷,有 ??E(r)?0(r?0)或??E(r)?q/?0(r?0 ) 2、高斯定理

?????E(r)dv??(r??)/?0dvvv???1 ??E(r)?ds?s?0??(r)dv?v?Q?0

????QE(r)?ds??高斯定理的积分形式?s?0?讨论:1)物理意义:静电场E穿过闭合面S的通量只与闭合面内所包围电荷量

有关(场与所有电荷有关);

2)静电荷是静电场的散度源,激发起扩散或汇集状的静电场; 3)无电荷处,源的散度为零,但电场不一定为零。

二、真空中静电场的旋度 环路定理

???E?dl?l??r?dleqq?4??0?lR24??0?RBRAdRR2q?11?????4??0?RRB??A 当A点和B点重合时,

?? ?E?dl?0 静电场环路定理的积分形式

?c

?由斯托克斯公式,??E?0 环路定理的微分形式

讨论:1)物理意义:在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周,静电场力做功为零 静电场为保守场;

2)静电场旋度处处为零,静电场中不存在旋涡场,电力线不构成闭合回路。

三、真空中静电场性质小结

1、 微分形式 积分形式

????????E?E(r)?ds?Q/?0??(r)/?0???s?????? ?E(r)?dl?0??E?0????l?2、静电场性质:有源无旋场,是保守场

3、静电场的源:电荷 讨论:对于静电场,恒有

? ??E?0 ,而 ??(??)?0

?? ?E(r)??? ?为标量辅助函数 静电场可以由一标量函数的梯度表示。 补充内容:利用高斯定理求解静电场

???1 ?E(r)?ds?s?0??(v)dv?vQ?0

1、 求解关键:高斯面的选择 2、高斯面的选择原则: 1) 场点位于高斯面上 2)高斯面为闭合面

???3) 在整个或分段高斯面上,E或E?ds为恒定值。 3、 适用范围:呈对程分布的电荷系统。

3.1.2电位函数

一、 电位函数与电位差

1、电位函数

??????E?0?E可用一标量函数表示 E???? ????(??)?0讨论:1)电位函数为电场函数的辅助函数,是一标量函数 2)“-”号表示电场指向电位减小最快的方向 3)在直角坐标系中,

????????x??y??z eee E???x?y?z2、电位差(电压)

电位差反映了电场空间中不同位置处电场的变化量。 电位差的计算:

??????le?l为?增加最快的方向?le???l?d???E?dle?lBBAA ?E??

???A?B??A??B???E?dl??E?dl电场空间中两点间电位差为:

?A? ?B??A??E?dl

B说明:1)意义:A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过

程中电场力所做的功;

2)两点间的电位差有确定值,只与首尾两点位置有关,与路径无关。 3、电位参考点

电位函数不唯一,导致电场分布具有不确定性

? 设 ?????c???E????????(??c)????

为使空间各点电位具有确定值,必须选定空间某一点作为参考点,且令参考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值,所以该点的电位也就具有确定值。 选择电位参考点的原则:

1)应使电位表达式有意义; 2)应使电位表达式最简单;

3)同一个问题只能有一个参考点; 4)电位参考点的电位值一般为零。

二、 电位函数的求解

1、点电荷的电位 Q p?

q p

?P??Q??qQQp????p?QE?dl?(???)E?dlpp??r?eq11?dr?(?)4??0?p?r24??0rprQ

选取Q点为电位参考点,则 ?Q?0 ??p?q??1?14??0??rprQ??? ? 若参考点Q在无穷远处,即rQ??,则

? ?(r)?q4??0r 点电荷在空间产生的电位

说明:若电荷分布在有限区域,一般选择无穷远点为电位参考点。 2、无限长线电荷的电位

? E p? Q

p

? E??l??r??p??Q?l(lnrQ?lnrp) e2??0r2??0 电位参考点不能位于无穷远点,否则表达式无意义,根据表达式最简原则,选取r?1柱面为电位参考点,即rQ?1,得 ?p???llnrp 无限长线电流在空间产生的电位 2??03、分布电荷在空间产生的电位

??1?(r?)体电荷:?(r)?dv?c

4??0?vR?面电荷:?(r)??线电荷:?(r)?14??014??0???s(r?)R?sds?c

?l(r?)R?ldl?c

说明:若参考点在无穷远处,则 c?0。 综上所述,电位是一标量

电位是一相对量,与参考点的选取有关 电位差是绝对的

引入电位函数的意义:简化电场的求解——间接求解法

在某些情况下,直接求解电场强度很困难,但求解电位函数则相对简单,因

?此可以通过先求解电位函数,再由关系E????得到电场解。

三、电位的微分方程 1、方程的建立

有源区